苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 正弦定理、余弦定理的交汇应用

第二课时正弦定理、余弦定理的交汇应用

课标要求素养要求

通过余弦、正弦定理进一步探索三角形通过运月余弦、正弦定理解决与三角形

中边与角的关系，掌握三角形的面积公有关的综合问题，提升数学运算及逻辑

式，灵活运用定理解三角形.推理素养.

课前预习・---------------------------------知识探究

自主梳理

1.有关三角形的隐含条件

“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色

的变形和结论：

(1)由4+8+。=180。E得

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

tan(A+B)

A+B二

sin-3-sinf.

(2)由三角形的几何性质可得

acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a,

acosB+bcosA=c.

⑶由大边对大角可得sinA>sin

7T

(4)由锐角△ABC可得任意两内角之和大于2，进而可得sinA>cosB.

2.三角形的面积公式

(1)5=刊?sinC-^/?csinA=/easinB；

(2)S=^aha=^bhb-；ch<(ha,hb,瓦•分别表示a,bc边上的高).

O点防

面积公式再理解

(1)5△=3九(底X高X]

(2)S^=：H?sinC=：Z?csinA=Jacsin8,“知两边及夹角用此公式简单”.

乙乙乙

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴公式S=5戾inC适合求任意三角形的面积.(/)

(2)三角形中已知三边无法求其面积.(X)

提示已知三角形的三边可以利用余弦定理求解角，再利用三角形的面积公式求

出面积.

(3)在△A3C中，a>〃0A>3=sinA>sinB.(V)

(4)在△ABC中，67=5,b=7,8=120°,则△ABC的面积S△二;absin3=^^.(X)

提示由余弦定理加=〃2+/—2〃ccos8可求出c=3,

.C.R15s

•2……4

B,。所对的边分别为a,btc,又知a=l,A=60。，c二坐,

2.在△ABC中，角A,

则aABC的面积为()

A近

/>•2B坐

酒D.小

。6

答案C

c_____a_

阱小出江任付s而7=sinA'

也

311

即忒=理解得sin”,

2

又c<a,所以。44,且0。<。<180。，所以。=30。,

]1、行、巧

故B=90。，所以S=7jQc=5乂1X与=+.

223O

3.在△A3C中，角A,B,C的对边分别为b,c,若asinBcosC+csin5cosA

劣且e4则8的值为（）

An兀

A6B-4

C.'D.生

答案A

//6I

解析由条件得gsinBcosC+gsinBcosA=1

由正弦定理得sinAcosC+sinCeos^=5,

所以sin（A4-C）=sin

又a>b,且3£（0,兀），因此

4.在锐角△ABC中，角A,B所对的边分别为名仇若2asmB=5氏则角A=

宏奈-

口杀3

解析在△A8C中，利用正弦定理得2sinAsin3=，5sin8,

・・RU1••p-^n・.A立

.•«sinH^O,..sin4="2

又A为锐角，，化亨.

课堂互动题型剖析

题型一灵活利用正、余弦定理转化边角关系

角度1证明恒等式

【例1】在△A8C中，若ocos2^+ccos珠二学，求证a+c=2Z;.

证明:优054+ccos^=当，

乙乙乙

/.sinAcos《+sinCcos^=^sinB,

..1+cosC1+cosA3sinB

..sinA------z-----十sinC------z----=-z-,

即sinA+sinAcosC+sinC+sinCeosA=3sinB,

sinA+sinC+sin(A+O=3sinB,

即sinA+sinC=2sinB,

•»a-\~c=2b.

思维升华证明恒等式问题，把已知条件的边或角，利用正、余弦定理、三角恒

等变换都转化成角或都转化为边.

【训练1】在△ABC中，已知内角4,B,。的对边分别为a,b,c.求证〃(sin8

-sinC)+人(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

证明由正弦定理焉=品=卷=2~氏为外接圆半径),

oil!Z1olllLJL>111Lz

z•.__•D__L•厂__£-

得0sinA=诟，sinB=苏,sinC=项，

••・左边=侥一引+怎-怎-

ab~ac-\~be—ab~\-ac~be

=0=右边,

2R

・・・原式得证.

角度2化简或求值

2

【例2】在△A8C中,若ccosB=Z?cosC,cos4=,求sin8的值.

