苏教版高中数学必修第二册课时作业-第2课时 直线与平面垂直

应用昌▼巩固提升

〔强而培优通至厂

[A基础达标]

1.在空间中，下列命题正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两条直线平行；

③平行于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一个平面的两条直线平行.

A.B.

C.①D.①②③④

答案：B

2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO_La,庭足为0,连接附,PB,PC,

^PA=PB=PC,则点。是△ABC的（）

A.垂心B.外心

C.内心D.重心

解析：选B.因为PO_La,PA=PB=PC,可由射影定理得QA=O3=OC.

即点。是△A8C的外心.

3.在三棱柱AAC-ABQ中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点。是侧面

的中心、，则AO与平面88GC所成角的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：选C.如图，取8C的中点£连接A£,ED,AD,则AE_L平面3BGC

故NAOE1为直线人。与平面381cle所成的角.设各棱长为4则八七=学a,

乙

DE=3所以tanNADE=y[5,所以NADE=60。.

4.在正方体ABCD-4BiGZ＞中，若E为4G的中点，则育线CE1垂青干（）

A.ACB.B\D\

C.A\DD.4A

解析：选B.如图，直线CE垂直于直线86.

因为AG为正方体，所以为正方影，连接自。1,又因为E为4a的

中点，所以££8Qi.所以31Qi_LG瓦CG_L平面48GQi,所以CG_L8Di,

又ccinciE=Ci,

所以8山」平面CCi瓦而CEu平面所以直线CE垂直于直线B/）i：故

选B.

5.如图，下列4个正方体中，点A,B,M,N,。分别为正方体的顶点或所在

棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线A3,平面MNQ的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.对于题图1,如图，连接BC.因为8C_LMN,AC±M/V,BC,ACc

平面ABC,BCQAC=C,所以MNJ_平面ABC,从而同理可得NQ1A5.

因为MN,NQu平面MNQ、MNCNQ=N,所以AB_L平面MNQ.

对于题图2,因为NQLAB、MN工AB,MN,NQu平面MNQ、MNC\NQ=N,所

以A3_L平面MNQ.

对于题图3,因为A3与MQ不垂直，所以A3与平面MNQ不垂直.

对于题图4,因为A8与NQ不垂直，所以48与平面MNQ不垂直.故满足直线

平面MNQ的个数为2.故选B.

6.如图所示，以J•平面ABC,△ABC中BCA.AC,则图中直角三角形的个数为

%_L平面

解析：BCu平面A8C.

PALBC|

AC1BC1=BCJ_平面%C=BCJ_PC,

%nAC=/J

所以直角三角形有△物B、△以C、△ABC、△尸BC.

答案：4

7.如图所示，PO_L平面ABC,BOLAC,在图中与AC垂直的直线有条.

解析：因为PO_L平面ABC,4Cu平面ABC,所以PO_LAC.又ACJ_8O,POC\

B0=0)所以ACL平面PB。，所以P8Q内的4条直线尸8,PD,P0,8。都与

人C垂直，所以因中夫有4条直线与人C垂直.

答案：4

8.如图所示，在矩形ABCO中，AB=\,8c=〃(〃>()),%_L平面ABC。，且也

=1,若BC边上存在点。，使得尸QLQ。，则。的最小值为

解析：因为附J_平面ABCD,所以R1_LQD

若8c边上存在一点Q,使得QQ_LP。，PAQPQ=Pt

则有QOJ_平面B4Q,从而QQ_LAQ.

在矩形ABC。中，当AO=〃v2时，直线3c与以AO为直径的圆相离，故不存

在点。，使尸

所以当时，才存在点Q,使得PQ_LQD所以〃的最小值为2.

答案：2

9.如图，在三棱锥尸-A8c中，PA=PB=PC=13,AABC=90°,AB=S,BC=

6,M为AC的中点.

⑴求证：PM_L平面ABC；

⑵求直线8P与平面ABC所成的角的正切值.

解：⑴证明：因为%=PC,M为AC的中点,

所以PM_LAC,①

>LZABC=90o,BC=6,

所以AM=MC=MB=；AC=5.

在△PMB中，PB=T3、MB=5.

PM=y)PC2-MC2=^132-52=12.

所以PH2=M32+PM2,所以PM_LM3.②

由①②可知PM_L平面ABC.

(2)因为PMJ_平面ABC,

所以MB为BP在平面ABC内的射影，

所以/PBM为8。与底面ABC所成的角.

在RtAPMB中，tanNPBM=跣=噂.

1().如图，在四棱锥中，%_1平面/18。。，CD1AD,BC//AD,BC=CD

二;AD.

⑴求证：CD^PD；

(2)求证：平面PAB；

⑶在棱尸。上是否存在点M,使CM〃平面出伐若存在，确定点M的位置；

若不存在，请说明理由.

解：⑴证明：因为出J_平面ABC"COu平面45C。，

所以COJ_F.

因为COJ_4O,PAC\AD=A,

所以COJ_平面PAD.

