苏教版高一数学下册必修第二册-向量概念

第9章平面向量

［数学文化］—了解数学文化的发展与应用

向量的发展与起源

牛顿

向量又称为矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强

度、磁感应强度等都是向量.大约公元前35()年，古希腊著名学者亚里士多德就知

道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到.“向量”一词

来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家

牛顿.

亚里士多德

向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数(第12章将要学习复数知识)的几何

表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数

。并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用

向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受

了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入

了数学.

［读图探新］——发现现象背后的知识

图1

1.《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一枝

好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒涤，众头领似有不信之意，远远

的有一行雁来，花荣未敢夸口，这枝箭要射雁行内第三只雁头上，射不中时，众

头领休笑花荣打上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行

内第三只，直坠落山坡下.急叫军士取来看时，那枝箭正穿在雁头上.晁盖和众头领

看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”.

图2

2.高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要头脑和全身器官的整体协调,

而击球的关键在于两个‘D"，即方向(Direction)和距离(Distance),初学者中有不少

人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以

擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”.方向走对了.

哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可

能离成功越来越远.

3.我们骑车的时候经常会遇到顺风与逆风，你对顺风骑车和逆风骑车有怎样的感

受？

4.一个人打算从北京去重庆旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车

到武汉，然后乘轮船沿长江到重庆，如图所示.

轨迹不相同.位置变化HIH

图4

问题1:你能从数学的角度来解释“花荣射雁”的功夫及高尔夫球运动中“方向

比距离更重要”的原因吗？

问题2：骑车运动中的顺风与逆风的感受不同，你能从数学的角度去解释一下理

由吗？

问题3：图4中这几种情况下：①他的位置变动是不同的；②他走过的路程相同；

③他的运动轨迹不一样，④他的位移是相同的.你能从数学的角度解释它们是否正

确吗？

链接：(1)在高尔夫球运动中用到的是数学中向量的有关知识，打球时既要考虑力

量的大小同时还要考虑球前进的方向.

(2)顺风骑车快，逆风骑车慢，用向量的知识来解释就是，车速与风速都是既有方

向又有大小的量，都可以用向量来刻画.

⑶这几种情况下的路程各不相同，但是直线距离与方向是没有发生变化的，可以

从向量的角度来解释.

9.1向量概念

课标要求素养要求

1.通过对力、速度、位移等的分析，了

从力、速度、位移等实际情景入手，经

解平面向量的实际背景，理解平面向量

历从具体到抽象的知识发展过程，发展

的意义和平行向量、相等向量的含义.

学生的数学抽象素养及直观想象素养.

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.

课前预习知识探究

自主梳理

1.向量的定义及表示

(1)定义：既有大小又有方向的量叫作向量.

(2)表示•

①有向线段：带有方向的线段,它包含三个要素：起点、方向、长度；

②向量的表示：

用有向线段表示,此时有向线

段的方向就是向域的方向.向量

(几何表示卜布的大小就是向郎的长度(或

向

过称为模)，记作।[Si

的

表

^

小

一-印刷时.用黑体小写字母a.bx

「以表示户表示.书写用；商*来表示

点睛

向量的再理解：

①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这

两个向量就是相同的向量.

②有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，

也是不同的有向线段.

2.向量的有关概念

向量名称定义

零向量长度为0的向量，记作0

单位向量长度等于1个单位长度的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量,向量a方平行，记作。〃也规定：

(共线向量)零向重与任一向堇平行

相等向量

长度相笠且方向相同的向量；向量。，力相等，记作。二》

(相同向量)

相反向量长度相等且方向相反的向量,〃的相反向量记作-。

3.向量的夹角

⑴定义：对于两个非零向量。和“在平面内任取一点。，作殖OB=b,

NA。8二伙0。W。W180与叫作向量a与b的夹角.

⑵当9=()。时，〃与力同同；当。=18()。时，a与方反向；

当夕二90。时，则称。与》垂直，记作山.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴如果|成|>|诙|,那么卷>d).(X)

提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

(2)若〃，b都是单位向量，则a=8.(X)

提示。与力都是单位向量，则同=|力|=1,但。与力方向可能不同.

⑶零向量的大小为()，没有方向.(X)

提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.

(4)相反向量就是方向相反的向量.(X)

提示相反向量的方向相反，大小相等.

2.下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速.其中向量有（）

A.①②B.②@

C.②④D.@®

答案C

解析由向量的概念可知：浮力与风速是向量，密度与温度是数量，故选C.实际

问题中的一些量（温度、电量等），尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，

它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力

等.

