数列（考点清单知识导图+13个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期（湘教版选择性必修第一册）原卷版及全解全析

清单01数列

（12个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】数列的通项公式

如果数列｛%｝的第〃项％与〃之间的关系可以用一个公式4=/（〃）来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的通项公式.

（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的.

如数列：1,0,1,0,1,0,...

它的通项公式可以是,也可以是勺=|cos—乃|.

（3）数列通项公式的作用：

①求数列中任意一项；

②检验某数是否是该数列中的一项.

（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的笫〃项，又是这个数列中所有各项的一般表示.

【清单02】数列｛q｝的前〃项和

数列｛4｝的前〃项和：指数列｛七｝的前〃项逐个相加之和，通常用S”表示，即1=4+生+...+q；

%与S1t的关系

当”=1时6=5；

当〃22时，an=3]+a2+...++%+3)-(4+%+…+a,i)=S”-S“i

故aJS,〃=1

""一S…〃22且〃cN」

【清单03】判断数列的单调性的方法

（1）作差比较法：%+「4>0Q数列｛〃“｝是递增数列；

a,川一%<0。数歹U｛牝｝是递减数列；--4=0=数歹IJ｛《｝是常数列.

（2）作商比较法：/.当a,>0时，贝U

争>1Q数列｛4｝是递增数列；守■<1=数列｛凡｝是递减数列；乎=10数列｛对｝是常数列;

//.当，“v0时，则

也>13数列｛4｝是递减数列；也<13数列｛4｝是递增数列；-=1=数列｛%｝是常数列.

"zt"n"n

【清单04】求数列最大（小）项的方法

（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项.

（2）利用修；“用，求数列中的最大项4；

利用1%,”川，求数列中的最小项凡.

〔qKan-y

当解不唯一时，比较各解大小即可确定.

【清单05】等差数列的通项公式及性质

等差数列的通项公式

首相为q,公差为〃的等差数列｛q｝的通项公式为：4=4+（〃-1）”,

通项公式的推广

己知等差数列｛a“｝中，第m项为am»公差为d，则an=am+（n-ni）d.

等差数列的性质

等差数列中，公差为d，则

①若〃?,〃,p,gwN*,且〃?+〃=〃+“，则=（+%，

特别地，当fn+n=2〃时am+a“=2a/>.

②下标成公差为，〃的等差数列的项%+”,，％+2m，…组成的新数列仍为等差数列，公差为

③若数列包｝也为等差数列,则｛q±2｝,｛㈣±耳，（hb为非零常数）也是等差数列.

④%//%+4，%+/+%,...仍是等差数列.

⑤数列，氏+耳（4力为非零常数）也是等差数列.

【清单06】等差数列中的函数关系

等差数列｛q｝的通项公式是关于n的一次函数（或常数函数）

等差数列｛q｝中,4=4+S-l）d=d〃+（4—d）,令4-d=b,则：

a.=dn+b（d,〃是常数且d为公差）

（1）当d=0时，为常数函数，｛q｝为常数列；它的图象是在直线），=匕上均匀排列的一群孤立

的点.

（2）当dwO时，4=d〃+b是〃的一次函数；它的图象是在直线），=&-+》上均匀排列佗一群孤立的

点.

①当”>0时，一次函数单调增，｛4｝为递增数列；

②当dvO时，一次函数单调减，｛凡｝为递减数列.

等差数列｛/｝的前〃项和公式是关于〃的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）

由S,Dd=^~〃2+（q-'）〃,令4=5，B=0、一；,则：

S〃=A/+8/?（A,8是常数）

（1）当4=0即4=0时，S“=3〃=〃4，S”是关于〃的一个一次函数；它的图象是在直线），=4¥上的

样孤立的点.

（2）当d/0即Ah0时，S”是关于〃的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线y=A?+Bx

上的一群孤立的点.

①当”>0时S”有最小值

②当"<0时，S.有最大值

【清单07】等差数列前〃项和的最值

（1）在等差数列｛q｝中，

当％>0,d<0时，S”有最大值，使S“取得最值的〃可由不等式组."确定；当qvO,d>0时，

s“有最少值，使S”取到最值的“可由不等式组［凡”°八确定.

