苏教版高一数学下册必修第二册-两角和与差的正切

10.1.3两角和与差的正切

课标要求素养要求

1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式

从公式间的联系入手，引导学生对公式

推导出两角和与差的正切公式.

变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑

2.能利用两角和与差的正切公式进行化

推理、数学运算素养.

简、求值、证明.

课前预习----------------------------------知识探究

自主梳理

1.两角和与差的正切公式

名称简记符号公式使用条件

tana+lan/?

两角和的正切公式

、~1-tanatan6«,//,a+/3,a-

71

tana-tan6夕WE+］（攵EZ）

两角差的正切公式T（a-/?）tan（a—S）

。点睛

两角和与差的正切公式中注意

①a,B，a+.，a一夕均不等于女兀+笈£2).

②符号变化规律“分子同，分母反

2.两角和与差的正切公式的变形

(1)T他皿的变形：

tana+tan=lan(a+6)(1-tanalan夕).

tana+tan+tan«tan供an(a+夕)=tan(a+£).

tana+tan/?

tanatan股匕记不犷.

(2)7%用的变形：

tana-tan/?=tan(a-6)(1+tanatan6).

tana-tan/?-tan画an伏an(a-//)=tan(a-

tana-tanP

.awn股画三厂二L

自主检验

1.思考辨析，判断正误

(1)存在a,pGR,使tan®+£)=tana+tan£成立.(J)

tana+tan£

⑵对任意的4眸R,tan(a+/?)二二而工诉都成立.(X)

7T

提示两角和的正切公式的适用范围是a,B，a+4WE+g(AWZ).

(3)tan(j+§能根据公式tan(a+6)直接展开.(义)

提示3的正切值不存在.

2.已知tan"+tan/?=2,tan(«+/0=4,贝ljtanatan=()

A.2B.I

C.5D.4

答案c

Ctana+tan^

解析.tanm+S)=i—tan〃tan〃

2

=4,tan画an夕=/.

**1—tanatan0

=I，贝IJtana

3.已知tan

答案|

解析

、1-lan75。

4•求值：1+tan750

答案-坐

MILhqtan45°—tan75°{5

解析原式=j+tan45otan75O=tan(45°-75°)=tan(-30°)=­y.

课堂互动题型剖析

题型一公式的正用、逆用、变形用

【例1】⑴若tana=；,tan®+H)/贝!|tan4=()

A-7B6

C-7D6

1-V3tan75°

⑵忑+tan75。=--------；

⑶求值：tan230+tan37°+小tan23°tan37°=.

答案(1)A(2)-1(3附

1_1

tan(a+/O-lana231

解析⑴tan看tan[(a+£)—a]=]+tan皿)tan7-T=7

,+2X3

1-tan60°tan75°_________1_____________1___

(2)原式=-6()。+tan75。=tan(60。+75。)=lan135。

⑶「tan23°+tan370=tan60°(l—tan23°tan370),

・,・原式一3tan23°tan37。+小tan23°tan37。=4

思维升华探究公式Ta±m的逆用及变形应用的解题策略

的代换：在Tg珈中，如果分子中出现“1”常利用l=ta苗来代换，以达到化

简求值的目的，如瓷联力；m」.

1+tana14)华1—卢tanaM丫l町

(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tana±tan/'及"tanman夕'两个整体,

常考虑tan(a±/?)的变形公式.

【训练1】求值:

1+tan15°

(l)"i__7._/(2)lan100+tan350+tan10°tan35°；

i—[aniD

(3)(1+tan18°)(1+tan27°).

l+tanl5°tan450+tan15°

解("l-tan15。=1—tan150tan45。

=tan(450+15°)=tan60。=5.

,।八tana+tanB_

(2)由tan(a+/?)=[小的变形

r1—tan6ttanp

tana4-tan/7=tan(«+/y)(l—tanatan夕)得：

tan100+tan35°=tan45°(1-tan10°tan35°)

=1—tan10°tan35,

所以tan100+tan350+tan10°tan350=1.

⑶(1+tan18°)(l+tan27°)=1+tan180+tan2704-tan18°tan270=l+tan45°(1-

tan18°tan27°)+tan18°-tan27°=2.