3.下列关于向量的说法中，正确的是（）

A.长度相等的两向量必相等

B.两向量相等，其长度不一定相等

C.向量的大小与有向线段的起点无关

D.向量的大小与有向线段的起点有关

答案C

解析长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错误；两向量相等，必

有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点无关，故C正确，

D错误.

4.设。是正△48C的中心，则向量劭，0B,沆是_____（填序号）.

①平行向量；②模相等的向量；③相等向量.

答案②

解析由。是正△A8C的中心，知0点到三个顶点A,B,C的距离相等，但三

个向量的方向既不相同也不相反，所以初，而花的模相等.

--------・课堂互动r--------------------------------------题型剖析一­

题型一向量的概念

【例1】（多选题）下列说法正确的有（）

A.单位向量的长度大于零向量的长度

B.零向量与任一单位向量平行

C.向量蕊和向量心长度相等

D.向量就是有向线段

答案ABC

解析单位向量的长度为1,零向量的长度为零，故A正确；零向量与任一向量

平行，B正确；因为向量筋与筋是方向相反、模相等的两个向量，故C正确；

向量可用有向线段来表示，不能把两者等同起来，D不正确.

思维升华对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一

些似是而非的概念一定要分辩清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示

形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与

方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的.

【训练1】下列说法中正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

答案D

解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A,B不正确；向量的大

小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模

是一个数量，可以比较大小，故D正确.

题型二相等向量与共线向量

【例2】如图所示，。是正六边形A8COE77的中心，且次!=OB=b,0C=

(1)与〃的长度相等、方向相反的向量有哪些？

⑵与。共线的向量有哪些？

(3)请一一列出分别与ab,c相等的向量.

解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有而，前,AOtFE.

(2)与〃共线的向量有济，BC,而，FE,CB,DO,AOfDA,AD.

(3)与〃相等的向量有前，DO,CB；与。相等的向量有皮，EO,M；与。相等

的向量有历，ED,AB.

【迁移1】在本例条件不变的情况下，写出与向量肥相等的向量.

解相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故与比相等的向量有启，0D.

FE.

【迁移2】在本例中，若⑷=1,则正六边形的边长为多少？

解由正六边形中，相邻两顶点与中心0连接成的三角形均为正三角形，，△尸。4

为等边三角形，

.\AF=\a\=1,即正六边形的边长为1.

思维升华相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些

是同向共线.

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同

向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点

为终点的向量.

【训练2]如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

B

ED

⑴与向量曲相等的向量为；

⑵若丽|=3,则向量或的模等于.

答案⑴福，DC(2)6

解析(1)在平行四边形48C。和A8OE中，

•・,施=成)，AB=DCf：.ED=DC.

(2)由(1)知，ED=DCf

:・E,O,。三点共线，

.,.|EC|=|E£)|4-|DC|=2\AB\=6.

题型三向量的表示及应用

【例3】在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从4点出发向

西航行了200km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50。航行了400km到

达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200km到达。点.此时，它完成了此

片海域的巡逻任务.

(1)作出蕊，BC,CD；

(2)求而|.

解(1)如图所示，作匕而，BC,CD.

西B

(2)由题意知48〃CO,AB=CD1

所以四边形48。是平行四边形,

所以AO=8C=400km,所以依。|=400km.

【迁移】在例3的四边形A3。中，是否一定有猫二虎？

解是，因为A8与。C平行且相等，油与反的方向也相同，所以初=反.

思维升华平面向量在实际生活中的应用

生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的

知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出

来，然后围绕线段的长度（即向量的模）和方向（求某个角）进行求解.

【训练3]一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30。方向行

驶2千米到。地，然后从。地沿北偏东60。方向行驶6千米到达C地，从。地又

向南偏西30。方向行驶2千米才到达B地.

北

（1）作出启，DC,CB,AB；

⑵求B地相对于A地的位置.

解（1）向量疝，DC,CB,后如图所示.

（2）由题意知而=说，

：.AD^BCf则四边形4BCD为平行四边形，

：.AB=DCt则8地相对于A地的位置为“北偏东60。，长度为6千米”.

题型四求向量的夹角

【例4】已知平行四边形48CO中，|篇|二|而且向量嘉与病的夹角为60。,

则病与筋的夹角为多少？踮与筋的夹角又是多少？

D

C

解因为平行四边形ABCD中，|第|=|由)|,所以咳平行四边形为菱形，又由题意

知NB4O=6()。，所以△AB。为等边三角形，

故向量公与病的夹角为254c=30。，

向量用与筋的夹角大小与NA8。相等，

且NABD=60。,即它们的夹角为60。.

