数轴上的三种动点问题-2024人教版七年级数学上册（原卷版）

专题02数轴上的三种动点问题

。血。

A-重难点题型分类

题型1：动点中求值问题................................................1

题型2：动点中定值问题................................................3

题型3：动点中点之间的关系问题.......................................5

B-能力提升.............................................................8

o银魁o

1.数轴上A、B两点表示的数为a、b,则A与B间的距离AB=|a-b|

2.数轴上A、B、C两点表示的数为a、b、c,C为线段AB的中点，则c表示的数为蜉

【题型1：动点中求值问题】

【例1】如图，数轴上点A,。所表示的数分别是。和。，且满足|。+4|+(0-1)2=0,点

8表示的数是-3.

⑴求数a,c,

⑵点A,B同时沿数轴向石匀速运动，点人的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒

1个单位长度，若运动的时间为/秒，在运动过程中，点4,8到原点的距离相等时，求,

的值.

【变式1-1］如图，数轴上的点。和点A分别表示0和10,点P是线段04上一动点.点P沿。->

AT。以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段。4的中点，设点P运动时间为£秒（£不

超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB=2时，则运动时间t的值为.

OI||A」》

0BP10

【变式1-2】【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动.如图1,电

子蚂蚁P、。在长18分米的赛道48上同时相向匀速运动，电子蚂蚁夕从A出发，速度为4

分米分钟，电子蚂蚁。从8出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达8时，电子蚂蚁

P,。停止运动，经过几分钟P,。之间相距6分米？

【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快

地解决上述问题：如图2,将点A与数轴的原点。重合，点8落在正半轴上.设运动的时

间为£（041W4.5）.

A848

।______________________________।-------1------------------------------1-----►

O

（图I）（图2）

（1）/分钟后点P在数轴上对应的数是：点Q对应的数是;（用

含，的代数式表示）

（2）我们知道，如果数轴上M,N两点分别对应数〃?，〃，则MN=|m-n|.试运用该方法求

经过几分钟P，。之间相距6分米？

⑶在赛道A8上有一个标记位置C,AC=6.若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为。，

电子蚂蚁。与4之间的距离为〃.在运动过程中，是否存在某一时刻/,使得Q+b=4?若

存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由.

【变式1-3］如图，数轴上两个动点A,B起始位置所表示的数分别为一8,4,A,B两点各

自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位"少.

AB

—।------------------1----------1---------►

-804

⑴若A,8两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，清直接写出8点的运动速度.

⑵若A,8两点于起始位置按上述速度同时出发，向数箱正方向运动，几秒时两点相距8个

单位长度？

⑶若A,4两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原

点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有。4=2。氏求。点的运动速度.

【题型2：动点中定值问题】

【例1】如图，在数轴上，点。为原点，点A表示的数为〃，点B表示的数为从且〃，匕

满足|a+8K(Z?-6)2.

ab

AOB

(1)A,8两点对应的数分别为a=,b=.

(2)若点A,6分别以4个电位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A,4两点相距2

个单位长度？

⑶若点4,B以(2)中的速度同时向右运动，同时点P从原点0以7个单位/秒的速度向右

运动，设运动时间为/秒，请问：在运动过程中，AP+20B-0P的值是否会发生变化？若变

化，请用/表示这个值；若不变，请求出这个定值.

【变式1-1】数轴上两点4、B,A在3左边，原点0是线段A8上的一点，已知AB=4,且

OB^OA.4、8对应的数分别是.、4点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.

-3-2-1012345

（1）“=，b=,并在数轴上面标出A、4两点；

（2）若例=2PB,求x的值;

⑶若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的

速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为/秒.请问在运动

过程中，3PB-%的值是否随着时间，的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其

值.

【变式1-2】已知数轴上两点A,B对应的数分别为a、b,且a、力满足|“+4|+（。-8）2=0.

4O图1B

4O图2B

（1）如图1，如果点P和点Q分别从点A,8同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运

动速度为每秒2个单位，点。的运动速度为每秒6个单位，设运动的时间为/（秒）.①当

8P=3AP时，，的值为.

②当P、Q之间的距离为4时，求点。对应的数.

<2）如图2,如果点尸从点A出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点M、N

分别是线段AP、5。的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值.如果变化，请说

明理由；如果不变，请直接写出线段MN的长度.

【变式1-3］已知数轴上两点A、B所表示的数分别为。和b,且满足|。+3|+（方-9）2=0,

。为原点.

⑴试求。和〃的值；

⑵点C从。点出发向右运动，经过3秒后点C到4点的距离是点C到8点距离的3倍，求

点C的运动速度？

⑶点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速

度向左运动，点。从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中，M、N

分别为P。、OQ的中点，问与券的值是否发生变化，请说明理由.

【题型3：动点中点与点之间的关系问题】

【例1】如图，在数轴上点A表示的数是一4,点B在点4的右侧，且到点4的距离是24,

点。在点A与点B之间，^BC=3AC.