题型二条件求值问题

[例2]⑴设tana,tan1是方程1-3X+2=0的两根，则tan(a+夕)的值为()

A.-3B.-1

C.lD.3

(2)已知sina《，。为第二象限角，且tan®十份二-小，贝ljtan£的值为()

A.一小B.小

C.-乎D.坐

答案(1)A(2)C

解析(1)由题意知tana+tan夕=3,tanatan尸=2,

tanw+tan3

・•・tan")=1—tanatan//=K=-X

(2)Va为第二象限角,

・A也

..cosa<0,cosa=—

乙0

・t近

..tana=一书.

,tan(a+4)—tana

tanA=tan[(a+^)-a]许

_f+坐―事

1+(~<3)义(一坐)3

思维升华给值求值问题的两种变换

(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三南函数公式，通

过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.

(2)角的变换：首先从角间的关系人手，分析已知角与待求角间的关系，如用

一0一幻，2a=(a+4)+3一6等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地

建立等量关系，从而求值.

【训练2]已知tan(c+^)=|,tan(/?一=；.求tan^a+野的值.

解tan(a+§=tan(a+£)—伍一号)

tan(a+尸)-tan%一号)$一g2

1+tan(a+£)tan,一§l+|x|9

题型三给值求角问题

【例3】(1)在△43C中，tan4=/,tan8=-2,则角C=.

答案1

i-

,tanA+tan832

解析tan(A+B)=~~~=j=-1,

1—tan/UanB]_9(—2)

3n

VA+Be(0,兀)，・・・A+8=7，

/.C=TC—(A+B)=^.

(2)若%《均为钝角,H(1-tana)(l-tanfl)=2,求a+p.

解V(l-tana)(l-tan^)=2,

1—(tan«+tan夕)+tan6ztan0=2,

tana+tan夕=tanatan夕一1,

tana+tanB,

1—tanatan厂一••而3+S)=T.

*.'a,/?£蜃，nj,.•♦以十/£(TC,2K).

，a+4=牛.

【迁移】(变条件，变设问)若本例条件为：tana=|,tan/?=|,且a,作(0,外,

求2a+£的值.

2

5.tan«+tana33

解.tan2a-tan(a+a):—'一；------------—T,

1—tan-(z小24

31

-+-

47

tan2a4-tan//

3

••・3(2。+0=而石新厂-X

4

又tano.=ytan且«,阳0,I

,Z?e(O,7.♦.2a+夕£(0,

・・・2〃+"=

思维升华探究利用公式T(a坳求角的步骤

(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.

(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解),

根据范围找出角.

【训练3】已知a为锐角，且tan(a+/?)=3,tan(a-n)=2,贝IJ角a=()

A.5B

o4

C红「九

J8D.j

答案C

,tan(a+6)+tan(a-/?)3+2

解析Vtan2a=tan[(a+夕)+(a—/?)]=ian(a+/Dtan(a—Q

1—3X2

-1,

/.2a=—?+kit(k£Z),.*.«=一号+夕兀(A£Z).

4oZ

又・・・G为锐角，・•・]=?一名=召.

Zoo

•课堂小结，

一、牢记3个知识点

1.两角和与差的正切公式的推导.

2.两角和与差的正切公式的结构特征.

3.公式的正用、逆用、变形用.

二、掌握1种方法——转化法

三、注意1个易错点

公式中加减符号易记错.

--------分层训练W----------------------------------素赤提升

基础达标

一、选择题

1.若tan[；+a)=2,则tanQ的值为(

)

A-3B.-T

C.1D.-|

答案A

14-tana

解析由tanK+a—-------=?

1—tana

解得tana=1.

2.已知A+8=45°,则(1+tanA)(l+tan3)的值为

()

A.lB.2

C.-2D.不确定

答案B

解析(l+tanA)(H-lanB)

=1+(tanA+tanB)+tanAtanB

=1+tan(A+B)(I—tanAtanZ?)+tanAtanB

=1+1-ranAlanB+ianAtanB=2.

3.已知A,B,C是aABC的三个内角，且lanA,tan8是方程3f-5x+1=0的

两个实数根，则△48。是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.无法确定

答案A

析

解5

由-

3tanAtanB=q,

tanA4-tanB5

tan(A4-B)=

1—tanAtanB2'

5

-

2

又C£（0,兀），，C为钝角.

・・・△ABC为钝角三角形.

7T

4.在△ABC中，NA+NBW》且tan4+tanB+=小tan4tan贝lj角C的值

为（)

.兀B等

A-3

心呜

C-6

答案A

解析依题意tanA+tunB=y[3tanAtanB一小,

tanA4-tanB巾tanAtanB一小

.'・lan(A+B)=~~~;­„=7r3,

1—tanAlanB1—tanAtanB'

又tanC=tan[n—(A+B)]=—tan(A+B)=y[3,

71

Ce(o,it),，C=?

