数列（中）通项与求和（数学竞赛试题汇编）解析版-2025-2026学年高中数学竞赛试题汇编

专题09数列（中）

.全国各地竞赛真题试题汇编「

一、填空题

1.（2025•贵州预赛）已知斐波那契数列｛5｝:&=1,6=1，&=%-1+七-2523）,则自+今+去+—+

卜1尸2尸3

心=.

&2----

【答案】840

【详解】由题意可知：冬=?+祟故可求得和为840.

卜3卜2卜1

2.（2025•新疆预赛）已知数列｛Q?J满足Q〃+I=3an-2an_i（n>2,neN*）,%=0g=4,则如025=-

【答案】22。26一4

【详解】根据递推关系可得an=2n+1-4,则azozs=22026-4.

3.（2025•北京预赛）定义数列（aj4-1,而+1一卢2■.若MJ的最小正周期为3,贝1甩025一____.

1-xan

【答案】±e-2.

1+X9

【详解】解法L%=1,。2=三,。3=语=岩E，*=三韶=花二工，要求%等于%=1，

1-X1'-2

即X=0,75,-75,但％=0时最小正周期为1,故％=±V3,于是。2025=。3=1+［_：，_2=1+二］=

1_二=二=±百_2.

X+l1+X

解法2：记册=tanb^b”£（一］,习，％=tan。.无W（—K）,则tanb^+i=tan（bn+。），故tanbn+3=

tan9+38）,但tanb+3=a』=叫=tanb,故b+3。与力“相差兀的整数倍,从而。是日的整数倍，但因

nnn«5

1不是周期，故。工0,只能。=±?,。2。25=%=tanb?=tan（瓦+2。）=产普1=卷得=±6一2.

31-tanzt/1+V6

4.（2024•江苏预赛）已知数列｛斯｝满足%=1,其前几项和为S〃，若对任意的正整数犯几，当m>九时，

恒有Qm+n+am-n=2am+2册，则S】。的值为.

【答案】385

【洋解】取m=2,几=1=a?+S=2a2+2al=%=2a2+Qi=2a2+1；

取m=3,71=1=04+a2=2a3+2al=>a4=2a3—a2+2；

取m=3,n=2=>a5+ax=2a3+2a2=>a5=2a3+2a2—1；

取m=4,九=1=曲+的=2a4+2al=Q$=2a4—a3+2,

a3=2a2+1,a3=2a2+L

则a4=2a3—a2+2,=2CZ4=4a3-2a24-4,=>a2=4.

2a4—a3+2=2a3+2a2—12a4=3a3+2a2—3

又取ri=1=a7n+1+am_1=2am+2=am+1-4m=—^m-1+2、

于是Qm+i-am=a2一+2(m-1)=2m+1

n-1n-1

=an=%+乏(Qm+1-«vn)=1+W(2m+1)=MS£N)

m=lm=l

所以$0=M+22+...+102=10x11x21=385.

5.(2024•贵州预赛)已知数列Sn｝：的=。2=1，41+2=/t+l+Qn(n£N"),则X昌1cl?=.

【答案】33552

【详解】成+i=an+1an+2-anan+1,则X音［居=1+2%3+1田+2一/为+1)=%2a⑶

而。3=2,=3,。5=5,=&a7=13,Q.Q=21,。9=34,a］。=55,a1］=89,

a12=144,a13=233,所以E昔=144x233=33552.

6.(2024•贵州预赛)已知数列｛aj｛bn｝满足%=2瓦=2,an+i=3an-kbn+2n-l,bn+1=an+3bn+n,

则｛aj的通项公式即=.

【答案】|(4n+2n-2n)

【详解】］产::。嗔？:廿T=册+1+九+】=4(即+bn)+3n-1

(01+1一十十71

->a〃十！+bn+1+(n+1)=4(an+bn+n)fM>Jan++n=4"fQ〃+%=4"—n?

同理可得an+i-bn+i=2(an-%)+n-1=>an+1-bn+1+(n+1)=2(an-bn+ri)

nn

=a7l—bn+n=2=>an—bn=2—n,

所以%=34"+2n-2n）.

