数列选填常考题型归纳（题型专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题05数列选填常考题型归纳

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

U1典例引领臼方法透视臼变式演练

【选填题破译】

题型01等差数列、等比数列

题型02等差、等比数列的性质

题型03求数列的通项公式

题型04数列与函数的关系

题型05数列应用题

第二部分综合I凡固整合应用，模拟实战

选填题破译

题型01等差数列、等比数列

舞的和发

【例1・1】在正项等比数列｛〃"｝中，44=64,且%,牛，10成等差数列，则“9的值为（）

8132

A.—B.—C.18D.24

29

【例1・2］（25-26高三上•湖北•月考）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且几=120,等比数列｛包｝的首

项为1，若/=勿，则bg-Qs的值为.

方收电视

1.等差数列的通项公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列｛q｝的首项为q，公差为d,那么它的通项公式是勺=q+（〃-1）4.

（2）通项公式的推广：4=4,十（〃一〃/）4（〃，“/eN/）.

2.等比数列的通项公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列他”｝的首项为q,公比为或夕工0),则它的通项公式=c.g"(c=5)(q,qwO).

q

(2)等比数列的通项公式推广形式：

支式僚称

【变式1-1](2025•湖北•模拟预测)正项等比数列｛q｝的前〃项和为S“，&=(S4=dO,贝()

A.6B.9C.8D.11

【变式l-2](2025•江苏・模拟预测)(多选)记等差数列｛4｝的前〃项和为S”，公差为乩若&=6+7g+1=24,

则()

A.d=2B.“I，%,生成等比数列

C.工没有最小值D.5£产(2〃+1)%“

【变式1-3125-26高三上.黑龙江•月考M多选)设首项为1的数列｛〃“｝前〃项和为3已知X2S”+〃-1,

则下列结论正确的是()

A.数列⑸+〃｝为等比数列B.数列｛4｝的前“项和S"=2"-〃

1

C.数列｛an｝的通项公式为4=2"--1D.数列｛%+1)不是等比数列

题型02等差、等比数列的性质

辑网引发

【例2・1】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.则此数列

的项数为()

A.10B.19C.21D.29

【例2・2](25-26高三上•江苏盐城•期中)设等比数列｛4｝的前〃项和为5“，若公比夕=2,则

方法速祝

1.等差中项

(1)若三个数a,A，8成等差数列，则A叫做。与力的等差中项，且有A=*.

2

(2)在等差数列伍“｝中，当/〃+〃=〃+夕时，=<+4(〃2,〃，p,qwN*).

特别地，若〃?+〃=2/,则=2q。"，〃，/eM).

2.等差数列的前n项和

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,其前〃项和S.=叫+彗士d="回；?）

（2）Srt=-/r+（«,-->.数列｛%｝是等差数列=邑=加2+珈（48为常数）.

22

（3）S“，S2n—S„,&“一52”，...也成等差数列，公差为〃2d.

3.等比中项

（1）等比中项：如果.，G,b成等比数列，那么G叫做〃与b的等比中项.

即G是a与匕的等比中项O”，G,8成等比数列=G2=a'

（2）等比中项的推广：若加+〃=p+夕时，则%%=册与，特别地，当〃?+〃=2p时，〃了”=〃；.