2

（2）5n=|n+^-1^z,若d/0,则从二次函数的角度看：当d>0时，S”有最少值；当dvO时，

S.有最大值.当〃取最接近对称轴的正整数时\S”取到最值.

【清单08］等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

首相为4,公比为q的等比数列｛〃.｝的通项公式为：.=qg"TqqwO）

等比数列的通项公式的推广

nm

已知等比数列｛4｝中，第/〃项为金，公比为q,贝I」：an=am-q-

【清单09】等比数列的性质

设等比数列｛〃“｝的公比为q

①若m,AZ,p、qGN.,且6+〃=〃+g,则atnan=a/t•%,

特别地,当〃?+〃=2〃时am-an=a；.

②下标成等差数列且公差为川的项4，a-am…组成的新数列仍为等比数列，公比为<广.

③若｛q），｛々｝是项数相同的等比数列，则｛oj、｛a“_J、｛他｝（%是常数且上工。）、｛—｝、｛〃；｝（小eM,

an

用是常数）、｛%也｝、｛%｝也是等比数列；

a

④连续〃项和（不为零）仍是等比数列.即-晨，S”-S2……成等比数列.

【清单10］等比数列前〃项和的函数特征

1、S”与q的关系

6（1W）

（1）当公比工I时，等比数列的前〃项和公式是"二''，

1-夕

它可以变形为S”=-^——设A=’一，则上式可以写成S〃=A-Aq”的形式，

\-ql-q1一4

由此可见，数列｛S“｝的图象是函数y=A-图象上的一群孤立的点；

(2)当公比9=1时，等比数列的前〃项和公式是S“=〃4,则数列｛S“｝的图象是函数y=qx图象上的

一群孤立的点.

2、5”与凡的关系

当公比“工1时，等比数列的前〃项和公式是S"=%二色g，它可以变形为S“=’!——j

*fl1fl1«rl

1-gI_q1_q

设4=--纥，4=’」，则上式可写成5“=Aq,+B的形式，则S。是％的一次函数.

\-q\-q

【清单11］等比数列前〃项和的性质

1、等比数列｛4｝中，若项数为2〃，贝|裂=9；若项数为2门+1,则与史=心

S奇Spi

2、若等比数列｛6｝的前〃项和为S.,则S.，S2n-Sn,4-$2“…成等比数列(其中S,，S2n-Sn,

%—s2”…均不为())・

3、若一个非常数列｛%｝的前〃项和S〃=Aqn-A(A*0闯*0,〃SN)则数列｛q｝为等比数列.

【清单12］数列求通项

类型I观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

类型n公式法：

若已知数列的前〃项和5“与%的关系，求数列d｝的通项/可用公式为=［5'5=1)构造两式

作差求解.

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即％和%合

为一个表达，(要先分〃=1和〃之2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).

类型III累加法：

4-F5T)

形如%“=4+/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造一2)

q-%=/⑴

将上述〃4个式子两边分别相加，可得：%=/(/:-1)+/(〃-2)+...”2)+/(1)+«),(«>2)

①若/(〃)是关丁〃的•次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若/(〃)是关于〃的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;

③若/(〃)是关于〃的二次函数,累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于〃的分式函数,累加后可裂项求和.

类型IV累乘法：

-=/(«-!)

形如­=〃”(〃)⑶L=/(〃)]型的递推数列(其中〃〃)是关于〃的函数)可构造:也=-2)

(I..

