双极值点问题（讲义）-2026届高三数学一轮复习

双极值点问题

对于双极值点问题，其解决办法与极值点问题类似，往往需要把双变量问题转化为单变量问

题。与极值点偏移转化为单变量的方法相比，双极值点问题更加简单一些，一般是通过韦达

定理进行合理消元，最终转换成单变量函数，最后通过构造函数解决问题。其核心思想是统

一变量，化成单变量表达式，这个单变量可以是阳，*2,%,或者是函数解析式中的参数

等。

极值点(拐点)偏移

1、已知函数/2=,如3-炉(。£/?)在(0,y)有两个极值点玉，“2(X,<X2),求证:

3

X1+工2>4

证；法一:

-ax3，f(x)=ax2

3

可知王，/是f\x)=cuc-ex在(0,+oo)上的零点，

/\2

所以啊2=*，两式相除可得三令上=/(/>1)①

X

上式变为t2=*f,即4-X=In『=2In，②

2Int2rlnt

联立①②可得玉=-j-,x2=-j-

要证明玉+/>4,只要证明当+学”

即证明InZ+rlnt>2Z-2

令M。=Inf+fInf—2f+2,则方(1)=1+In/—1

令0")=；+ln/-1.(p[t)=1--L=>0

故夕(。在(l,+oo)上单调递增

故0(。>°(1)=0,BP//(0>0

故人(。在(1,+8)上递增，故〃(。〉人(1)=0

即lnr+rln/〉2，-2成立，故原不等式得证

在证明2G>1）的过程中，也可以考虑“对数靠边走（单身狗）”，避开二

次求导，如下：

法二：要证lnf+rlnr>2r_2（r>l）,

只需证明ln/>羽二D«>i）

r+l'

令—,r>1,则〃（f）='_4_1L.>o

r+17t（r+l）2r（r+l>

所以M。在（1,位）上递增

所以=即ln/>当成立

故原不等式得证

2、已知函数/(X)=/-Q/

(1)当4>0时，设函数/'(X)的最小值为g(〃)，证明：g(4)«l

(2)若函数-工炉有两个极值点演,X2(石<%)，证明:〃(%)+力(%)>2

解：(1)f\x)=ex-a(a>0),令/(x)=0,解得x=ln〃

/(x)在(-8,In〃)上递减，在(in。,+oo)上递增

所以/(6min=/(in。)=。一aIn。

所以g(a)=〃-aIna(a>0)

令g(x)=x-x\nx{x>0),则g(%)=-Inx,

g(x)max=g(l)=l,所以g(x)4l

所以当a>0时，g(a)wi

(2)h(x)=ex-ax--x2,则/?(x)=e'-a-x,h[x)=ex-i

"(x)min="(o)=l-a

又力（工）有两个极值点，所以1一々<0,a>\,且玉<0<%2

所以“⑺在（一8小）上递增，在（如0）上递减

则当X<0时，/?（x）<h（x1）,X-X2G（-OO,0）,所以〃（一工2）«〃（%）

xX1

所以〃(玉)+A(X2)>h(-J2)+h(x^)=e-+e-x；

令7/7(x)=ex+e~x-x2(x>0),〃2(x)=ex一2一2x,tn[x}=-2>0

exex

所以Hl(x)在(0,-KC)上递增，〃7(x)>77?(0)=0

w(x)在(0,-K»)」:递增,m(x)>w(0)=2

注意到x2>0,所以"?(％)=—尤;>2

即〃(一x2)+/?(x2)>2,所以/?(%J+/i(x2)>2

比值代换

3、已知函数/（6=。，一2一一”（。、北口）,若函数/（»有两个极值点*、%,且

322,求〃的取值范隹

人I

解：/3=〃*—=。有两根%%,即，易知两式相除，得*F寸

CIC・=人I

令z咛（ZN2）,则*-以=£,得阳=罟（心）

人］II

令的=罟（心），则g（，）=*竽

设M）=fTlnf-l（fN2）,则"（f）=—ln/v0

所以网在［2,+8）上递减

A（/）<//（2）=l-21n2<0即g（f）<0

所以g（，）在©户）上递减，g（f"g⑵=ln2

又，22n玉二署＞0,所以为£（（）,ln2]