7.（2024•福建预赛）已知%为数列｛册｝的前八项和，且Sn=J册一：乂3'+3则2024成立的最

888

大正整数九的值为.

【答案】1799

【详解】n?2时，龈:二量1%；3n叫"9aL衣】-亦…+3,

=叼=9—+2.3八=泉=3.察+2=票+1=3(貂+1).

又n=1时，5%=2—?=%=6=^+1=3,

oooS

则呼1=3n=>a=3n(3n-l)(nGN").

*5+n

nI(9n-l)-1(3n-l)=j(9w-3n)-1(3n-l)

于是为=9-3"=>Sn=

1=2一黄从而

Cn8

n_n1

2^=2G-84^)=§n-^47^=In_^(i_^)=^(6n-i)+i64^-

i=li=l1-3

所以黄6〃-1)+高。<2024=>n<1799.

161O-3'

8.（2024•浙江预赛）已知数列扇｝满足：x、=4,xn+i=%分条,n>l,则通项曰=

2Y第八十八（"+1）

【答案】原

【详解】由…小黑片/=苧>。，得f>。，两边平方得脸L黑嵩，

则工=^^=2_+^=_£+2_工，

好+in(n+l)媒Xnn(n+l)nn+1

即有；+'7=3+L因此数列洛+4是常数列，4+111=4+7=3,

*文+in+1x„nnnX｛1

所以“后

9.(2024•广西预赛)设数列｛知｝满足.=2001,xn+1=xn+%,其中为等于f的个位数，则必。24=

【答案】12108

【详解】x2=2002,y2=2,x3=2004,y3=%

x4=2008,y4=8,x5=2016,y5=6,

x6=2022,y6=2.一般地：yn+4=yn(n>2).

%+yn+i+%+2+%+3=20(九>2).

于是，xn+4=xn+20,进一步有x?i+4k=+20k,n>2.

因此，X2024=X4+20x505=2008+10100=12108.

10.（2024•重庆预赛）数列｛“｝满足%=1,即+1-〃―即+2一即+1(neN*),若+a2a3+…+Q6a7=3,

art+2

则12024=-

【答案】施

【详解】由皿*二心+2-旬+1可得工+

n+2

则数列｛J为等差数列，首项为:3设公差为d,

则由。2+a2a3+…+a6a7=力+篇两+…+（i+5d）\+6d）

9(1-f)+岛-出+…+岛-扁)卜岛=3=d.

202320296

故‘一=1+

a2024二'=Q2024=元项

11.（2023•东莞预赛）已知数列｛断｝满足%=1,a=a

n+1，则正肾ak=

2(n+l)an+l

【答案】器

弋+2(n+l),则有

【详解】an+1=---------=----

2(n+l)an+lan+l

n-1H-1

11

—=---FW---=2+2+1)=24-(n-l)(n+2)=n(n+1)

aa

7lii=lt=l

1

n(n+l),

12023

所以2匿%1=求肾嬴=£泻3（»W）=14-----=----

20242024

12.(2023•内蒙古预赛)设…，On，…满足=。2=1，。3=2,若对于任意的九EN“，都有卅,生+「

«n+2-an+3=an+an+1+an+2+an+3,贝七=.

【答案】4044

aa=a

[详解]«!•a2'3'4l+。2+。3+。4=。4=R；",：；

.+。2+。3

_-2+。3+。4_十。3十.02,03一1_(-2+。3)(。1。。2・。3-D++口2+。3

a2-a3a4-l~%+a?+&_1-a2•«3(«1+a2+a3)--a2-a3+1

23Q]•也•Q3・1

a

C1,a2'a3(a2+a3)+l

=--------7-------;------=%,

a2a3@+。3)+1

anG

同理可证明%+4=n(N").

则%=a=1,a=2,a=""2=4,又2023=4x505+3,

2341-1-2-1

所以于肾3见=505*8+4=4044.