AOCAde铲

备用图

⑴点8表示的数是，点C表示的数是；

⑵若点。从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点

B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为f秒，在运动过程

中，

①当，为何值时，点P与点。相遇？

②当，为何值时，点。与点。间的距离为9个单位长度？

【变式1-1】已知有理数a,仇c•在数轴上对应的点分别为4,B,C,其中人是最大的负整

数,a,c满足|a+3|+(c-7)2=0.

(1)填空：a=；b=；c=：

(2)现将点A,从。分别以每秒2个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数

轴上同时向右运动，设点A的运动时间为/秒.

①当1=2时，AC=,BC=；

②在运动过程中，若A,氏。中的任意一点是以另外两点为端点的线段的中点，求此时/

的值.

【变式1-2】伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥一一五峰山

长江大桥正式开通运营.如图，点。为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙

动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为8C；甲、乙两动车长度相等，速度均为80

米/秒.力、B、C、。表示的数分别是a、b、c、d,且满足(a+100)?+(c-1500)2+

\d-1700|=0.

11A」1A

AOBCD

(l)b=,BC间的距离是米，4c间的距离是米；

⑵从此刻开始算起，甲动车4处有个在座位上的乘客记为点M,求甲动车行驶多少秒时，

点M到点C的距离等于100米？

⑶从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点例，求甲动车行驶多少秒时，

点M到点8的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？

⑷两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M,向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中

点位置的座位上的乘客记为点N,乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间f,恰

好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出/的值.

【变式1-3】如图，数轴上点。为原点，点A所表示的数为a,点B所表示的数为匕，且a、b满

足|a+4|+(b-2)2=0.

--------------------►

AOB

图1

ABC

6图2

ABC

6备用图

⑴请直接写出点A所表示的数：，点B所表示的数：.

⑵如图1,点P从4出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点P运动的同时，点Q从？出

发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点M到点P、原点。的距

离始终相等，设点Q到点M之间的距离为d,求d的值.

⑶如图2,在（2）的条件下，当点P、Q之间的距离等于;d时，N从点C出发（点C所表示的

数为14）,以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时P、Q仍按原速度、原方向运动，当N

与P、Q都未相遇之前，是否存在点M,使点N到点P、Q距离之和等于点M到原点。距离，若

存在，求点M所表示的数，若不存在，请说明理由.

oo

一、解答题

1.（24-25六年级上•山东泰安・期中）如图，在数轴上，点A表示的数是20,点B表示的数为

60,点P是数轴上的动点.点尸沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段户力和PB的大小

关系满足P4=|PB时，求点P表示的是哪个数.

OIIA」-PI4

2.（23-24七年级上•浙江金华•期末）如图，在数轴上有两个长方形工BCD和E/GH,力D=EH=

3,EF=2AB=10,

点力、B、E、F都在效轴上点4、点E表示的数分别为?n、n,且满足+10|+（n-4）2=。.长

方形48。。以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形E/GH以每秒1个单位长

度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为£秒，运动后的长方形分别记为长方形4夕厂少与

长方形E'F'G'"'.

DCHG

-ABOEF*

⑴点B表示的数为，点F表示的数为.

⑵当08'=00时，求t的值.

⑶在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面枳为S.

①S的最大值为.持续的时间为秒；

②当S=9时，点9所表示的数为.

3.(23-24七年级上•福建泉州•期末)已知数轴上A,B,C三点所对应的数分别是a,b,c.且

a,b,c满足：|a+5|+—5|+(c-n/?)?=0,九为正整数.

⑴判定点A,8在数轴上所对应的数的关系，并说明理曰.

⑵设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动t秒.

①当4c=8CH寸，试说明t+久2n+l)=5卜九+3，并写出推理过程；

②在①的前提下，若点C琳续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数k，使得8c-

亿4。的值与£无关？若存在，请求出k的值；若不存在，诗说明理由.

4.(23-24七年级上•重庆垫江・期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数

轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律.若数轴上点A、点8表

示的数分别为a,b,则48两点之间的距离48=|a-川，线段48的中点表示的数为手

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-4,点8表示的数为6,点尸从点A出发，以

每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点6出发，以每秒3个单位长

度的速度向左匀速运动.设运动时间为/秒Q>0).

AB

-----------1-------------------------------------------1------------►

【综合运用】

(1)填空：

①A、B两点间的距离48=,线段48的中点C表示的数为；

②用含，的代数式表示:，秒后，点P表示的数为;点。表示的数为：

（2）求当/为何值时，PQ=^AB；

（3）若点M为尸力的中点，点N为P8的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发

生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.

5.（23-24七年级上•重庆沙坪坝•期末）已知关于x的多项式（。+16比3-2/2-0+9是二次

多项式.如图1.在数轴上有4、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a,b,

-21.有两条动线段PQ和MN（点。与点A重合，点N与点B重合，且点P在点。的左边，

点M在点N的左边）.PQ=4,MN=8,线段MN从点B开始沿数轴向左运动，同时线段PQ

从点A开始沿数轴向右运动，当点。运动到点8时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点

。运动到点C时，线段PQ、MN同时停止运动，设运动时间为/秒（整个运动过程中，线段

PQ和MN保持长度不变）.

