苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 复数加减法的几何意义

第二课时复数加减法的几何意义

课标要求素养要求

熟练掌握复数的代数形式的加、减运算通过本节课的学习，发展数学运算素养

法则，理解复数加、减法的几何意义.及数学抽象素养.

课前预习知识探究

自主梳理

1.复数加法的几何意义

如图⑴，设向量应I,应2分别与复数〃+〃i,c+dKa,b,c,d£R)对应，且应

应2不共线，以无I,甚为两条邻边画。OZ1ZZ2,则对角线OZ所表示的向量方就

是与复数(〃+c)+(〃+d)i对应的向量.这就是复数加法的几何意义.

2.复数减法的几何意义

如图(2),若向量应I,应2分别与复数zi,22对应，则它们的差Z1-Z2对应着向量

OZ\-OZ2,即向量莅i.

如果作应二兹|,那么点Z对应的复数就是ZI-22.这就是复数减法的几何意义.

设zi=。+为，Z2=c+di(a,b,%d£R),则zi-Z2=3-c)+(6-ei,故|zi-Z2|

=\0Z\=I^Zil=\l(CLC)2+(J-d)2.

3.复数的差的模

两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

。点聒

①复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.

②复数臧法的几何意义就是向量减法的三角形法则.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴复数加法的运算法则类同于实数的加法法则.(。)

⑵复数与复数相加减后结果为复数.(J)

⑶复数减法的几何意义类同于向量减法运算的几何意义.(J)

2.设zi=3-4i,Z2=-2+3i,则zi-Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析Vzi-z2=(3-4i)-(-24-3i)=5-7i,

・・・Z|-Z2在复平面内对应的点位于第四象限.

3.在复平面内，复数1+i与l+3i分别对应向量宓和丽，其中。为坐标原点，

则的|等于()

A.^2B,2

C.VioD.4

答案B

解析由题可在宓=(1,1),OB=(1,3),故筋=(0,2),所以|筋|=2.

4.已知向量应।对应复数2-3i,向量应2对应复数3-4i,则向量ZN对应的复数

为.

答案1-i

解析•・•石Z=^2—应I,・••向量呈2对应的复数为(3—4i)—(2—3i)=1—i.

----------课堂互动・--------------------------------------------题型剖析一­

题型一复数加、减法的几何意义

【例1】如图所示，在平行四边形QA8C中，顶点O,A,C分别表示复数0.

3+2i,-2+4i.求：

⑴位)所表示的复数，元所表示的复数；

⑵对角线召1所表示的复数；

⑶对角线丽所表示的复数及标的长度.

解(1)因为0—(3+2i)=-3—2i,

所以劭所表示的复数为一3一21

因为选=能，所以反1所表示的复数为一3一21

(2)因为第=为一元，

所以浮1所表示的复数为(3+2i)-(—2+4i)=5—2i.

(3)因为对角线访=醇+施=宓+沆1,

所以。江所表示的复数为(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

所以|丽尸、卜+62=亚.

思维升华(1)复数z与复平面内的向量应是一一对应的关系，复数的加法可以按

照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边

形法则.

(2)类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.

⑶若用△表示复平面内点Z1和Z2之间的距离，则d=|石Z|=|zi-Z2|,其中力，Z2

是复平面内的两点Z1,Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.

【训练1]⑴已知复平面内的平面向量宓，蕊表示的复数分别是-2+i,3+

2i,则I丽匚.

(2)若zi=2+i,Z2=3+〃i,复数Z2-zi在复平面内所对应的点在第四象限内，则

实数。的取值范围是________.

答案(1)亚(2)(-8,1)

解析(1)・.・为=万1+通，

・••丽表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=l+3i,

/.|OB|=-Vl2+32=ViO.