4.等比数列的前n项和

（I）等比数列的前〃项和公式

na^q=\）

等比数列｛〃“｝的公比为g（qwO）,其前“项和为S”=,q（l-q"）_4f

—;=­（q01）

「qi-q

（2）Sm，SxSm,S3m-S5,为等比数列,公比为。"（当q=-l时，，〃不为偶数）・

，文式饿殊

【变式2・1】（25-26高三上•山西大同•月考）设各项为正数的等比数列卜3中，4=8,则96+须取最小

值时，%等于（）

284.16

A.—■B.C.-D.-

927927

【变式2・2】（25-26高三上•四川成都•期中）已知函数〃x）=sim:+tanh项数为2025项的等差数列｛凡｝满

足％€一'且公差〃工。.若/（4）+/3）+…+/（%）25）=°，则当/（4）=。时，k=（）

A.1012B.1013C.2024D.2025

【变式2・3】（25-26高三上•河北期中）（多选）已知等比数列｛如｝的公比为q,前〃项和为为8=4,则下

列结论中一定正确的是（）

A.若〃6=-32,则g=±2

B.a2a6%=G

C.若心=5,则卅2%，的最大值为1024

D.S2，S4-S2，S6—S4构成等比数歹IJ

题型03求数列的通项公式

典例引颔

【例3・1］（25-26高三上・重庆•期中）已知数列回｝的前〃项和为,若2s“=3&-2,则《=（）

A.162B.54C.32D.16

【例3・2】已知数列｛叫满足4=4,且/=2%-3,则a=（）

A.22,0-3B.22,,-1C.22,0+3D.22,,+1

方汝通也

1>观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

2、公式法：

若已知数列的前〃项和S“与的关系，求数列匕)的通项〃可用公式

5,5=］)构造两式作差求解.

…(心2)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一"，即弓和巴合

为一个表达，(要先分〃=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).

3、累加法：

勺-4M=/（”1）

%-*=/（32）

形如,z=a“+/5)型的递推数列(其中八〃)是关于〃的函数)可构造：

将上述m2个式子两边分别相加，可得:an=/(«-1)+f(n-2)+.../(2)+/(I)+q,(〃>2)

4、累乘法：

-=/(«-!)

an-l

形如4“=4/5)但•=/(〃)］型的递推数列(其中/⑺是关于”的函数)可构造：竟=八〃一2)

VanJ

-=/(D

将上述m2个式子两边分别相乘，可得:an=f(〃一1)•f(n-2)-..../(2)/⑴q,(〃>2)

5、构造数列法：

(1)形如4川=〃凡+“(其中PM均为常数且〃工0)型的递推式：

方法技巧：设a“z+2=p(an+2),展开移项整理得6f/rTl=patl+(p—1)2,与题设rz„Tl=pa„+〃比较系

数(待定系数法)得2=—幺一/0)=。“+1H———=p(anH———)=>an+"=〃(q_i+')，即

p-1p-1p-\p-\p-\

<明+-J构成以q+'二为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

"1Jp-1

白的通项整理可得明

变式演秣

【变式3・1］已知数列｛4｝满足％=1,%-4用=2"《4+1,则%=（）

212w+,-l_J_

•2n~'+1•F7,•r^\

【变式3・2】（25-26高三上•安徽六安•月考）设数列｛〃”｝的前〃项和为S.,q=l,且­=宁4,则”产

的最小值为（）

A.4石十1B.14C.9D.8

【变式3・3】（2025高三・全国・专题练习）已如数列｛4｝满足3q=0,且q>0,若数列也｝为

递增数列，则4的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,1）C.（0,1）D.（1,2）

题型04数列与函数的关系

再例引襟

【例4・1］（25-26高三上•湖北•期中）已知数列｛〃”｝是等差数列，公差为d,前〃项和为S”，且4=2025,

卫<-1，则使得S“<0的"的最小值为（）

a2O25

A.4048B.4049C.4050D.4051

【例4・2］（25-26高三上•河南郑州•期中）已知等比数列｛〃“｝的前〃项积为若

4>1，4您“2024>1，（％025—1乂%）26-1）<°，若使1成立的最大自然数为"，则"=（）

A.2025B.2026C.4050D.4051

方法密视

a>0

1.在等差数列｛%｝中，若q>0,d〈0,则满足'”一八的项数勿使得S”取得最大值S3若qvO,d>0,

则满足卜"'"0八的项数/〃使得S“取得最小值鼠.

【变式4・1】（2025高三・全国•专题练习）记等比数列血｝的前〃项和与前”项积分别为S.，7；,若同＜4,

则（）

A.乩｝为单调数列B.亿｝为递增数列

C.｛&｝有最大值D.｛S,J有最小值

【变式4-2］（25-26高三•全国•假期作业）等差数列｛凡｝中，/+&=-12,«+。7=2.记数列｛凡｝前〃项

和为5”，下列选项正确的是（）

A.数列何｝的公差为3B.S“取最小值时，〃=6

c.S4=s7D.数列｛41｝的前10项和为50

【变式4・3】（25-26高三上・贵州贵阳•期中）已知数列｛q｝的前〃项和为工，4=1,%=5,2〃用=凡口+%.