13.(2023•山东预赛)数列｛aj中，的=1,0+i=1+=1,2,…),那么每=.

nan

【答案】2+义

【详解】«71+1=1+-=—»不动点方程为％=巫=>%=-1,2.

ananx

则a“+]+1=^^,a-2==一2•Q,

n++11

ananan+l-2an-2

于是泞=泞•(一2尸一1=(—2)%所以an=2+—(neN*).

an-za「n(―/尸一1

14.(2023,苏州预赛)已知数列｛%｝满足%=l,g=2,an+i_3an+2an^=l(n>2,nGN*),则｛%｝的

通项公式为.

,l

【答案】an=2-n

【详解】a7l+i-3an+2an_t=1=an+1-an+1=2(an-an^+1),

nn

又"2一%+1=2=an+1-a„4-1=2=»an+1-an=2-1.

ln

所以即=%+E^Mai+i—aj=2-n+2=2-n.

15.(2023•新疆预赛)已知非零数列Sn｝满足%=1，。2=3,On3n+2-1)=41+1(/1+1-1)，兀WN>则

c2023al+Go23a2+C^023a3+…+C碧总Q2024的值为•(用整数指数累表示)

【答案】2•32023—22023

【洋解】an(an+2-1)=即+式每+】-1)===啜==…=F=2,

an+lanal

nn

则册+i=2an+1=>an+1+1=2(an4-1)=>a„+1=2=>an=2-1.

于是

2,..223

,2C23al+C2023a2+C2023a3+…+C2023a2024

-2(2+l)2023—22023—2.32023_22023

16.（2023•浙江预赛）已知数列g,J满足a】=；,册+】=———-,n=12…，则£如产田=

/LflOJUn

【答案】2023

4047

【详解】二一=--(2n+l)(2n-5)=--4n2+8几+5

«n+ianan

11

=--------[a(n+l)24-b(n+1)+c]=2-------(an2+bn+c)

an+iLa”

12

=--------[an24-(2a4-b)n+a+b+c]=-------(2an2+2bn+2c)

an+lan

12

=--=-——an2+(2a—b)n+a+b—C=Q=4,b=0,c=-l.

则；_(4/_1)=[/(4_1)].2…=0=Q-&.

所以£晋3舟=：£晋3(六一念)=T(1一总)=怒.

17.(2022•广西预赛)设火屋,即E(01)且tanan+1♦cosan=l,n>1.若口匕逆也以=击，则m=

【答案】3333

22

【详解】tanan+1-cosan=1=>tsnan+1=二丁=tanan+1

oz.ota3〃-2・13rL2

=>tanan=tan"%+n—1=—=sinan=/藐n，

则嘿isin纵=%焉=忌=击

=>3m+1=10000=>m=3333.

18.（2022•浙江预赛）己知数列的=l,an=总三（九工2），则2玄=1（%。2…%）=.

【答案】2口一扁]

【详解】。逆2…以="心…江）鼠人1）=焉=2伍一岛a

所以£k13通2…/）=2[l--^-],n=1也满足上式.

19.（2022•吉林预赛）己如数列｛%｝的各项均为正数，若对于任意的正整数p,q,总有%+q=Qp,%,且

aQ=16,则.

【答案】32

1

【详解】Qp+q=ap-aq=>an=a；,于是他=16=>a2=2,。]。=32.

20.(2022•吉林预赛)设数列fan)的前几项和外满足：Sn+an=“:二口,n=1,2,…，则通项“=

【答案】吴嬴

【详解】几22时，Snr+Qn-l=~F1，

111"人n(n-l)

_n-1n-2_(n-l)2-(n-2)(n4-1)

2""Q〃Tn(n+1)n(n—1)n(n—l)(n+1)

_-n+3_(n+1)-2(n-1)_12

n(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)n(n-1)n(n+1)

2]

=>2a+———=+—_—»IL%=0,

n“n(n+l)"1n(n-l)1

所以曲+岛圭=/=的=高_花晶SEN）

三、解答题

21.（2025•重庆预赛）已知数列｛g｝满足的=£5£7*）,数列出“｝满足儿=%,瓦E｛即一色｝（i工2）,S〃

为数列｛5｝前九项和・

（1）若S4n=：（1-/），求｛%｝的通项公式；

（2）对于给定的几WN”,求又能取到的所有值.

