上海市杨浦区2026届高三年级上册模拟质量调研（一模）数学试题+答案

上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研(一模)数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.不等式一<o的解集为.

2.函数y=3sin(2x+三)的最小正周期为.

3.已知向量d=(2,3),b=(3,x),且d_L坂，则实数x=.

4.若复数z满足：；=l-2i,则|z|=.

5.(x—2)6的展开式中『的系数为.

6.已知圆锥底面半径为1,高为W，则该圆锥的侧面枳为—.

7.圆C:(x-5尸+(y-3)2=10的圆心到直线I:%—y+2=0的距离为.

8.已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为两人各投一次，假设事件“甲命中”

34

与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为.

9.等差数列｛%｝的公差不为0,前几项和为配，若%，%，。8成等比数列，则且■=___.

«10

10.已知定义在R上的函数y=f(x)为奇函数，且。(切二日］心竟之为偶函数，则

f(logz3)=.

11.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象

并构建了如图所示的几何模型，该模型中M4N8均与水平面力8C垂直，在已测得可直接到

达的两点间距离力C,BC,RAC<BC,用测角仪测得4M&4,4NCB的情况下，四名同学用

测角仪各自测得下面一个角：①48C；②N4C&③NB4C；④乙MCN,其中一定能唯一确

定M,N之间的距离有.(写出所有正确的序号)

12.数列A：%,。2,…,由00满足：e/V(l<i<100),且1=%V<%oo=2U25,

记集合MQl)={(瓦,b2，[瓦00)也1=1，瓦00=2025,4=a1+1或仇=ai+1-l,i=

2,3,…,99}.若数列4满足：对任意(瓦也，…也oo)WMG4),均有瓦V乃<Y九。。，则称数

列A是“好的”.“好的''数列4的个数为.

二、单选题

13.已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()

A.a-c>b-dB.a+c>b+dC.ab>cdD.ac>bd

14.若74九为两条不同直线，a,/?为两个不同平面，则下列结论中正确的是()

A.若m〃a,nca,则m〃nB.若m〃几，nca,则m〃a

C.若mua,ml/7,则a1/7D.若mua,al/?,则m_L夕

15.已知双曲线。:9一3=1,点M(4,6),点A、3分别在双曲线C的左、右两支上，则向

量环(、丽的夹角。()

A.有最大值，但无最小值B.无最大值，但有最小值

C.既有最大值，又有最小值D.既无最大值，又无最小值

16.函数y=/(%)的定义域、值域均为R,定义集合Ma={t|t=/(%)-/(Q),XZQ}.给出如

下两个结论：①存在函数y=f(x),使得对任意实数a均有Ma=[0,+8)；②对任意函数y=

/(%),都存在实数人使得对任意实数a均有GM..下面判断正确的是()

A.①正确，②正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①错误，②错误

三、解答题

17.如图，在长方体48CD-&B1GD1中，M为8%上一动点，已知=CO=2,AAt=4.

试卷第2页，共4页

(1)求直线4C与平面ABC。所成角的大小；(用反三角表示)

(2)求三棱锥M-4&C的体积.

18.已知函数/(%)=sin%+cos%,xER.

(I)记g(x)=/(幻+/(x+3，求证：函数y=g(x)为偶函数；

(2)在△ABC中，A,B,。所对的边分别为a,b,c,己知/(。+3=—$，Q=3,c=2b,

求△力BC的面积.

19.为了了解某校高三年汲学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩

(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,1001，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

⑵在考核成绩为[70,80),[80,90),[90,100]的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，

则考核成绩在[70,80)中的学生应抽取多少人？

⑶若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4,方差是5.2,落在[60,70)学生的平均成绩为66.4,

方差是9.2,求这两组学生成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)

20.已知椭圆C：捺+?=l(a＞鱼)，过动点M(0,m)的直线交汇轴于点N,交椭圆C于4,P

(点P在第一象限)，过点尸作工轴的垂线交椭圆。于另一点Q,延长QM交椭圆C于点&

⑴若椭圆C的离心率为5求a的值；

(2)已知m=白，且8Q是线段PN的垂直平分线，求Q的佳；

(3)已知Q=2,点M是线段PN的中点，且丽=2而，求直线48的斜率.