若〃€N\有S“+为+82八点恒成立，则实数f的最大值为（）

l2215

A.3B.2\J1+2C.—D.—

32

题型05数列应用题

【例5・1］（25-26高三上•广东惠州•期中）如图，正方形ABCD的边长为2cm,取正方形ABCD各边的中点

E,F,G,H,作第2个正方形EPG”，然后再取正方形£/七”洛边的中点/,J,K,L,作第3个

正方形的〃KL,依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（）

AHD

G

C

3163

B.—C.—D.8

48

【例5・2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植

物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？〃意思是：今有

蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞

长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数.参考数据：怆2*0.30,1g3«0.48）

A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.2.8日

【变式5・1】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三

百八十一，请问尖头几盏灯."意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯

数的2倍，则塔的顶层的灯数是（）

A.1B.2C.3D.6

【变式5・2】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方

形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是〃/,

侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为I,则（）

A.Sn无限人B.Sn<3（3+6）〃1

C.Sn=3（3+6）〃？D.Sn可以取100册

【变式5・3】如图，在一个7行8列的数表中，第，行第/列的元素为。/=4%+4+%。=12,7;/=12,8）,

其中凡=2"-1,则该数表中所有无重复的元素之和为（）

cL,

c”c22Lc技

LLLL

G8

G、C72L

A.2,5-2B.2,5+2C.2,6-2D.23+2

-02

一、单选题

1.（25-26高三上・北京海淀•月考）已知等比数列｛6｝,则“生<&<%"是"数列｛%｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025•江苏•模拟预测）已知E项等差数列｛/｝满足色詈:一詈j=%（〃cN）则必•=（）

“3"2”+1”“3

A.670B.675C.2025D.4050

3.（2025•四川凉山•模）已知等比数列｛%｝的前4项是关丁人的方程（丁-6比+8川--9比十&）=0的根,

则数列一的前4项和为（）

511D.史

A.-C.—

248

2rcosnn+,—兀，〃为奇数

4.（25-26高三上•福建福州•月考）已知数列｛〃"｝满足％=2，对任意〃eN♦，有I3

4+2,〃为偶数

则数列｛4｝的前2〃+1项和邑”+尸（）

A.0B.2〃+3C.2〃+1D.2

5.（25-26高三上•山东济宁•月考）已知等差数列｛4｝满足4=2,/+%=1°，数列出｝满足

4=4也M=2"+2””（〃eN.）,则｛〃｝的前〃项和工为（）

A.22一2〃B.InC.(〃+l)2"TD.(〃-1)2向+2

6.（2025•江苏•模拟预测）一个校长为2的正方体内有一个内切球。|,若球。2与正方体的三个面和球。|相

切，球。3与正方体的三个面和球。2相切，依次类推，球。间与正方体的三个面和球。“相切〃eN"设球。”

的半径为此，体积为匕，则下列结论不正确的是（）

A.凡=2-乖>B.数列｛凡｝为等比数列

10+6@兀

C.R]+R?+R、++R、o>—g-D.丫+匕+廿..+匕<

15

7.(2025•上海普陀•一模)设〃NL〃tN,数列｛4｝和｛〃｝满足q=4=l,且％w｛0,l｝,如=|1-〃图

现有如下两个命题:

①若数列｛2｝是等比数列，则数列｛%｝是常数列:

②设S”是数列｛〃｝的前〃项和，若为期取得最大值时，则§2026-2能被7整除.

则下列结论中正确的是（）

A.①为真②为真B.①为真②为假

C.①为假②为真D.①为假②为假

二、多选题

8.（25-26高三上・江苏•月考）已知数列｛q｝的前4项为1,0,1,0,则下列各式可作为数列｛4,｝的通项公

式的是（）

A.q=苴1+(-1)""

BC.a=si•n2—〃元

n2

(72-1)71+(/?-l)(/?-2)(/7-3)(/?-4)D.a,,=i+C^nn

C.a,COS---------------

2

9.（25-26高三上•广东清远•月考）记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，^为｛q｝的公比，“>0：若色=7,

%=1,则下列结论正确的有（）

11

258

C.$5=8D.a“+S”=8

10.（25-26高三上•江苏南通•期中）设等差数列｛/｝的前〃项的和为S”，若q+%>0,6〈0.则（）

A.%>（）B.S9>0

S

C.当〃=4时，S,取最大值D.数列二是递减数列