苏教版高一数学下册必修第二册-第一课时 复数的加法、减法、乘法

12.2复数的运算

第一课时复数的加法、减法、乘法

课标要求素养要求

1.熟练掌握复数的代数形式的加、减、

乘运算法则，理解复数乘法的交换律、通过对本节课的学习，发展数学运算素

结合律和乘法对加法的分配律.养及数学抽象素养.

2理.解共舸复数的概念.

课前预习知识探究

自主梳理

1.复数的加法运算

（1）运算法则

设Z]=〃+bi,Z2=c+di（a,b、c,d，R）是任意两个复数,那么（。+历）+（c+di）

=（a+c）+（b+cl）\t两个复数的和仍是一个复数.

（2）加法运算律

对任意Zl,Z2,Z3£C,有Zl+Z2二四+ZL（Z1+Z2）+Z3=Zj+（Z2+Z^）.

2.复数的减法运算

⑴复数的减法是加法的逆运算.

i5zi=a+bi,Z2=c+或（a,仇gd£R）是任意两个复数,贝lj（a+加）一（c+di）=地

-。）+9-瓦两个复数的差是一个复数.

（2）两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.

3.复数的乘法运算

（1）复数的乘法法则

设zi=〃+6i,Z2=c+ch(a,b,c,d£R),

贝ljziz2=(a+b\)(c+d\)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数为Z2,Z3EC,有

交换律Z]Z2=Z2Z]

结合律(2IZ2)Z3=ZI(Z2Z3)

乘法对加法的分配律Z|(Z2+Z3)=Z|Z2+Z』Z3

4.共聊复数

(1)实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共匏复数.复数z=a+bi(a,

b£R)的共辗复数记作z,Wz=a-bL

⑵当复数z=。+历(a,。£阳的虚部力=0时，z=2.也就是说，实数的共辗复数是

它本身.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

(1)复数与复数相加减后结果只能是实数.(X)

提示复数与复数相加减后结果为确定的复数.

⑵在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减.(J)

(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(J)

(4)复数的减法不满足结合律，即⑵-Z2)-Z3=Zl-(Z2+Z3)可能不成立.(X)

提示⑵一Z2)—Z3=Z|—(Z2+Z3)根据复数的运算法则可知是成立的.

2.已知复数zi=3+4i,Z2=3-4i,则zi+zz等于()

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

答案B

解析根据复数的加法法则得zi+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.

3.复数3-5i的共瓢复数是()

A.3+5iB.-3-5i

C.-3+5iD.3-5i

答案A

解析由共舸复数定义知，A正确.

4.(5-i)-(3-i)-5i=.

答案2-5i

解析根据复数的减法法则可得(5—i)—(3—i)—5i=2—5i.

课堂互动r-----------------------------------题型剖析一•

题型一复数的加、减运算

nr+m

【例1】设复数ZI=—―T-+(;n-15)i,Z2=-2+/n(/n-3)i,右zi+zz

r<•<L

是虚数，求〃?的取值范围.

解•zi15)i,Z2=-2+机(加-3)i,

，zi+Z2=(〃?+2—2)+[("]—15)+m(m—3)]i

frr—m—4,.

=----27：—+(〃P—2m—15)i.

/n+2

Vzi+z2是虚数,

/.irr—2in—15W0,且"z+2W0.

••・〃zW5,且〃3,且mH—2,，〃£R.

故〃z的取值范围为(一g,-3)U(-3,-2)U(-2,5)U(5,+~).

思维升华(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚

部合并.

(2)复数的加、减运算结果仍是复数.

⑶对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算.

(4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.

【训练1】计算：(l)(2+4i)+(3-4i)；

(2)(-3-4i)+(2+i)-(l-5i).

解(1)原式=(2+3)+[4—4)i=5.

⑵原式=(-3+2-l)+(-4+l+5)i=-2+2i.

题型二复数代数形式的乘法运算

【例2】计算下列各题：

(l)(l-i)(l+i)+(-l+i)；

(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.

(3)(1+2i)2.

解(l)(l-i)(l+i)+(-l+i)

=l-i2-l+i=l+i.

(2)(2—i)(一l+5i)(3-4i)+2i

二(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i

=(3+lli)(3-4i)+2i

=(9-12i+33i-44i2)4-2i

=53+21i+2i=53+23i.

(3)(l+2i)2=l+4i+(2i)2

=1+4i+4i?=—3+4i.

思维升华复数代数形式的乘法运算常用公式

(1)(67+Z?i)2=a1-b1-\-2abi(a,Z?£R).

(2)(a+/?i)(〃一/?i)=〃2+b2(a,R).

(3)(l±i)2=±2i.

【训练2】(l)(2+i)(2-i)=()

A.5B.l

C.4+iD.4-i

⑵复数(l-i)3+i)的实部小于0,虚部大于0,则实数。的取值范围是()

A.(-8,1)-1)

C.(l,+8)D.(-1,+8)

答案(1)A(2)B

解析(l)(2+i)(2—i)=22—i2=4+l=5.