因为POu平面FAD,

所以CDLPD.

(2)证明：因为%_L平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以BDLPA.

在直角梯形A8CO中，BC=CD=3AD,

由题意可得48=80=gBC,

所以AD2=44+302

所以BDLAB.

因为PAC\AB=A,

所以3O_L平面PAB.

(3)在棱上存在点M,使CM〃平面应优且扬是P。的中点.

证明如下：取力的中点、N,连接MN,BN,

N

因为M是PO的中点，所以AD因为AO,所以MN幺BC.

所以MVBC是平行四边形，所以CM〃BN泅为CMQ平面PAB,8Nu平面以B.

所以CM〃平面PAB.

[B能力提升]

11.（多选）已知1是一个平面，见〃是两条直线，有下列四个结论，正确的是（）

A.如果m//a,in//n,那么n//a

B.如果mJ_a,刀〃a,那么"z_L〃

C.若直线机垂直于平面”内的无数条直线，则

D.如果〃zJ_a,机〃〃，那么〃_La

解析：选BD.对于A中，如果〃?〃a,"2〃"，那么〃〃1或〃U。，所以不正确；

对于B中，根据线面垂直的性质，可得若〃?_La,〃〃a,那么〃z_L〃，所以是正

确的；

对于C中，根据线面垂直的定义，直线机垂直于平面a内的任意直线，则加_1«

而直线〃？垂直于平面。内的无数条直线，则团与a不一定垂直，所以不正确；

对于D中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若

m//n,那么〃_La,所以是正确的.故选BD.

12.（多选汝口图所示，附垂直于以A8为直径的圆所在的平面，点C为圆上异于

点A,3的任意一点，则下列关系中正确的是（）

A.PAA.BCB.AC1PB

C.8C_L平面PACD.PCVPB

解析：选AC.由题意知，%_L平面ABC,因为BCu平面ABC,

所以a_LBC,故A对；而ACJ_3C,且必AAC=A,PA,ACu平面以C,

所以BCJ_平面B4C,故C对；若因为ACJ_BC,可得ACJ_平面尸BC,

则AC_LPC,与题目矛盾，故B错；由BC_L平面用。可得，BCLPC,则△PBC

为直角三角形，若PCI尸8,则8C,尸8重合，与已知矛盾，故D错；故选AC.

13.（多选）如图，在正方形SGiG2G3中，E,尸分别是GiG,G2G?的中点，现在

沿着SE,SF,故把这个正方形折成一个四面体，使Gi,62,G3重合，重合后

的点记为G.给出下列关系，其中成立的为（）

%EC,

A.SG_L平面EFGB.SE_L平面石/G

C.GF1SED.E/U平面SEG

解析：选AC.对于A,SG-LGE,SG±GF,GEu平面GEF,GFu平面GEF,

GEQGF=G,SG工平面GEF,故A正确.

对于B,若SEJ•平面EFG,结合选项A,则SE〃SG,显然矛盾，故B错误.

对于C,FG±GE,SG±GF,GEu平面GES,GSu平面GES,GEQGS=G.所

以FGX.平面GES,又SEu平面GES,所以GF1SE,故C正确.

对于D,若EFJ_平面SEG,因为/6_1_平面GES（C项已经证明），«FE//FG,

显然矛盾，故D错误.故选AC.

[C拓展探究]

14.刘徽注《九章算术•商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马,

一为鳖月需.阳马居二，鳖月需居一，不易之率也.合两鳖席三而一，验之以蒸，其

形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖月需”的过

程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩

形的四棱锥；鳖脯是四个面都为直角三角形的四面体.

在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC-ABG中，当点P在下列三个位置：44

中点、A方中点、4。中点时，分别形成的四面体P-A8C中，鳖席有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选C.设正方体的棱长为4则由题意知，A\C\=AC=yf2a,AiB=p

a,AC=小a,

当尸为AiA的中点时，囚为出_L平面/WC,则/%。=/以3=90°,NABC=

90°,

2222

则PB=y］弘+AB?=^彳+片=坐a,PC=ylPA+AC=yj^~\~2a=1a,

又5C=〃，则BC2+PB2=PC2,则△pec是直角三角形，即此时P-A5c是鳖臊;

当P为48的中点时，因为8C_L平面ABBIAI,所以8C_LP8,BC±AB,

所以△P8C,△/13c为直角三角形，囚为A33IAI是正方形，所以A尸_L8P,

2

则△以B是直角三角形，则雨=乎a,PC=qBC?+PB=坐a

又BC=a,由勾股定理可知，△B4C是直角三角彬，则此时P-4BC是鳖腌；

当尸为AC的中点时，此时以=尸。=34C=¥,又AC=64由勾股定

乙乙

理可知，

△外。不是直角三角形，则此时P-A8C不是鳖月需；故选C.

15.如图，在三棱锥P-A8C中，棱附垂直于平面ABC,ZACB=90°.

£

n

(1)求证：BC±PC,

(2)若%=/W=2,直线PC与平面