21.已知区间/GR,函数y=/(幻的定义域为/,若函数y=/(x)满足：对任意与，小£人

均有1/(右)一/(M)10出—物1，则称函数y=/(%)为压缩函数.

(1)判断函数/a)="2,xef-1,1],是否为压缩函数?并说明理由；

(2)若函数f(x)=ex+kx,XE[0,1]为压缩函数,求实数k的取值范围;

(3)已知函数y=/(x),%6/为压缩函数，求证：y=/(x),%£/为单调函数的充要条件是:

对任意》1，%2€/,均有(/沃1)-f("；一)).(/(无2)-f("；"))—°。

试卷第4页，共4页

《上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研(一模)数学试题》参考答案

题号13141516

答案BCAB

1.(-3,2)

【分析】根据题意，转化为(、-2)(%+3)V0,结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】由不等式筌＜0,可得2)(%+3)VO,解得一3Vx＜2,

所以不等式三＜。的解集为(-3,2).

故答案为:(-3,2).

2.n

【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式7=当即可得解.

|3|

【详解】函数y=3sin(2x+])的最小正周期T=y=TT,

故答案为：n.

3.-2

【分析】由向量垂直坐标表示可得答案.

【详解】因则G・6=6+3%=0=x=—2.

故答案为：一2

4.V5

【分析】先根据复数的运算求出复数Z,再根据复数的模的计算公式即可求出答案.

【详解】由彳=l-2i得，z=i(l-2i)=2+3

则|z|=V22+12=V5.

故答案为：V5.

5.240

【分析】先求得(x—2"的展开式的通项公式，再令x次数为2求解.

【详解】(上一2)6的展开式的通项公式为「+|=4・(一2»/),

令6—r=2,求得厂=4,

所以(工一2)6的展开式中/的系数为叱•(-2)4=240.

故答案为：240

【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题.

答案第1页，共11页

6.27T

【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解.

【详解】由已知可得r=l,h=V3,则圆锥的母线长可“+3=2,

；・圆锥的侧面积S=ml=2兀.

故答案为27r.

【点睛】本题考杳圆锥侧面积的求法，侧面积公式S=nrl.

7.2V2

【分析】利用点到直线的孔离公式计算即得.

【详解】圆C:(x-5产+(y—3)2=10的圆心C(5,3)到直线-y+2=0的距离为d=

故答案为：2V2.

8.-

12

【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可.

【详解】记事件4=”甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为彳=”甲和乙两人都未命中”,

由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得P(X)=(1-1)x(1-

所以P(A)=1-七=技

故答案为：意.

9.7

【分析】设等差数列｛小｝的公差为d(d工0),根据条件得由=2d,再利用等差数列的前几项

和公式及等差数列的通项公式，即可求解..

【详解】设等差数列｛Q,J的公差为d5H0),因为g，的，即成等比数列，

则磋=。3。8，所以(%+4d)2=(a1+2d)(Q[+7d),整理得到%=2d,

所以组=5==四=7,

a10a1+9dlid

故答案为：7.

10.-3

【分析】先根据/(%)为奇函数，得/(1。823)=--一1/23),再根据9。)解析式及偶函数性

质可得所求函数值.

【详解】因为函数y=/(%)为我上的函函数,所以八一%)=-/(%),^/(log23)=-/(-log23).

答案第2页，共11页

又因为gG)=为偶函数，所以9(一%)=gQ)，^(-log23)=^(log23).

|03

因为log23>0,所以/Qog23)=-/(-log23)=-^(-10g23)=-^(log23)=-2^=-3.

故答案为：一3.