CA0B

图1

1P1TQ1M11N

CA0B

图2

PQMN

IIIII

CA0B

图3

⑴直接依次写出a,〃的值：a=,b=；

⑵如图2,若线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段PQ

以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动.当C、Q、M中任意一点为其他两

点构成线段的中点时，求时间/：

⑶如图3,若线段MN以每秒1个单位的速度从点4开始沿数轴向左运动，同时线段PQ以每

秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时,线段PQ的速度

变为原来的g倍，线段MN的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出

当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值.

6.（23-24七年级上•辽宁抚顺•期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形

少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究

对象，它们之间有着十分密切的联系.数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是一

个非装常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起•一对应的关系，揭示了数与点之间

的内在联系，它是“数形结合"的基础，我们知道，数轴上的表示数2的点与原点（即表示0

的点）之间的距离是2-0=2,5-2=3可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间

的距离，5-（-2）表示5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.我们总结为数轴上

的点与点之间的距离，是这两个点所对应的数的差，是大数减小数，永远表示距离.

已知数轴上两点A,3,点A在点8的左边，原点。是线段上的一点，已知AB=4，线

且OB=3O4点A,8对应的数分别是小儿点尸为数轴上的一动点.

-5-4-3-2-1012345

（l）a=，b=,并在数轴上面标出A,8两点；

⑵点户对应的数为工，若PA=2P8,求x的值；

⑶点Q,M在数轴上，点。以每秒2个单位长度的速度从原点。出发向右运动，同时点Q

从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点M从点B出发以每秒3个单位长度的

速度向右运动，在运动过程中，求3PM-PQ的值.

7.(23-24七年级上•湖南长沙•期中)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数

轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点4表

示的数分别为a、b,则4,B两点之间的距离48=|Q-匕|,线段AB的中点表示的数为等.

【问题情境】数轴上点A表示的数为-4,点4表示的数为6,点。从点A出发，以每秒1

个单位长度的速度沿数轴向终点8匀速运动，同时点Q从点8出发，以每秒2个单位长度

的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返I可8点，当点P到达终点后，

P.Q两点都停止运动，设运动时间为，秒(O0).

【综合运用】

⑴填空：A,8两点间的距离48=,线段力8的中点表示的数为：

⑵当/为何值时，P,。两点间距离为3.

⑶若点M为/1Q的中点，点N为8P的中点，在运动过程中，号的值是否会发生变化？若变

化，请说明理由，若不变，请求出相应的数值.

8.(23-24七年级下•四川内江•期中)己知如图，数轴上从B、C三点分别对应有理数或匕、

c,且满足(a+8)2+\b+2\+\2c-12|=0.

------1------1--------1------->

ABC

⑴求a、b、c的值；

(2)若。点在8c之间，且AD+B/)=3G),求D点对应的数：

⑶动点P从4点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从8点出发以4单位/秒的速度向左

运动，动点M从。点出发以a单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一

点、E,求Q的值，并求E点对应的数；

⑷动点P从4点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从B点出发以4单位/秒的速度向左

运动，动点时从。点出发以6单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，T为

PQ的中点，R为MQ的中点，是否存在某时刻，T、R两点到原点的距离相等？若存在，求出

运动时间.

9.(23-24七年级上•江苏盐城・期中)【问题背景】盐丰快速通道是盐丰一体化发展的重要一

环也是盐城市建设长三角一体化产业发展基地的“轴线〃，被列为全市重点道路交通项E,一

直是众人关注的焦点.

如图1，两辆盐丰公交P、。在长9公里的48上同时相向匀速运动，盐丰公交P从A出发,

速度为2公里/分钟，盐丰公交。从8出发，速度为1公里/分钟，当盐丰公交P到达B时，

盐丰公交P,。停止运动.经过几分钟P,。之间相距3公里？

【问题解决】小丰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快

地解决上述问题：如图2,将点A与数轴的原点。重合，点8落在正半轴上.设运动的时

间为/(0W£44.5).

ABAB

I|]I»

o

图1图2

（1）［分钟后点尸在数轴上对应的数是;点。对应的数是;（用含/的代数式表示）

（2）我们知道，如果数轴上M,N两点分别对应数〃?，〃，则MN=|m—〃|.试运用该方法求

经过几分钟尸，。之间相距3公里？

⑶在48上有一个标记位置C,AC=3,若盐丰公交P与标记位置C之间的距离为。，盐丰

公交。与4之间的距离为h.在运动过程中，是否存在某一时刻/，使得a+b=2?若存在，

请求出运动的时间；若不存在，请说明理由.

10.（23-24七年级上•河北石家庄•阶段练习）如图，在数轴上，点A表示数a,点8表示数6,

且a,b满足|a+2|+