而4=3,令。（X）=xw（O，M2]

8（x）=宁，如）在（。，M2]上递增，

所以O＜0（x”0（ln2）=q,所以0＜仪内心殍，即0＜〃工警

乙乙乙

-

fnln2

aG0,---

I2

4、已知函数/（“）=办心工一一一以+]（。£/?）在定义域内有两个不同的极值点

（1）求”的取值范围；

（2）设两个极值点为k%,%＜当，证明：/（斗）+/（/）＜2一3+尺

解：（1）无£（°，”），f[x）=a\nx-2x

令g（x）=a\nx-2x（x＞0）,则g（x）在（0,4w）上有两个变号零点

•/\a-2x

由g（M=1—可知

人

当。"。时，g（x）＜°恒成立，g（x）在（°，”）上递减，不符合题意，舍；

当4＞。时，可知g（x）在（°，3上递增，在牛口）上递减

故要满足题意，必有—

(2)证：莺、4为f(/)=〃lnx_2x=0的两根,

a]nx]-2x}=0a\nx}=2x}2(x,-x2)

所以a\nx=2/，两式相减得〃In-Inx

aIn/-2X2=0,即22

所以/(X1)=axjnX]--+1=2x；-x\-ax[+}=-ax}+\

同理可得/（工2）=君-+1

故要证/（内）+/（“2）〈2一/+石，只需证明父＜3（%+/），即证.〈」；

In

x\

即证1n-1

人］

构造函数MOuint-r+i,其中.二.＞1

人］

,x\-2r.

由〃7

所以“（'）在（L”）上递减，〃⑺＜则二°,得证

即/(*)+/'(%)<2-X；+X；成立

/(x)x+a\nx

5、己知函数x

（1）若/（“）在（°，”）上为单调函数，求。的取值范围;

,记/⑴的两个极值点为飞£记，r「的最大值与最

（2）若22

小值分别为M、〃、求比一根的值

解：（1）法一：分类讨论

/w=1+一厂+CIX—1

-7-r厂

因为/（X）在（°，包）上为单调函数，且一V+狈TN。在（°，”）上不恒成立,

所以―/+奴_1W0在（O,y）上恒成立

①当三4°,即”时，显然恒成立;

②当卜0,即。＞0时-1W0成立，解得Ov八2

经检验可知，当"2时符合题意

综上，。£(-8,2]

法二：分离参数

心X+:对任意X6仙欣)恒成立，可知a£(-8,2]

(2)内、々是方程一/+依T=°的两实根，

则有司+看=",玉/=1,则

1.(1]]

“\"\——玉+〃111玉-------w+Q1n工2

xl-x2X]-x2

=!_]]柳.々)-2I3+12.

x}x2X]-x2X1-x2x2

Xj/+1

令丁=’，不妨设玉>%,则原式=-2+二ylnf

人2<1

.3叵//5

由项+超=。，斗4=1,且亍

/=(*+8)-=L2=/+1+2解？/£[2,4]