11.②③④

【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知M4MC,N8,NC均已确定，对

于①@(0可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断MN是否确定；对于④，

可直接根据余弦定理进行判断.

【详解】设48=c,4。=匕,8C=a,MA=hvNB=h2,CM=m,CN=n,^MCA=

0,z.NCB=a,

在Rt△MAC中，CM=m=―八==h=CA-tan0=btan。，

COS/MCACOS。A1

同理可得CN=n=^fNB=h2=atana,

由于a,b,0,a均为已知量，故m,n,九上电均为定值.

对于①：在中，由余弦定理可得/=a?+-2QCCOS乙4BC,且a,b,cos乙4RC均为定

值，故该方程为关于c的一元二次方程，c可能有两解.

例如，若a=b=l,ccs乙4BC=热

则可得c?+3-1=2•遮•(:，，即C2-3C+2=0,解得c=l或2,

由勾股定理可得MN=JAB?+(NB-AM)?=收+(殳一九1T，由于九1，电为定值，而。有

两解，故MN也有两解，故①错误；

对于②：在△48C中，由余弦定理可得c?=a2+b2-2abeos乙4CB,且a,b,cos乙4c8均为

定值，故c也为定值，

乂因为MN=)。2+(九2-砥产,其中匕砥,九2均为定值，故MN为定值，故②正确；

对于③:在448C中,由余弦定理可得M=h2+c2-2bccosz.BAC,整理得c?一

2bccosz.BAC+h2-a2=0且a,b,cosz_B4C均为定值，

故该方程为关于c的一元二次方程.又0<b<a,.­.b2-a2<0,

故A=4b2(COSN8AC)2-4(b2—a2)>0,即c有两解,设两解分别为q,C2,

22

由韦达定理可知，c.c2=b-a<0,即R,C2异号，因此该方程仅有1个正数解，即c有唯

一确定解，

又因为MN=卜2+(七一阳)2.其中chi，色均为定值.故MN为定值，故③正确：

答案第3页，共11页

对于④：在△MCN中，由余弦定理可知，MN2=m2+n2-2mncos^.MCN,因为

m,n,cos4MCN均为定值，故MN也为定值，故④正确，

故答案为：②③④.

12.1926

【分析】由题意,要加<瓦+i，则要满足max(d)<min(bi+1),(2<i<98),可得/+1一/=

l(2<i<98),设02二忆则Q99=k+97,分析可得女的范围，进而得到答案.

【详解】由题意，要仇<仇+i，则需满足max(E)<min(0+i),(2<i<98),

即cii+i_1<d,+1,l'Pu：+i—tij<2»

由已知数列A为递增数列,ai+1-af>l,

则有为+1—4=1(2WiW98),

设g=k,则。99=k+97,

又见<a2,则k>1,则A>2：

Q99<QIOO，则：+97V2025,则kW1927，

所以k6[2,1927],则整数个数为1927-2+1=1926,

则“好的”数列4的个数为1926.

故答案为：1926.

13.B

【分析】举出反例可判断ACD,根据不等式的基本性质，可判断B,进而得到答案.

【详解】对于A,令a=4,/?=3,c=2,d=1,满足a>b>c>d,

此时a—c=2,匕-d=2,a—c=b—d,故A错误；

对于B,由Q>瓦c>d,两式相加得a+c>h+d,故B正确；

对于C,令a=l,b=0,c=-l,d=-2,满足a>b>c>d,

此时ab=0,cd=2,ab<cd,故C错误：

对丁D,令a=1,b=—l,c=-2,d=-3,满足a>h>c>4,

此时ac=-2,bd=3,ac<bd,故D错误.

故选：B

14.C

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB,利用面面垂直的判定定理和性质

定理可判断CD.

【详解】若相〃口，九ua,则m〃九或初八为异面直线，故A错误；

答案第4页，共11页

若m//n,nua,则m〃。或mua,故B错误；

若mua,m上0,fflal/?,满足面面垂直的判定定理，故C正确；

若mua,al。，这缺少了2个条件，即=才可以得到7九1夕，故D错误;

故选：C.