(2)由题意z=(l—i)(a+i)=(〃+1)+(1—〃)i.

a+1<0,

a<—1.

,1—6Z>0,

题型三共匏复数及其应用

【例3】已知复数Z满足：zz+2iz=8+6i,求复数Z的实部与虚部的和.

解设z=a+0i(a,Z?GR),

则zz=a2-\-b2,

/.4+/+2i(a+/?i)=8+6i,

即2Z?+2ai=8+6i,

/+从-2b=8,

-24=6,

。=3,

解得L।

s=i,

.*.tz+Z?=4,

.•・复数z的实部与虚部的和是4.

思维升华本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难

J占・・、・

【训练3】设复数Z的共辗复数是Z,若复数zi=3+4i,Z2=，+i,且ZIZ2是实

数，则实数，等于()

A-4B3

43

C--

34

答案A

解析•；Z2=r+i,，Z2=/—i.

ziz2=(3+4i)(f—i)=3f+4+(4f—3)i,

又,；ziz2eR,A4/—3=0,

•课堂小结・

一、牢记3个知识点

1.复数的加减运算法则.

2.复数的乘法运算法则及运算律.

3.共辄复数的概念.

二、掌握1种方法一类比法

三、注意1个易错点

注意把i2换成一1.

---------分层VII练^-----------------------------------------素养提升

基础达标

一、选择题

1.复数zi=2-3i,Z2=1-2i,则zi+z2等于()

35

-.

A.(2?

553

.--

?22

答案C

155

解析*+

2--2---?

+■222

港

贝

Z+3-4+nZ于

21-J

A.

C.-1-iD.-1-3i

答案B

解析z=4+i—(3—2i)—1+3i.

3.设zi=2+/?i,Z2=〃+i(。，人ER),当zi+z2=0时，复数。+为为()

A.l+iB.2+i

C.3D.-2-i

答案D

.2+。=0,67=—2,

解析由Zl+z2=0,得1I1八得

S+i=o,b=—\.

*.a-\~b\=­2—i.

4.已知复数zi=(〃-2)-30，Z2=a+(”+2)i,且Z1+Z2是纯虚数,那么实数。的

值为（）

A.1B.2

C.-2D.—2或1

答案C

/-2+〃=0,

解析由ZI+Z2=〃2—2+。+（。2—3a+2）i是纯虚数，得得a=—

〃2-3〃+2*0,

2.

5.（多选题）若复数z满足z+2z=9+4i（i为虚数单位），贝IJ（）

A.zz=25B.z=3+4i

C.z=3-4iD.z=3+4i

答案ACD

解析设z=x+M(x,)WR),因为z+2z=9+4i,

・・・x+yi+2(x-yi)=9+4i,即3x-yi=9+4i,

=

3x=9,x3f

*l-y=4,e，b=-4,

・・・z=3—4i,z=3+4i,

/.zz=(3+4i)(3-4i)=9-16i2=9+16=25.

二、填空题

6.若复数zi+Z2=3+4i,zi-Z2=5-2i,则zi二.

答案4-i

解析两式相加得2zi=8+2i,Azi=4+i,.*.zi=4—i.

7.若复数z满足z=(l+2i)(-i),其中i为虚数单位，则z的实部为.

答案2

解析z=(l+2i)(-i)=2-i,实部为2.

8.已知a,Z?eR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)，贝I]a2+b2=,ab=

答案52

解析由已知(a+bi)2=3+4i,

即/一店+2的=3+4i,

罚一从=3,

得

ab=2,

tr=4,

解得,则〃2+/=5,b=2.

W=l,a

三、解答题

9.计算：(l)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)；

(3)已知力=2+3i,7.2=-1+2i,求71+N2,71-7.2.

解(l)(-7i+5)-(9—8i)+(3-2i)

=-7i+5—9+8i+3-2i

=(5-9+3)+(—7+8—2)i=­l—i.

43

-•

3-i

i)—2

1143

++2-+-

3-?32

=《+2—§+@—1+3=1+i.

(3)zi+z2=2+3i+(—14-2i)=1+5i,

zi-Z2=2+3i—(—1+2i)=3+i.

10.已知复数zi=1+i,§z2+az+Z?=1+i(a,0£R),求a+6的值.

解由z=l+i,得z=l—i,又Z2+QZ+Z?=1+i,

・・・(l—i)2+a(l—i)+〃=l+i,

♦二(6+/?)+(—2—a)\=1+i,

ci~\~b=I.

能力提升I

11.若复数z=一;+坐i,贝IJ1+z+z2=.

答案0

12.若1+2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则实数〃=q-

答案-25

解析：1+2i是方程/+〃工+9=。的根，

・・・(l+2i)2+Ml+2i)+</=0,

即(一3+p+q)+(4+2p)i=0,

-3+p+g=0,\p=-2,

・14+2p=0,**[q=5.

13.设ZI,Z2为复数，证明⑴zi+z2=zi