将上述/叫个式子两边分别相乘，可得：a,,=f(n-1)-f(n-2)•...•/(2)/(1)^An>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型V构造数列法：

㈠形如。用=/叫,+4(其中均为常数且〃/。)型的递推式：

(1)若〃=1时，数列｛七｝为等差数列;

(2)若g=0时，数列｛%｝为等比数歹!J;

(3)若且qw。时，数列｛q｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种：

法一：设为+]+2=p(an+2)»展开移项整理得an+1=pan+(p-1)A，与题设an+l=pan+q比较系数(待

定系数法)得％=-^7，(〃=0)=。“+|+—^7=〃(q+-^7)=q+—^7=〃(％_】+—^7)，即构

/7-1p-1p-1p-1p-]p-1

成以二为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可

p-1p-1

得明

法二：由*=Pan+“得q=pa„1+q(n>2)两式相减并整理得也卫=P，即｛。什1-q｝构成以出—4

an-an-\

为首项，以〃为公比的等比数列.求出｛4.「凡｝的通项再转化为类型山(累加法)便可求出明

㈡形如a"+i=〃/+/'(〃)(p。1)型的递推式：

⑴当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设a”+A〃+B=p&_]+A(〃-1)+8],通过待定系数法确定4、8的值，转化成以“+A+B为首

项，以p为公比的等比数列｛4+An+B｝，再利用等比数列的通项公式求出色+A〃+B]的通项整理可得%.

法二：当/(〃)的公差为“时,由递推式得：。“+|=〃。“+/(〃)，a”=/%“_]+/5-1)两式相减得：

“。=〃3"一%)+"，令"=%-勺得:%=pbz+d转化为类型V㈠求出可，再用类型III(累加法)

便可求出外.

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设q+%/(〃)=〃[qT+4/(〃-1)],通过待定系数法确定义的值，转化成以4+4/⑴为首项，以

父=32用为公比的等比数列｛q+4外〃)｝，再利用等比数列的通项公式求出｛&+/1/(〃)｝的通项整理可

得明

法二：当f(n)的公比为夕时,由递推式得：a”+]=pan+f(n)----①,an=pa,—+/(〃-1),两边同时乘

以q得=pqa”、+qf(n-\)----②，由①②两式相减得an+x-anq=p(att-qan_x)»即-——=P»在转

aa

n-Qn-\

化为类型V()便可求出凡.

法三：递推公式为《用=pq,+夕"(其中p，9均为常数)或%=(其中P，4，r均为常数)

时，要先在原递推公式两边同时除以,广、得：帘二巴-之+工，引入辅助数列也,｝(其中以=之)，得：

q"qq"qq'

=K"+,再应用类型VL)的方法解决.

qq

⑶当了(〃)为任意数列时，可用通法：

在%=〃《+/(〃)两边同时除以/尸可得到解=3+噜，令<="，则%=。+缥，在转化

ppppp

为类型小(累加法)，求出力之后得〃=〃》.

类型VI对数变换法：

形如h=paq(p>0,4>0)如的递推式:

在原递推式J=p/两边取对数得Ig%=glg4+lgp,令〃r=lga“得：%=血+lg〃，化归为

@一=〃4+“型，求出〃，之后得%=10”(注意：底数不一定要取10,可根据题意选择).

类型VD倒数变换法：

形如-4”=(P为常数且〃工0)的递推式：两之同除于»转化为'='--1"P形式,

anan-l

化归为q*=pan+q型求出'的表达式，再求明:

*

还有形如qM=—的递推式，也可采用取倒数方法转化成一匚=竺’+'形式，化归为

叫+q4+1qa”p

%=*”+q型求出:的表达式，再求〃”•

类型VII形如勺+2=Ph+的“型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解.方法为：设a,.-何川=/?([,用-机,)，比较系数

得h+k=p,-hk=q，可解得人、k，于是｛-姐J是公比为/?的等比数列，这样就化归为",用=pan+g型.

【清单13]数列求和

公式法

(1)等差数列｛q｝的前〃项和J=甯3=//+彗2”，推导方法：倒序相加法.

na,q=]

(2)等L匕数列｛4｝的前〃项和S.=4%(l1-T),推导方法：乘公比，错位相减法.