15.A

【分析】根据题意，得到点M在双曲线的渐近线y=上，结合双曲线的几何性质，以及向

量的夹角的定义，即可求解.

【详解】由双曲线C:9—?=1,可得a=2,b=3,所以双曲线的其中一条渐近线方程为y=

3

产

则点M(4,6)满足渐近线y=|x,所以点M在双曲线的渐近线y=|x±,

所以过点M存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线，

所以向量为?，丽的夹角。不存在最小值，

过点M作3轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时(拓5,而)二71,

因为夕6[0刀],所以向量为5,而的夹角夕存在最大值，最大值为m

综上可得，向量以，丽的夹角e存在最大值，不存在最小值.

故选：A.

A\MB

16.B

【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设/'(x)=

0,x=0

■i.n»分b>0,b=0,d<0讨论即可说明②不成立.

I算•人U

【详解】假设/(%)=，/(%)在R上单调递增函数，

对于任意实数a，t=f(%)-/(a)=x-a,xNa,

vx>a,f(x)>/(a),At>0,AMa=[0.+co),故①正确：

答案第5页，共11页

0,x=0

设/(%)=3，当b=0时，t=f(%),%20,M={t\t>0),

f人"T"V/b

VX

此时取a=2,则MQ={tt=f(x)-Z2}={"-：V1三0卜不满足M»GMa：

当b>。时，Mb={t\-fW<t<0},取a>b,则Ma={t|-/(a)<t<0},

因为a>b>0,所以/(Q)Vf(b),所以-/(Q)>-/(》)，

此时Mb2Mg不满足cMa；

当b<0时，Mb=(-oo,0]U[-/(b),+oo),

取Q=2,则={“—：<£W0},不满足％,£Ma.

综上，不存在实数b,使得对任意awR均有M/,GMa.故②错误.

故选：B.

17.(l)arcsiny

器

【分析】(l)先找出乙4cAi即为直线4C与平面A8CD所成角，再求〃C4的大小即可;

(2)根据=%一/"=匕「/IBC，再利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】(1)连接4C,由题意得力4_L平面48。。，

则41G41即为直线4C与平面ABC。所成角，

又40=CD=2,AA1=4

在直角△4C4中，AC=242,A^y/AA^+AC2=^42+(272)2=2V6,

sinZJlCAi=念=袅=弓，则乙ACAi=arcsin当，

所以直线力£与平面4BC。所成角的大小为arcsing

*5

(2)由题意得,BB]〃平面4&C,

则VM-AA[C=^B-AAyC=VA^-ABC=3S^ABC'力力]=；X；X2x2x4=g.

答案第6页，共11页

所以三棱锥M-A&C的体积为条

18.⑴证明见解析

(2哼

【分析】(I)利用诱导公式得g(x)=2cosx,再根据偶函数的定义证明即可；

(2)利用辅助角公式整理/Xx),根据已知求出cosC=-5利用余弦定理结合已知可得b的

值，最后由三角形面积公式求解.

［详解】(1)根据题意，g(x)=/(x)+/(%+：)=sinx+cosx+sin(X+：)+cos(%+

=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx,

则g(-x)=2cos(-x)=2cosx=g(x),

所以函数丫=9(切为偶函数：

(2)由辅助角公式得f(%)=sinx+cosx=鱼sin1+；),

则f(C+：)=V^sin［(C+：)+：］=&sin(C+：)=V2cosC=一?，

所以cosC=-%可得C66,11),

由余弦定理可得c?=Q2+/-2abcosC,由于Q=3,c=2b,

则3/72一日/,一9=0,解得b=2(舍去负根)，

由已知得CGgm)，则sinC=V1—cos2C=苧，

所以S—8c=^absinC=1x3x2x^=

19.(l)Q=0.03

(2)6

(3)平均数为62.4,方差为39.9

【分析】(1)利用频率之和为1结合频率分布直方图列式求出a；

(2)利用频率分布直方图求出成绩为［70,80),［80,90),［90,100］的学生人数,再根据分层

抽样的概念求解即可；

(3)先利用频率分布直方图求出［50,60)和［60,70)的学生人数，再根据平均数和方差公式计

算求解即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可得10x(0.005+0.01+0.02+0+0.025+0.01)=1,

答案第7页，共11页

解得a=0.03.