人v]人r)人r)人]Vf，解»付L」

令&⑺=罟1"'，^[2,4],则g()J渭『

令硝)=『-2/111/-1,%[2,4],则〃(。=2/-2-2111/2()恒成立

所以的)之力Q)>力(1)=0,所以g()>0恒成立

故g(f)min=g(2)=31n2^(r)max=g(4)=yln2

所以=

6、已知函数/(6=大M3―£工2_1+4

(1)若/(X)在其定义域内不是单调函数，求”的取值范围；

(2)若函数/(")存在两个极值点项、与，且项(巧.设不等式F.一4>/"恒成

立，求，的取值范围

解：xw(0,+oo),/(x)=Inx-ov

考虑函数y=皿工与y=or的位置关系

当〃工0时，¥=1门与¥=必有唯一交点，设为伍，ln〃）

则，（x）在（°，〃）上递减，在（〃卡°）上递增，符合题意

当时，设过原点且与）'=Inx的图象相切的直线的斜率为仁

则f5

设切点为

Inni1Inra2

又％=，即7二二丁，解得“?"J则攵=

e

1

"3,°恒成立，/（6在（0收）上递减，不符合题意

又当时

1

所以a€0,一

Ve

1

ae0,-

综上,e

（2）由＞/",得心玉+丸111工2＞2+1

In%=ax

由（1）可知为、马是方程1n工一口丫=°的两根，即彳x

Inx2=ax2

M.只恒成立，等价于&/+肛〉］+/l恒成立

因为°＜须＜%2,所以/＞；；

In五

又因为1呷一仙々=加+=〃&72）,即"小7

人2A.一A*）

In，°

x2I+2

>

所以X]-x2Xj+AX2

(1+4产T

[nX<(+神72)二

即

x2+AX2工+义

令/=微，/€（0'l），则不等式1n/＜）+咎D对任意,€（°J）恒成立

令/?（r）=lnr-0+^^-1）"G（。』）

h（t）-1（1+4_（I）（，-丁）

则〃⑴一丁小方_小4

当才21时.，/£（（）/），则/（/）＞0

所以力⑺在£w（°，i）上递增，的）＜MD=°,符合题意;

当分＜1时，若/£（°，万），则及⑺＞。

若/£3』），则，（。＜。

所以“⑺在（°，万）上递增.在（丁」）上递减

又因为"（1）=°

所以M。在，€（0，1）时不能恒小于0,不符合题意，舍

综上，"N1乂4>0，所以九4”）

7、已知/(x)=]x2_Qlnx+l(aeR)

（1）讨论/（））的单调性;

（2）若2＜〃＜e+＞且g（x）=/G）+〃（lnx_x）+lnx有两个不同的极值点*4,

且凡＜%.求证：⑴：＜西＜1；（ii）g（xj-g（X2）＜；/一/一2

⑴解：犬€（。，笆），"丫）』―/二一

①当时，/a）＞。，f（x）在（°，T8）上递增

/（X）在（0,，；）上递减，在解，+8）上递增

②当。＞0时,

综上

（2）证：

①因为g（*）=/（戈）+a。”x-x）+Inx=—x2-av+Inx+1

所以g（6=x_a+J=x2-ax+\

,有两个不同的极值点司、上2,

X

则巷、々是方程/一公+1=0的两根

由2<ave+1,得△=Q2_4>0旦七+/二。x\x2

e

结合°＜为＜工2,可得°〈玉＜1＜%2

（x,-d

法一：由西+々=2+,=〃＜6+3,得＜。，所以：＜为＜1

玉

法二：零点存在性定理

设"?（x）=x2-ar4-1

1

.-+e-a

--+l=-^------>0/??（1）=2-67<0

因为机,T2«e’‘

1.

由零点存在性定理，得"＜玉＜1

②g（王）一g（工2）=/X；_叼+InM+]_2X；+ax?Tn超一1

=|Ui+%）（而一工）一。（王一乙）+2111%

=一；3+%）（为一工2）+213

11,f2（\,

+mX]-<x[<i

4人]乙

1.1,

由工<玉V1,得/<玉2<1

1,（1I

设g）年——/+In/-<r<1

2

而八—111_（IF〈0

则"⑺一亍-万+：一亍"＜°

故'⑺在6上递减，M')<=9.3-2

所以g(xj-g(x2)v；e2

8、已知函数/(x^GTy+'/lnx,若fGO存在两个极值点匹、％,证明：

/(/)〉2

----------w1

77

/(6=2--2…1>0)