--------,q手T

1-^

(3)一些常见的数列的前〃项和：

一]一

①Zk=l+2+3++〃=一网〃+1)；工2k=2+4+6++2〃=〃(〃+1)

hi2£=]

②£(24-1)=1+3+5++(2〃-1)=〃2；

*=|

③宜女2=尸+2?+3?+…+〃2=,〃(〃+1)(2〃+1)：

*=|6

@^3=P+23+33++〃3=[^112]2

*-I2

分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用

分组求和法，分别求和后相加减.

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前〃项和.

错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这

个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

倒序相加法：如果一个数列｛4｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个

数列的前〃项和即可用倒序相加法求解.

号题型循学

【考点题型一】周期数列

技巧：常采用列举法探索多项之间的关系

【例1】已知数列｛q｝满足。向=1一5，4=2,则/24=()

A.2B.-C.-1D.2024

2

【变式1-1】意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即

q=4=l,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.

若此数列被2除后的余数构成一个新数列也｝,则数列低｝的前2026项的和为()

A.1350B.676C.1351D.1352

2

【变式1-2］已知数列｛%｝满足4=1,“2=2,。”+2=---,则〃2024=()

an

A.1B.2C.-1D.-2

【变式1-3］数列｛4｝满足q,+2=24x+3a“，则下列勺，%的值能使数列｛%｝为周期数列的是()

A.%=0,a2=1B.4=-1,«2=1C.4=0,a2=2D.%=-2,a2=0

4

【变式1-4］在数列｛q｝中，若6=3，〃向则下列数是｛q｝中的项的是()

3

A.4B.-4C.-D.-3

2

【考点题型二】等差数列的通项公式及其应用

技巧：等差数列通项公式的求法与应用技巧

(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差

即可.

(2)等差数列bJ的通项公式4=4+(〃-1”中共含有四个参数，即a,二，a.,如果知道了其

中的任意三个数，那么就可以由通项公式求山第四个数,这一求未知量的过程，我们通常称之为•知三求一

(3)通项公式可变形为«„=dn+(%—〃),可把对看作自变量为凝的•次函数.

【例2】满足条件/-1,，2-223-3€｛123｝的等差数列｛%｝共有()个

A.2B.3C.4D.5

【变式2-1］已知数列,是首项为5,公差为2的等差数列，则卬=（）

A.—B.—C.—D.—

25221719

【变式2-2］等差数列｛q｝中，若4+《=4,%+4=5,则％+4。等于（）

A.9B.10C.11D.12

【变式2-3］已知｛可｝是等差数列，且4+/+为=-56,%+%+/=1（X）,则4+/+%=（）

A.55B.58C.61D.64

【变式2-4］在等差数列｛%｝中，若%-牝=2,则生一出=（）

A.3B.-3C.4D.-4

【考点题型三】等差数列性质的应用

技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围：

等差数列运算的两种常用思路

（1）基本基法：根据已知条件，列出关于q,幺的方程（组），确定生,人然后求其他量.

（2）巧用性质法：观察等察数列中项的序号，若in,〃，〃,，/€、.,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq：_

【例3】已知等差数列｛q｝中，4=8,则1华式生+&+%+%）=（）

A.6B.16C.5D.32

【变式3/】在等差数歹ij｛%｝中，若%+6+%+%+%=1。0,则《+%3的值为（）

A.10B.20C.30D.40

【变式3-21公差不为。的等差数列｛4｝满足/+%,=2%（〃,〃2,p£N）,则去+羡的最小值为（）

?35

A.1B.-C.-D.-

344

【变式3-3］公差不为0的等差数歹中，%+%=%,+/，则加〃的值不可能是（）

A.9B.16C.22D.25

【变式3-4］已知｛4｝为等差数列，若由+仆+%=？兀，则tan（q+G）的值为（）

A.巫B.75C.D.-V3

33

【考点题型四】等差数列前〃项和的比值问题

技巧：设伍J,也』的前〃项和为S.,乙，则凡也=S,,,1：7；…

s〃

【例4】等差数列血｝与｛，｝的前〃项和分别为S“、7；,且h=占，则*=()

/”2/2-1%

B境7

A.2c卷D.历

〃+1，则%•=(

【变式4-1】已知两个等差数列｛〃“｝和色｝的前.〃项和分别为s/n。，且2=)