（2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在［70,80）,［8。,90）,［90,100］的三组学生有100x

10x（0.03+0.025+0.01）=65（人），

其中样本考核成绩在［70,80）的市民人数为100xlOx0.03=30,

用分层抽样的方法应从考核成绩在［70,80）的市民中抽取三X13=6（人）.

（3）由频率分布直方图知，成绩在［50,60）的学生人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70）的市民5人数为100X0.2=20,

所以总平均数，=I。'：：：；＜=62.4,

总方差S2=赢［5.2+（54.4-62.4）2］+赢［9.2+（66.4-62.4）2］=/=39.9.

20.（1）272

（2）73

⑶当

【分析】（1）根据离心率的概念列式求Q即可.

（2）根据题意，设P（x°,苧），则NJ/，。），Q（%，-苧），根据而1丽列式可求入。的值，

在根据P点在椭圆上，可求a的值.

（3）根据题意，可求出P,M,8,4的坐标，进而求直线的斜率.

【详解】（1）因为a＞虎=匕，所以62=0=W=i-W，

a2a2a2

因为e=今所以1一号=：=a?=8,又Q＞V2,所以Q=2V2.

（2）因为血=,且BQ是线段NP的垂直平分线，

所以是线段NP的中点.

所以可设则N（r（）,0）,Q（xo»

所以加=（2出,誓），JlQ=（x0,-V3）.

由沛1MQ=NP-MQ=2x^-2=0.

又点P在第一象限，所以々＞0,所以&=1,即

又点P在椭圆［+4=1上，所以W+1=a?=3.

az2a"3

答案第8页，共11页

乂Q>0,所以Q=V3.

（3）因为Q=2,所以椭圆C：[+==1.

4Z

如图，作出符合题意的图形，

因为点M（0,m）是线段PA的中点,可设点%0,2m）,N（—%。,0）,则Qg,-2m）.

（_xo

XY1-

设8（右,儿），因为丽=2丽=>（-x,3/n）=2（x,y-m）=>-T

0115m,

（月二3

（F+喑=1

1wk

因为P,8都在椭圆C上，所以+=1:2d.

\42

2721

%o=—

因为点P在第一象限，所以

m•

m=—

所以P（竽,平）,M（0呼）,8（晋罄）

因为%>=蒸=4，所以直线MP的方程为：、二粤》十亨

O07

7

x/6,V14

=X+

yT~12、历6_A

互+^=13217

（42

后

由.吃2v^一l"XA=~~18=XA=--3---

所以以=?x（-学）+手=一普.

SV14.7i4「L

可得研=高音=孚即直线力B的斜率为当

一_~+7

21.（1）是压缩函数.

⑵[-2,1-e]

（3）证明过程详见解析.

【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意%,％2是否都有If。]）一/'（々）1<

|X1-成立.

答案第9页，共11页

(2)根据压缩函数的定义，得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围.

(3)结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.

【详解】(1)已知函数/0)=/,则|/(右)一/(无2)1=1*一据1=%+%21%一七1.

因为XG[—,所以|%1+的1工优11+-2+2=1，

x

那么1/01)-/(%2)1=|X1+X2II^1-2\01%1一必1，

所以函数/(幻=/,XE[—；『]，是压缩函数.

(2)因为函数/•Q)=eX+kt,xe[0,1]为压缩函数，

所以对于任意%1，%26[04]»均有|/(%1)-/(%2)1W1%1

不妨设#1>X2»则不等式可化为:-(Xj-X2)</(%i)-/(X2)<X1-X