5.(多选题)下列式子化简结果为小的是()

A.tan250+tan350+#tan25°tan35°

B.2(sin35°cos250+cos35°cos650)

-1-tan75°

JC--1-----t-a-n--7-5-°--

1-tan75°

D--1-tan75°

答案ABC

解析对于A,利用正切的变形公式可得原式=、行；

对于B,原式=2(sin35°cos250+cos35°sin25°)=2sin(35°+25°)=2sin60。=3;

tan135°—tan75°

对于C,原式=1+tan135°tan75o=tan(1350-75＜：)

=tan60°=^3;

对于D,由C知，原式=七=坐，

故选ABC.

二、填空题

6.已知tan(atan(^-穿二_1.贝=

sina+cosa

7.已知sina-cos厂3,tan(a-为=2,则tan(7?-2a)二一

答案f

i……sina+cosatan«+1

解析由条件知E^=E7=3,则tana=2.

因为tan®—£)=2,所以tan(£—a)=-2.

故tan(^~2a)=tan[(^—a)—a]

Um(£—a)—(ana_______2_2_____4

14-tan(夕一a)tana1+(-2)X23,

8.已知4,B都是锐角，且tanA=g,sinB=乎，贝ljtan(A-B)=,A+B

Tt

答案

"74

:8为锐角，sin8=坐，/.tanB=$

解析

tanA—tan6321

tan(A-B)=1+tanA(anB=ii=~T

,+3X2

1.1

tanA+tanZ?32

tan(AB)]—tanAtanB11

1-3X2

V0<A+B<7t,・"+8=；.

三、解答题

9.已知tana,tan夕是方程x2—3上一3二0的两根，试求sin2(a+6)—3sin(a+Q)cos(a

十0-3cos2(。+.)的值.

[tana4-tan6=3,

解由已知有”.

[tanatan〃=-3.

.tana+tan133

，，tan(tt+^)=l-tanatan/?=l-(-3)

sin2(a+/?)—3sin(a+/?)cos(a+//)—3cos2(a+fl)

sin，(a+夕)-3sin(G+A)cos(a+5)-3ccs2(a+£)

sin2(a+/)+cos2(a+/)

tan2(a+£)—3tan1Q+£)-3

tan2(a+B)4-1

C)F-3

-机o——3.

兀3冗

1().已知tan夕，tan夕是方程6f-5工+1=()的两根，且O〈a＜会兀＜“＜手，求tan(a

+为及a+4的值.

解•:tana,tan4是方程61一5x+1=0的两根，

5

-

6tan«tan0=《,

5

-

6

tan«+tan0H

1-

/.tan(a+//)=1_tanata-

6

r••八兀兀.ice.ic3兀

X.0<a<2，兀<夕<爹，••兀<a+£<2兀,・・a+/?=了.

能力提升I

11.如图，在△AC。中，AO_LC。B为边CD上一点,3.BD：CD：AD=2：3：6,

贝ljtanZB71C=

答案!

解析VADIBCS.BD：CD：AD=2：3：6,

BD]

••tun/BAQ=4Q=q,

CD1

tanNM而一

tanZBAC=tan(ZCAD-ABAD)

tixnZCAD—tixnZBAD231

l+tanNCADtanNB4O=-I1=7'

1+2X3

12.已知lan(a-H)=;，tan/?=-4,且a,夕£(0,兀).则

(l)tana的值为

(2)2。-夕的值为.

答案(1)|(2)-竽

解析(l)tana=tan[(a—.)+S]

tan(a—/7)+tan夕______2_7

1—tan(a一4)tanp3,

1-2X

(2)tan(2a一夕)=tan[(a—/?)+a\

1.1

tan(a—£)+tana2十3

-1一tan(a-Qtana-ll_*1"

123

1JT

Vtan^=-^<(),夕£((),兀)，：.-^<p<n.

17t

又•.Tana=§>0,a£(0,兀)，/.0<a<2.

/.一兀Va—4Vo.

而lan(a一4)=T>0,・*—jc〈a一夕V—，

.•.2a一夕£(一兀，0).

2a—p=—^.

13.已知tan(a+/?)=2,tan(〃一人)=3,求tan(37r+2<z)+fan(4;r+2/?)的值.

解因为t