♦5/2+360

【变式4-2】等差数列应｝,低｝的前〃项和分别为5.，Tnf且3/=瞿((〃6^),则/=()

13c17-21n33

A.——B.——C.——D.—

17232947

【变式4-3】已知等差数列n｝与等差数列｛"｝的前〃项和分别记为S“Z，若第=霍，则/•的值为(

)

11B.aC.18n12

A.—

12201913

5.,26,a

【变式4-4】已次I1s“为等差数列｛%｝的前〃项和，且f=石，则一7=(

$99a5

4八2

A.3B.2C.-D.-

33

【考点题型五】求数列｛|为|｝的前〃项和

技巧：已知等差数列卜等，求绝对值数列！I%1｝的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便

是去掉绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪此项是TF的.哪此项是鱼的.即找川正、仇.项的“分界点

【例5】-等差数列｛%｝的前〃项和记为S”，已知$3=75,且《，/，-%成等差数列.

⑴求数列｛q｝的通项公式，并求北取到最小值时的〃值；

(2)求数列M|｝的前16项的和九.

【变式5-1］在等差数列｛%｝中，%=7,为=-5,｛4｝的前〃项和为5”.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)求S”的最大值；

⑶设北=14+同+同+…+㈤，求殴

【变式5-2】已知等差数列｛%｝的前"项和为S”，且％+牝=4,\=9

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=\an\,求数列｛〃｝的前〃项和Tn.

【变式5-3］已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S,,,〃eN,再从条件：①“=-3,②—③S?=-4中

选择两个作为已知，并完成解答.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)求数列｛|〃1｝的前10项的和.

【变式5-4］等差数列｛q｝的前〃项和为S.,已知心=0，52=6.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛,』｝的前〃项和

【考点题型六】等差数列片段和的性质

技巧：连续幺项的和依然成等差数列，即1—S“-S-S3X-S2k，…成等差数列，且公差为Nd」

【例6】已知S”是等差数列｛4｝的前〃项和，若a=12［=40,贝1」席=()

A.44B.52C.68D.84

【变式6-1】已知数列上｝为等差数列，前〃项和为S”.若邑=6,S6=3,则$9=()

A.-18B.-9C.9D.18

【变式6-2】已知S.是等差数列包｝的前〃项和，若54=12,&=40,则()

A.44B.56C.68D.84

［变式6-3］若等差数列｛为｝的前m项的和为20,前3加项的和S3m为90,则它的前2m项的和5工为()

A.30B.70C.50D.60

【变式6-4】设S。为等差数列｛q｝的前，，项和，已知S3=4,S6=l(),则九+的+阳二()

A.12B.14C.16D.18

【考点题型七】等差数列的奇数项与偶数项和

技巧：(1)若项数为2n，则S,”=〃(〃”+4用)-S例一S奇=，以一工=

----------------———:-------§偶为+1

(2)若项数为2〃-1,则S2n_t=(2/:-IX-5奇=nan2_S^=(n-\)an2_S^-%=an2_^-=-^―

----------------------------------------------------Sm/i-l

【例7】己知等差数列｛q｝的项数为2"?+l（/〃cN）其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则〃?=（）

A.6B.7C.12D.13

【变式7-1】一个等差数列共100项，其和为80,奇数项和为30,则该数列的公差为（）

A.—B.2C.D.一

435

【变式7-2】已知等差数列几｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为3,且3-A=45,2A=8+615,

则%=（）

A.3〃一2B.3n-］C.3n+1D.3n+2

【变式7-3】已知等差数列｛q｝的公差”=生+久+…+4OO=80,那么¥00=（）

A.80B.120C.135D.160

【变式7-4】设等差数列的项数〃为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）

n-\n2〃+1-2〃+1-〃+1

A.——B.-----C.-----D.——

nn2〃n-l

【考点题型八】等比数列的通项公式及其应用

技巧：等比数列的通项公式涉及4个量q一%一—q’只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在

这四个量中，%q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本只，问题便迎刃而解.