思维升华(1)求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合作

两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.

⑵特别地，。与b的夹角为仇右〃与仁伙力,22是非零常数)的夹角为仇，当AlA2<0

时,用=180。一。当为方>0时，6()=6.

【训练4】在△A8C中，ZC=90°,BC=%B,则能与肚的夹角为()

A.30°B.600

C.120°D.150°

答案C

解析如图，作向量瓦)=反7,则NBAD是说与沈的夹角.在△ABC中，因为ZACB

=90°,BC=%B,所以/ABC=6()。，所以N84O=12()。，即踮与比的夹角为12()。.

-课堂小结

一、牢记2个知识点

1.从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三

个要素，因此它们是两个不同的量.有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的.

向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段.

2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定在一条直线上，但

同一直线上的向量一定是平行向量.

二、掌握1种方法——数形结合

向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，

因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题

转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.

三、注意2个易错点——零向量和单位向量

1.零向量与任何向量都平行.

2.单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位

圆.

分层训练素养提升

基础达标

一、选择题

1.（多选题）下列说法正确的是（

A.若a=0,则⑷=0B.零向量是没有方向的

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的

答案ACD

解析零向量的长度为0,方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误

的.

2.下列结论中，正确的是（）

A.2020cm长的有向线段不可能表示单位向量

B.若。是直线/上的一点，单位长度已选定，贝»上有且仅有两个点A,B,使得

OA,仍是单位向量

C.方向为北偏西50。的向量与南偏东5（）。的向量不可能是平行向量

D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量篇不能表示这个人从A点到B点

的位移

答案B

解析一个单位长度取作2020cm时，2020cm长的有向线段就表示单位向量，

故A错误；B正确；C中两向量为平行向量，故C错误；D中油表示从点A到

点8的位移，故D错误.

3.已知中，ZDAB=60°,则病与诙的夹角为（）

A.30°B.600

C.120°D.150°

答案C

解析如图，病与彷的夹角为NABC=120。.

D._______7c

AB

4.如图，在四边形A6CD中，若还二庆则图中相等的向量是（）

DC

区

AB

A.Ab与无B.场与历

C.At与册D.Ad与说

答案D

解析•・•蕊=瓦，.••四边形48C。是平行四边形，贝"4。=。。，故屐）=沆.

5.如图，在菱形ABC。中，Z^D=120°,则以下说法错误的是（）

A.与油相等的向量只有1个（不含油）

B.与俞的模相等的向量有9个（不含油）

C.卧的模恰为所的模的S倍

D.浦与德不共线

答案D

解析由于施=反，因此与叁相等的向量只有反，而与猫的模相等的向量有

DA,DC,AC,CB,油，CD,CA,哀,丽，因此选项A,B正确；而RtZXAOO

中，•・・ND4O=60。，；・|历尸坐|方川，故|初|=\G|方小，因此选项C正确；由于

Ch=DAf因此屈与总是共线的，故选D.

二、填空题

6.如图所示，已知正方形A8CO的边长为2,。为其中心，贝1」|昂|=.

答案啦

解析易知|以|=]04=3乂2也=啦.

7.在等腰RtZ\A8C中，NA=90。，则向量部与比的夹角为.

答案135°

解析・.・NABC=45。，・••福与肚的夹角为135。.

8.给出以下5个条件：

①a=b；②⑷=|町③。与力的方向相反；④|〃|=0或制=0；⑤。与b都是单位向

量.其中能使a//b成立的是_______（填序号）.

答案①③④

解析相等向量一定是共线向量，①能使。〃也方向相同或相反的向量一定是共

线向量，③能使Q〃6；零向量与任一向量平行，④能使〃〃6.

三、解答题

9.中国象棋中规定：马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，

可跳到4处，也可跳到4处，用向量筋।与筋2表示马走了“一步”，试在图中

画出马在优c处走了“一步”的所有情况.

解根据规则，画出符合要求的所有向量，马在B处走了“一步”的情况如图所

示，

马在C处走了“一步”的情况如图所示,

10.如图所示，ZVIBC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB.的中点

⑴写出与前共线的向量；

(2)写出与前的模大小相等的向量；

⑶写出与加相等的向量.

解(1)因为E,尸分别是AC,A8的中点，

所以所以与前共线的向量有：

FE,BD,和,DC,CD,BC,CB.

(2)由(1)知£尸4夹又。是8C的中点，故与成模相等的向量有：电BD,