解由ccosB=bcosC,结合正弦定理,

得sinCcos8=sin8cosC,

故sin(3—C)=0,

V()<B<7t,0<C<7T,-7t<B—C<7T,

：.B-C=0,B=C,故〃=c.

2人+/一42

・・・cos4=G，・••由余弦定理得一Z7--号，即犷=2/,

2

-

3

cr-^cr—b2V3O

再由余弦定理，得cosB=66

2ac2X

【迁移1】对于本例中的条件,ccosB=Z?cosC,能否使用余弦定理？

次+/一庐a2+b2-c2

解由余弦定理，得C二万一lab-

--c<c

化简得〃+/一序=/+/一4,

12

•*.c=b1从而c=b.以下同例2.

【迁移2]本例中的条件ccosB=/?cosC的几何意义是什么？

解如图，作AO1.BC,垂足为。.

则ccosB=BD,bcosC=CD.

：.ccosB=bcosC的几何意义为边AB,AC在8C边上的射影相等.

思维升华（1）边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.

⑵解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.

【训练2】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且有2sin8cos

A=sinAcosC+cosAsinC.

(1)求角A的大小；

⑵若b=2,c=l,。为8c的中点，求AO的长.

解(1)法一由题设知，

2sin&osA=sin(A+C)=sinB,

因为sinBWO,所以cosA=

jr

由于0<A〈7i,故A=?

法二由题设可知，

Z?2+c2-6f2tz2+Z72—c2b2-^-c2—a2

2h,_2bc-=。-2^b-+。-2bc-，

于是/+/—/=反，

Z/+C*—标1

所以cosA=1=E

由于0<4<兀，故

(一一、2

⑵法_因为前2==；(族2+危2+2筋.病)=(

、2，

(1+4+2X1X2Xcos穿=[,

所以|AZ)|=2»从而AD=2

法二因为。2=/+/一2从cosA=4+1—2X2X1X；=3,

所以/+/=〃，B=^.

A

所以BD=2，AB=1,

所以AD=N1+土=兴

角度3判断三角形形状

【例3】已知△A3C的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且满足cos4

4则该三角形为（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.直角三角形

答案D

解析在△ABC中，由cosA=g,得cosA=日整，

即cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.

/.sinAcosC=0.

7T

：sinAWO,/.cosC=0.又0<C<n,C=7j.

・••该三角形为直角三角形.故选D.

思维升华已知条件中同时包含边角关系，判断三角形的形状时，将边化为角，

从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状.一般来说，这

种方法能够判断的三角形都是特殊三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三

南形等.

【训练3】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为上，7J-,1.

则此人能（）

A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形

C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形

答案D

解析假设能作出△ABC,不妨设△ABC的面积为S,高士，白，!对应的边分别

、,⑴/+/一〃2(225)2+(IOS)2-(26S)2

为a=26s,b—22S,c=105,则cosA—>—nvoocvme

=一奇，由于一1<一孟<0,所以A可以作为三角形的内角，且A为钝角.故可

作出一个钝角三角形.

角度4求范围或最值

【例4】在锐角△A3C中，内角A,B,。对应的边分别为ah,c,且〃=2〃sin

A,求cosA+sinC的取值范围.

解,.\/=2Z?sinA,二由正弦定理得sinA=2sinBsinA,

又sinA#0,sin8=5,

7T

•・・8为锐角，・・・B=&.

令j=cos>4+sinC=cosA+sin[兀一(8+A)]

(Tl

=cosA+sinQ+A

=cosA+sin^cosA+cos^sinA

由锐角△ABC知，0<4<2,

A兀.71H

且—A<],・

.2兀，,兀5兀

・・至0+铲万

■<sin(A+§坐

二冬小sin(A+耨,

即坐勺

•'.cos4+sinC的取值范围为。方).

思维升华利用正弦定理或余弦定理理清三南形中基本量间的关系或求出某些

量，将要求最值或范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求三

角函数的值域或最值问题.

【训练4】在aABC中，A=60。，BC=3、则AABC的两边长度和AC+四的

取值范围是()

A.[3V3,6]B.(2,473)

(1(3小，4小]D.(3,6]

答案D

解析由正弦定理

卷=磊=肃d=2凡〃=3,A=60。，

•，2R=sin60Q=2小,

・"C+AB=h+c=2RsinB+2RsinC

=2馅(sinB+sinQ.