【例8】等比数列｛〃“｝的各项均为正数，若q+生+%=7,&=%+2生，则。7+4+%=（）

A.588B.448C.896D.224

【变式8-1】已知公差不为。的等差数列的第3,6,10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为

（）

【变式8-2］已知｛/｝是正项等比数列，若6%吗必成等差数列，则｛/｝的公比为（）

1

AC.2D.3

•3

【变式8-3］若等差数列应｝和等比数列｛2｝满足4=4-必=2=8,则詈为（）

“2

A.1B.-1C.2D.-2

【变式8-4】在等比数列｛q｝中，若％+%=16,%+4=24,则%+%等于（）

A.40B.36C.54D.81

【考点题型九】等比数列性质的应用

技巧：利用等比数列的性质解题

(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.

(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.

【例9】已知数列&｝为各项均为正数的等比数列，生和4是方程"+10=0的两个根，则

Igflj+lga2++\ga7=()

A.-B.3C.-D.4

22

【变式9-1］等比数列｛6｝中,%・生。=8,a2+a4=10,则%=()

A.4B.8C.16D.32

【变式9-2］在等差数列㈤｝中，/+绘=6,等比数列｛4｝满足a=4,则为为二()

A.9B.-9C.16D.4

【变式9-3】设各项均为正数的等比数列｛q｝满足卬《0=2%,则】%3％…%%)等于()

A.210B.2"C.11D.10

【变式9-4］等比数列血｝中，生=4,6q=128,则小的值为()

A.8B.16C.32D.64

【考点题型十】利用错位相减法求数列的前〃项和

技巧：(I)适用范围：它主要适用丁｛凡｝是等技数列，｛hn｝是等比数列，求数列｛a也｝的前2项和.

(2)注意事项：

①利用“错位相减法”时，在写出S“写应的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，式确写出

(10S.的表达式.

②利用此法时要注意讨论公匕〃是否等于I的情况.

【例10］已知公比大于1的等比数列｛%｝满足生+4=20,%=8

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若包=log?/Mg?%…记,!的前〃项和为。，证明

【变式10-1】已知数列｛4｝的前〃项和为5.，24=S〃+2,(W€N*).

(I)求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵记。”=1隼2%，数列色的前〃项和为1，4之〃(2-1)恒成立，求实数2的取值范围.

un.

【变式10-2】已知数列乩｝为等比数列，数列也｝满足"=2"+(-l)”(〃wN)且4=%-油,(/lwR,/l>0).

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)数列｛《｝满足c“二〃2%,记数列｛d｝的前〃项和为。，求7；.

［变式10-3］已知数列｛4｝满足％=2,%=34+2(〃eN),数列｛2｝的前〃项和为S”，满足25“=31+5〃.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵设j=(勺+1)0,求数列｛cn｝的前〃项和r„.

【变式10-4］已知数列｛4｝的前〃项和S“满足S”=3"+〃-l.

⑴求上｝的通项公式；

(2)若2=(2〃+1)(%-1),求数列低｝的前〃项和「.

【考点题型十一】等比数列片段和的性质

技巧:若等比数列S等的前九项和为工，则①-S%-%-邑.…成等比数列(其中2a“-S”一

1..-5,“3均不为0).

【例I”已知等比数列｛q｝的前〃项和为s”，若*■=：,则()

%4%+d6

4

A.-B.8C.9D.16

3

【变式11・1】记S.为正项等比数列｛q｝的前〃项和，若$=3,§9=21,则§6=()

A.6B.9C.12D.15

【变式11-2］记等比数列｛q｝的前〃项和为S.,若得■=］，则M()

2卜67-65>4

A.-B.—C.—D.一

918169

【变式11-3】记S.为等比数列｛/｝的前〃项和，若&=4,&=16,则6+4+知+%=()

A.36B.32C.24D.16

【变式11-4】已知等比数列也｝的前〃项和为S”，且为>°,若$5=5,九=105,则S2。=()

A.550B.520C.450D.425

【考点题型十二】等比数列的奇数项与偶数项和

等比数列桁.)中，若项数为2〃配为:若项数为2〃+1,则名」.