(2)Z2~ZI=l+(a—l)i,由题意知。一l<0,即

题型二|z-zol(z,zoWC)的几何意义

【例2】复数z满足|i+3+4i|=2,则|z|的最大值是()

A.7B.9

C.3D.5

答案A

解析由题意可知上一(一3-4i)|=2,即复数z在复平面内对应的点与复数一3一

4i在复平面内对应的点的距离为2,复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨

迹为如图所示的圆Q,数形结合可知|z|的最大值在点P处取得，得其最大值为

«(—3)2+(—4)2+2=7,故选A.

思维升华求复数模的最值问题可根据复数模的几何意义数形结合解题.

(l)lz-zol表示复数z,Z0在复平面内的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值

号内变为两复数差的形式.

(2)|z-zo|=r表示复数z在复平面内对应的点构成以zo在复平面内对应的点为圆

心，厂为半径的圆.

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达

形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.

b12

【训练2】定义=ad-be,右zi二j,2022(i为虚数单位)且复数z满足

方程|z-zi|=4,那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为()

A.以(-1,-2)为圆心，4为半径的圆

B.以(-1,-2)为圆心，2为半径的圆

C.以(1.2)为圆心，4为半径的圆

D.以(1,2)为圆心，2为半径的圆

答案A

解析设z=x+yi,x,y£R,

由题意得zi=p022—2i=-l—2i,

则由|Z-Z||=4,得|(x+l)+G，+2)i|=4,

即(x+1)2+0+2)2=42=16,

故复数z在复平面内对应的点尸组成的图形是以(一1,—2)为圆心，4为半径的圆.

题型三复数的模的最值问题

【例3】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+l|的最小值是()

AB21

2

C2

答案A

解析设复数一i,i,-l-i在复平面内对应的点分别为Zi,Z2,Z3,因为|z+i|

+|z-i|=2,|ZIZ2|=2,所以点Z的集合为线段Z0,问题转化为：动点Z在线段

4Z2上移动求IZZ3I的最小值，因为ZZ3|=1.|z+i+1Imin=L

(2)若复数z满足|z+3+i|W1,求|z|的最大值和最小值.

解如图所示，设成=一45一，

则|两="（一3）2+（-1）2=2.

所以|z|max=2+1=3,IWmin=2—1=1.

思维升华复数模的最值问题最常用的策略有：用函数思想、方程思想可将问题

转化为代数法或三角法，用数形结合思想可将问题转化为几何法，用重要的不等

式公式可将问题转化为不等式法.

【训练3]已知|z|二1且ZWC,求|z-2-2i|（i为虚数单位）的最小值.

解因为|z|=l且z£C,作图如图，

所以|z—2—2i）的几何意义为单位圆上的点又到复平面内的点P（2,2）的距离，所

以|z—2—2i|的最小值为|O尸|—1=2/-1.

•课堂小结・

一、牢记3个知识点

1.复数加法的几何意义.

2.复数减法的几何意义.

3.复数差的模.

二、掌握2种方法——类比法，数形结合

三、注意1个易错点

忽略模的几何意义.

---------分层训练，--------------------------------------素养提升——­

基础达标

一、选择题

1.已知复数Z满足z+2i=12-i,则|z|=()

A.12B.3

C.3VHD.9

答案C

解析Vz+2i=12-i,Az=12-3i,

：.\z\=V122+(-3)2=3而.

2.设向量次，PQ,两对应的复数分别为ZI,Z2,Z3,那么()

A.zi+Z2+Z3=0B.zi-Z2-Z3=0

C.Z1-Z2+Z3=0D.ZI+Z2-Z3=0

答案D

解析-：PQ=OQ-dP.

：.OP-\-PQ-dQ=Oi

Azi+Z2-Z3=().

3.在复平面内，万1=(12),复数J-的共辗复数在复平面内对应的点为优则油

对应的复数为()

解析出=号=鸿,其共轮复数为9卜..丽=g—9・・・油=瓦一殖

・••部对应的复数为一g—|i.