-

【详解】（1）若S4n=：（1—击），则8471-3+b4n-2+^4n-l+Kn=54n^4n-4=1（斤三一击）二..

设％=心%，其中心€口,一1｝，则8­；；产.“一+[=三n8kM+他=2+2k4*1+%=3,

仔=0,1（mod4）

故只能是k4n-3=1,k4n-2=々47i-i=-l,k4n=1»所以％=<1

（^--,71=2,3（mod4）

（2）我们归纳证明，所有可能的％=竽，7"=1,2,…,2*1.

n=1,时，S]=命题成立；

假设？i=k（k6N*）时命题成立，即5比==1,2,…，2*T,

则当n=k+l时，几+-品±/=3=汽泮，

即品+】=区零产或第二,m=L2―・，2i,即s—=黑加=1,2,…，2号

故荏=左+1时，命题也成立.

22.(2025•广东预赛)已知数列满足：ai=l,a2=l.an+2=«n+i+CLn(n>1).

n

定义：%=an+2an-W+i，。=*+(-l).

(1)求匕2025的值.

(2)是否存在实数r,使得££=22<人对任意几32恒成立？并存在，求出r的取值范围，若不存在，请说

心

明理由.

【答案】(1)1；(2)存在，r>1.

【详解】(I)注意到

瓦+i=an+3a?i+l-an+2=(an+2+an+l)an+l-an+2=—an+2(an+2-an+l)+an+l=~an-¥2ai\+an+l

=f

因此加为等比数列,公比为-1,匕=(一1尸瓦=(-1尸也025=L

n

(2)由(1)知(-I)"-?=bn_]=an+1an,1-a„(n>2),从而cn=+(-l)=即+1即-1(nN2),

裂项得工=—1—=痴+】一如一=—1.......-,

Cn^n+lOn-lan+l^n^n-lan-lan^n^n+1

故岌=2-=S2=2(--------)=---------=1-^―，

z

K"kK。逆2an«n+lanfln+1

但显然斯〉即-1即即由i-i二3易得即二即।(九1)=n,故上式右边小于1且当n>8时趋向于|,

故若上式小于r对任意nN2成立，这样的r存在，其取值范围是[1,+8）.

23.（2023•江西预赛）设正项数列｛4｝满足an（0n-an.i）=味1）,且%=1.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）求证：对任意互不相同的正整数坊,匕2,…，以，都有加W匹+§+?+•••+§.

【答案】⑴%=1+”+・・,+巫

n2n

（2）证明见解析

【详解】（1）。2（。2—1）=学（1+学）=。2=1+苧，

。3口1-引—（1+彳+旬=。3=1+2+于

猜想：an=l+y+-+^（nGN*）.

假设〃=k时结论成立，则〃=k+l时，有

=%+i=1+当+…+半+、：：：,即九=k+1时结论也成立.

由归纳法原理知，对一切〃£N",都有册=1+¥+•••+¥・

（2）设iVj,b[>bj,则呼+牛-（牛+年）=（制_禽）（：-））

=50-。（、/瓦一两）〉。，即调换J瓦,拒的位置后原式的值减小•

不妨设灰1<仇2<•••<如为与也，…,bn的一个排列,

所以匹+《+华+…+叵工商+冬+绥+•••+叵N1+号+-+亚=册.

v123nV"23n2nn

24.（2022泗川预赛）己知各项均为正整数的数列｛a，｝满足:对于任意的正整数都有a*=*及。而+d=

amak,求数列｛册｝的通项公式.

【答案】即=1

22222222

【详解】利用恒等式(a2-b)+(2ab)2=(a+b),得(M.1)2+(2m)=(m+l),

[(rn+l)2—m2]2+[2m(m4-1)]2=[(m4-1)2+m2]2,结合条件得

a(m2+l)2=am2-la2m=am2+l,a[(m+l)2+m2]2=a2m+la2m(m+l)=a(m+l)2+m2,

下面用数学归纳法证明即=1・

当九=1时，%=送，旦册€旷，则由=1,结论成立；

当n=2时，«2=。1+1=%,即=1，结论成立；

假设n<k(k>3)时结论成立,

a2

若A=2m,a(m2+1y=am2_1a2m=+1=(m-«1)=1，且即€旷，则“J=。27n=1；

若k=27n+1,O[(m+l)2+m2]2=a2m+la2m(m+l)=a(m+l)2+m2=(am+l*am)2=1，

且匍6N”,则©m+l=Q2m(m+1)=1，于是九二攵时结论也成立.