—---------S-

【例12】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012,偶数项之和为2024,则这个数列的公比

为()

A.8B.-2C.4D.2

【变式12-1】已知等比数列M"｝共有2〃项，其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大8(),则公比“=()

A.—2B.2C.—D.一

22

【变式12-2】已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011,偶数项之和为2022,则这个数列的

公比为().

A.8B.-2C.4D.2

【变式12-3】已知等比数列｛q｝的公比为-其前〃项和为工，且修，土；，生成等差数列，若对任意

JJ

2

的均有AWS,,一不W8恒成立，则8—4的最小值为()

A.2B.-C.—D.—

633

【变式12-4］在数列｛《)中，q=l,向=2”,若品+。,川+•=248,则〃?=()

A.3B.4C.5D.6

清单01数列

（12个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】数列的通项公式

如果数列｛%｝的第〃项％与〃之间的关系可以用一个公式4=/（〃）来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的通项公式.

（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的.

如数列：1,0,1,0,1,0,...

它的通项公式可以是,也可以是勺=|cos—乃|.

（3）数列通项公式的作用：

①求数列中任意一项；

②检验某数是否是该数列中的一项.

（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的笫〃项，又是这个数列中所有各项的一般表示.

【清单02】数列｛q｝的前〃项和

数列｛4｝的前〃项和：指数列｛七｝的前〃项逐个相加之和，通常用S”表示，即1=4+生+...+q；

%与S1t的关系

当”=1时6=5；

当〃22时，an=3]+a2+...++%+3)-(4+%+…+a,i)=S”-S“i

故aJS,〃=1

""一S…〃22且〃cN」

【清单03】判断数列的单调性的方法

（1）作差比较法：%+「4>0Q数列｛〃“｝是递增数列；

a,川一%<0。数歹U｛牝｝是递减数列；--4=0=数歹IJ｛《｝是常数列.

（2）作商比较法：/.当a,>0时，贝U

争>1Q数列｛4｝是递增数列；守■<1=数列｛凡｝是递减数列；乎=10数列｛对｝是常数列;

//.当，“v0时，则

也>13数列｛4｝是递减数列；也<13数列｛4｝是递增数列；-=1=数列｛%｝是常数列.

"zt"n"n

【清单04】求数列最大（小）项的方法

（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项.

（2）利用修；“用，求数列中的最大项4；

利用1%,”川，求数列中的最小项凡.

〔qKan-y

当解不唯一时，比较各解大小即可确定.

【清单05】等差数列的通项公式及性质

等差数列的通项公式

首相为q,公差为〃的等差数列｛q｝的通项公式为：4=4+（〃-1）”,

通项公式的推广

己知等差数列｛a“｝中，第m项为am»公差为d，则an=am+（n-ni）d.

等差数列的性质

等差数列中，公差为d，则

①若〃?,〃,p,gwN*,且〃?+〃=〃+“，则=（+%，

特别地，当fn+n=2〃时am+a“=2a/>.

②下标成公差为，〃的等差数列的项%+”,，％+2m，…组成的新数列仍为等差数列，公差为

③若数列包｝也为等差数列,则｛q±2｝,｛㈣±耳，（hb为非零常数）也是等差数列.

④%//%+4，%+/+%,...仍是等差数列.

⑤数列，氏+耳（4力为非零常数）也是等差数列.

【清单06】等差数列中的函数关系

等差数列｛q｝的通项公式是关于n的一次函数（或常数函数）

等差数列｛q｝中,4=4+S-l）d=d〃+（4—d）,令4-d=b,则：

a.=dn+b（d,〃是常数且d为公差）

（1）当d=0时，为常数函数，｛q｝为常数列；它的图象是在直线），=匕上均匀排列的一群孤立

的点.

（2）当dwO时，4=d〃+b是〃的一次函数；它的图象是在直线），