令v=sinB+sinC,

y-

sinB+sin(120°—B)=sinB+sin120°cosB—cos120°sinB

3

-B+喙cos8=^sin(8+30。)，

2

又0°<Bv120°,・•・300VB+30。<150°,

.,.1<sin(B+30°)^l,

••堂vyW书,

•••AC+AB的取值范围是(3,6].

题型二有关三角形面积的计算

角度1求三角形面积

【例5】在△ABC中，BC=5,AC=4,cosNO。=号且AQ=B。，求△ABC

的面积.

A

在△CAQ中，由余弦定理可知:

(5-x)2+42-x231

cosXCAD=2X4X(5—x)=Q

解得1.••CZ)=1,AZ)=4.

在△CA。中，由正弦定理可知:

AD_CD

sinC-sinZCADf

Asin1—cos2ZCAD=4"（豺邛

：.SMBC=^ACBC^nC=、X4X5义苧

ZZO4

角度2涉及三角形面积的条件转化

【例6】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinB=2sinA,

且△ABC的面积为/sinB,则cosB=.

答案i

解析由sin3=2sinA,得b=2〃.由△ABC的面积为/sinB,得上csin8=/sinB,

由sinBrO,知c=2a,

/+/一82a2|

AcosB=~诟—=4?=4-

思维升华求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角

的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.

【训练5】如图，四边形A8C。中，B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,求该

四边形ABC。的面积.

J20°120J

BC

解连接BQ(图略)，在△BCD中，BC=CD=2,C=120。，

则NQBC=30。，所以BD=2小,NABD=90。,

所以S四边形AHC/)=SABC/)+S,M初=：X2X2X率+)x4X2小

=5^3.

题型三正、余弦定理与三角恒等变换的综合

【例7】设△A8C的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,S.a+c=6,b-

c八7

2,COSo=n-

(1)求〃，C的值；

(2)求sin(A-8)的值.

解(I)由余弦定理〃=/+/—2accos8,

得Z?2=(6r+c)2—2ac(1-bcosB),

7

又因为〃+c=6,0=2,cosB=g,

所以4=6?—2oc(l+/)，

所以4c=9,从而解得。=3,c=3.

2

(2)在△ABC中，sinB=yJcosB=^t

r.-r-r»z«•4sinB2y

由正弦定理付sinA4=石—3.

因为a=Cy所以A为锐角，

所以cosA=^/l—sin2A=T.

J

所以sin(A—B)=sinAcosB—cosAsin

—J'J74r

思维升华(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，

建立未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三

角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用.

【训练6】在△ABC中，BC=\[5tAC=3,sinC=2sinA.

(1)求A8的值；

(2)求sin(2A-胃的值.

解(1)在△ABC中，由正弦定理得

A8A3C=2BC=2小.

(2)在△ABC中，根据余弦定理，

勺止+归一叱2小

付8sA=-2AB,AC-=5'

/.sinA=y/]—cos2A=坐，

4

/.sin2A=2sinAcosA=g,

3

cos2y4=cos2A-sin2A=^,

・..04匹OA•匹_也

..sml27A-I—sin2Accs4―cos2Asin彳一行.

•课堂小结・

一、牢记2个知识点

1.三甭形的面积公式.

2.余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.

二、掌握2种方法

1.化归与转化.

2.数形结合.

三、注意1个易错点

利用余弦定理、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.

--------分层训练----------------------------素养提升

基础达标I

一、选择题

1.在△ABC中，若c=2acosB,则△ABC的形状一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案C

解析VC=26/COSBy由正弦定理得，

2cosBsin4=sinC=sin(A+8),

，sinAcos8—cosAsinB=0,即sin(A—8)=0,

又•・・一兀〈人一3〈兀，・・・A-B=(),：.A=B.

・•・△ABC是等腰三角形.

2.在△ABC中，若满足sin?A=sin?8+小sinBsinC+sin?。，则A等于()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案D

解析Vsin2A=sin2B4-＜\/3sinBsinC+sin2C,

由正弦定理得a2=b2-\-c2-\-y[3bc,

..从+♦一后也

..cosA-2bc一―2，

又•••()。＜人＜180。，.,.A=150°.