综上，由归纳法原理，对任意n£N",都有册二1

25.(2022•浙江预赛)设数列｛QJ满足Qi>0,a=a+-(n>1),证明：

n+1nan

(1)数列｛/-n｝(n>2)单调递减;

(2)存在一个常数c使得Ebi2Jwcm之2.

K~rL

【答案】证明见解析

【详解】(1)显然由=1时，利用数学归纳法易证即=九，此时结论显然成立.

当出>0,。1学1时,取=。1+1>2；

n一为

假设即>n(n>2),由于即+i-(n+1)=a+—-n-1=a-n4-

nanM

=(即一n)(1—2)>0=Q〃+I>n+1.从而对任意九22,都有即>九・

又&i+i—(九+1)=@一九)(1一")<Q“一n(n>2),所以数列｛Q〃-n｝(n>2)单调递减.

(2)显然的=1时，ak=k,取c=0,结论显然成立.当%>0,出01时，

令&=九(即一九)，则

Xn+1=(R+l)(On+i-n-1)=(n+l)(an-n)

=I—J=(1+^T-i)^=a+RM，

其中Rn=^±-J-|/|<3!11<也筌1=写.

=>?n1z

nannannannM

「是

Xn+1=(1+Rn)Xn=X2口(1+Rk)<X2口(1+\Rk\)=七①b21n(1+®I)

k=2k=2

<x2e^-zl^l<表<启<

a2-1aa-1

而X2=2(a2—2)=xn+1<2(a2—2)e>记A=2(a2—2)e.

则有%=n(a„-n)<A=>an-n<^=>^3蒲亍(九之2)，所以

nak-k=%-1yak-k<%-1ya=%-1功Q____%-1乙

TTT一~2~乙TTT_~^2~乙k(k+1)~~~2~\2~^r+772

k2=lk=2k-2

综上，存在一个常数c使得

M十JL

26.(2022•甘肃预赛)已知数列｛即｝满足：对任意正整数人有斯(2S“-an)=1,其中表示数列｛an｝的

前几项和.证明：

(1)对任意正整数九，有即<2而；

(2)对任意正整数n,有许斯+1<1・

【答案】证明见解析

【详解】(I)an(2Sn-Q〃)=(Sn-Sn-l)(Sn+5n_t)=-5^=1=>5^=+1,

结合n=1时，a?=Sf=1,于是"=n=>Sn=6或S”=-Vn.

所以册=Sn-Sn_i<Vn4-Vn-1<2y/n.

(2)只需考虑/,在ll同号的情况•

若为,每+1均为正，此时Sn+i>Sn>Sn_i>-y/n-1>-Vn,则又=>Jn,Sn+1=Vn4-1.

于是即=Vn±Vn-1,an+1=VnTT-G，从而

anan+1<(Vn+y/n-l)(Vn+1-Vn)<(Vn+Vn4-l)(Vn4-1-Vn)=1.

同理可证a”,即+1均为负的情况.所以对任意正整数九，有<1,

27.(2022•苏州预赛)已知数列｛。n｝满足册>。,臼=2,且(A+l)a"i二"磋+a”,兀€N*.

(1)证明：1Van+1<a„；

(2)证明：竽+粤+与+…+曾V2.

22324220222

【答案】证明见解析

【详解】(I)(几+l)W+i="W+a”=(几+l)W+i—(n+1)=na^-n+an-1

n(n+l)(an+1+l)(an+i-1)=(nan+n+l)(an-1),

于是a〃+i-1与斯一1同号，又eq-1>0,从而即>L

所以(n4-1)成+i=na^+an<na^+所=(n+1)碎=>an+1<an.

综上，有1