.已知啦，则已二(

4zi,Z2@CIzi+Z2|=2|ZI|=|Z2|=2,-Z2|)

C.2D.2/

答案D

解析由力1=01=2,|z1+z2|=2啦,及复数加减法的几何意义知以ZI,22所在边

为邻边的对应的图形为正方形，

/.|zi—zz|=2啦.

1+i

5.(多选题)已知复数z=L,贝lj()

1一1

人宗⑼是纯虚数

B.|z+i|=2

C.z的共辗复数为-i

D.若复数/满足|G-Z|二3，则画max=1

答案ABC

钮+二一+i(1+i)(1+i)_2i.

解析Z=~=(l-i)(1+i)=2=L

A项，z2O2i=pM=i』i,正确；B项，|z+i|=|i+i|=2,正确；C项，z的共朝

复数为一i,正确；D项，I①一z|=|g-i|=T的几何意义为G在复平面内对应的点

A到点(0,1)的距离为去故ko|max=l+：=|,D错误.

二、填空题

6.已知向量起对应的复数为1+i,若点A对应的复数为l+3i,则点8对应的复

数为.

答案2+4i

解析设O为坐标原点，

,

：AB=OB-dA.

：.OB=AB-\-OAy

・••励对应的复数为(l+i)+(l+3i)=2+4i

7.设/(z)=z-3i+|z|,若zi=-2+4i,zz=5-i,则/(zi+z2)=.

答案3+3也

解析zi+z2=3+3i,j(zi+z2)=*3+3i)=3+|3+3i|=3+3啦.

8.已知复数|z|二l,则复数3+4i+z的模的最大值为最小值为

答案64

解析令o)=3+4i+z,

则z=o>—(3+4i).

V|z|=l,・・・|s-(3+4i)|=l,

・・・复数口在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，

容易看出，圆上的点A所对应的复数助1的模最大，为“32+42+1=6；圆上的点

8所对应的复数/8的模最小，为正工了一1=4,・•・复数3+4i+z的模的最大值

和最小值分别为6和4.

三、解答题

9.已知Z1,Z20C,若|z|=5,Z2=3+4i,ziZ2是纯虚数,求zi.

解设zi=〃+bi(mZ?eR),

由ziZ2=(〃+〃i)(3+4i)

=(3〃-4b)+(3b+44)i为纯虚数,

[3。-4〃=0,

13方+4aW0,

又|Z]|=5,・02+按=25,②

由①②得L.或L

[b=3[b=-3.

••z\=4+3i或zi=-4—3L

10.已知复数ZI=i(「i)3.

(1)求%|；

(2)若团=1,求|z-zi|的最大值.

解(l)・・・zi=i(l—i)3=i(l—i)2(l—i)=i(-2i)(l—i)=2(l—i)=2—2i,

：.\zi|=正+(—2)2=2啦.

(2)如图所示，由|z|=l可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为

0(0,0)的圆，而zi对应着坐标系中的点Zi(2,-2).所以|z-zi|的最大值可以看成

是点Zi(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-zi|max=|zi|+r(r为圆半径)

=2也+1.

I能力提升I

11.复平面内点A,B,。对应的复数分别为i,1,4+2i,由A-3-Cf。按逆时

针顺序作%3C。，则|应)|等于()

A.5B.V13

C.而D.A/17

答案B

解析如图，设。(工，)，)，产为口ABC。的对角线的交点，则点尸的坐标为2

x+l=4,x=3,

所以即＜

j+0=3,)=3.

所以点。对应的复数为z=3+3i,

所以的=db—丽=(3,3)-(1,0)=(2,3),

所以|册|=而.

12.设z=x+.yia,yUR),若lW|z|W啦，判断复数w=x十y十。一)》在复平面内

的对应点的集合表示图形的面积为.

答案27r

解析|①|=[(x+y)?+(x—y)2=3(=+),2)=啦团而lW|z|WS，故也

WMW2.所以3在复平