3.已知三角形面积为京外接圆面积为兀，则这个三角形的三边之积为()

B.2

D.4

答案A

解析设三角形外接圆半径为R,

贝』由兀R2=兀，得R=l.

由三角形面积S=，sin。=哈

••cibc=1.

Z4/\44'

4.已知锐角△ABC的内角4,B,。的对边分别为ab,c,23cos?A+cos2A=0,

a=7,c=6,贝=()

AJOB.9

C.8D.5

答案D

解析由23cos%+cos2A=（）得2女os2A+2cos%—1=0,解得cosA=7（cosA

t-J

=—!舍去）.由余弦定理，知/=〃+/—2/7CCOSA,代入数据，解方程求得Z?=5（负

值舍去）.

5.（多选题）在△48C中，8=3（）。，AB=2pAC=2,则△48C的面积是（）

A.2小B.小

C.3#D.4小

答案AB

解析在△A8C中，因为8=30。，AB=2小,AC=2t

々，「ACA5，旦•cABsinB小

所以由而下=而己，仔smC=—看,

又因为ABsin300<AC<AB,

所以。有两解，

所以C=60。或C=120°.

由三角形内角和定理得A=90。或A=30。.

由面积公式SA,ABC="QABAC*sinA,

所以或SMBC=2y[3.

二、填空题

6.在△ABC中，已知〃二3啦，cosC=g,S"BC=4小，则〃二.

答案2事

解析VcosC=^,CE(0,7t),，sin。=斗^,

/.y//?sinC=4小，.\b=2y[3.

7.在△ABC中，已知a,b,c•分别为内角A,也。的对边，若8=2a,8=A+60。,

贝IJA=.

答案30°

解析,:b=2a,，sinB=2sinA,

又•・•B=A+60°,sin(A+60°)=2sinA,

即sinAcos60°+cosAsin600=2sinA,

RA

化简得sinA=^cos4：tan

又・・・0o<A<180o,・・・A=3()0.

8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c.已知〃=切，b=5A=60。,

贝IJ角B=△ABC的面积为.

答案450笥叵

."A._____i。b.c/?sinAyj2

/XABC中，由-T=~^=sinB==-).

sinAsinBa2

又•：b<a,：.B<A,,・・5=45。，C=75°.

,1.3+—

♦•S△人8c=/a加inC=4

三、解答题

a2-b2sin(A-B)

9.在△ABC中，求证:

sinC

sin%—sin%

证明:左边=sin2c-

1—cos2A1—cos2B

_____22_____cos28—cos24

sin2C-2sin2C

cos[(8+A)+(8-A)]—cos[(8+A)—(8—4)]

=2sin2C

—2sin(B+A)sin(8—A)2sinCsin(A-8)

=2sin2c=2sin2C

sin(A—8)「、，

=sinC=右边,

J原等式成立.

7T

10.如图，在△ABC中，B=gAB=8,点Q在BC边上，且CD=2,cosZADC

]_

T

BDC

⑴求sin/BAD；

(2)求8。，AC的长.

解(1)在△AOC中，

因为cosZ>4DC=1,

所以sinZADC=^~y.

所以sinZBAD=sin(ZADC-B)=sinZADCcosB-cosZADCsinB

=Mx_L」x旦逆

-7272-14-

(2)在△ABO中，由正弦定理得

8X鳍

ABsinZBAD°14

BD=sinZADB=^/3~=3,

7

在△人〃C中，由余弦定理得

AC2=AB2-\-BC2-2ABBCCOS^=82+52-2X8X5X；=49.

所以AC=7.

能力提升I

11.已知锐角△ABC中，A=2B,AC=2,则BC的取值范围为()

A.Q®2V5)B.(V2,小)

。•停里ID,2隹2y[3]

答案A

RC2

解析由正弦定理彳喘7=狒，

斫闵BC_2

7rkA2sinBcosB-sinB,

即8C=4cosB,

又△ABC是锐角三角形,

所以9()。<4+B<180°且A<90°,

所以30°<B<45°,

所以等<cos

所以25<8。<2陋，故选A.

3

12.在△43C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知/二且cosB=*

nn

3

-

2+c的值为

邛

答

案

3

解析-

4Be(0,兀)，得sinB=正

4,

由/=