证：x

若函数/(6存在两个极值点，则方程2/-2x+a=0的判别式△=4-8〃>°,即2

..x.x^=

且2+占=1,

退=(巧-叶+北巧」巧-iy+2glnz=v2xjn”17「2x/n当

所以西芭西

尤+2xlnx”化11、

g(6=l-7

12人贝|jg(x)=l+21nx,

设

x=__1_

令g(x)=。，得&

2/(々),2

^(x)>l-j=1-

277

所以W,即内

f(x)=ax2-x-In—

9、已知函数不

（1）若f（x）在点（Lf（l））处的切线与直线y=2x+l平行,求“9在点（lj（l））处的切线

方程;

（2）若函数AH在定义域内有两个极值点匹、/，求”的取值范围，并证明:

/(x,)+/(^)<21n2-3

⑴解：)'=2x-2

f\x)=2ax-\+-=2"—"I

(2)证：因为XX

由题意，方程2al‘一/+1=°在（0,"）上有两个不等实根』、马，

A=1-867>0

乂+X,=—>0=>0<6?<—

2a8

X\X2=l>°

所以2a

又/(*)+/(x2)=ax^+渥一(%1+%)+In工[+Inx2

=—(X[+/)+In(内彳2)

=Q[(»+sF-2Mx2]_(*i+W)+b)

,11.

=In---------1

2a4a

1,11..t.

t=—In---------I=Inr-----1

令2a,贝ijla4。2

,e(r)=Inr---10<«<—

令2,由8得14

因为一2，＜0,所以g（0在⑷同上递减

g(，)<g⑷=ln4-3=21n2—3

即/(xi)+/(^2)<21n2—3

2

/（x）=4x-r/lnx-|x-2

10、已知函数2，心u

（1）若函数f（x）在x=l处的切线斜率为2,求〃的值；

（2）若函数/⑺有两个极值点再、”2,求证：/（内）+/a）<6-必。

解：（1）。=】

⑵xe（*）/（*4-十一『

（，.）

㈤若回生。,即…时,〃次。，4）递减区间为（。收），无递增区间;

若16-加>0,即0<"4时，/⑴递减区间为（0,2-万^）,（2+/一4,用

递增区间为（2_”_4,2+〃-4）

所以当°<〃<4时，/（））有两个极值点为、£,且=4,%用=〃

/(XJ+/(工2)=4X]_aIn玉_二X；_2+4/_aIn/」X；_2

因为2-2

2

=4(x)+x2)-6fln(xIx2)--(xj+%2)-4

=\6-a\na-^(\6-2a)-4=4+a-a\na

要证/(内)+/&)<6-Ina

只需证。皿。一。一心。+2>0

构造函数g（x）=xlnx_]_lnx+2

(x)=I+lnx-1--=lnx-—

则XX

四（6在（0,4）上递增,

又g（l）=-l<0,g⑵/2-g>0

ln（=£

又零点存在性定理，g（6=°在（L2）上有唯一实根与，且）/

则g（6在（°，工。）上递减，在（％4）上递增

j（jA

且（6*（％）=1-％——+2=3-/+一

当x”（l,2）时,演+；《2，|）,则g（x0）>o

所以g（x）Zg（x（））>0恒成立

所以alna-a-lna+2>0

则/（2）+/（%）<6Tnq

练习

/（x）=InJC-X+—（67GR）

1、已知函数X

（1）若函数/（X）在1S）上为增函数，求。的取值范围；

（2）若函数8々）=疗（6-（4+1*一”有两个不同的极值点玉、“2,且'2,证明:

/

/M=-+1-W='+；-"X€（0,-KX））

⑴解：XXX,

因为/（X）在［1M）上为增函数，所以f（X）之。在［"°）上恒成立,

等价于V+工_々之0在L+"）上恒成立，即4工（尸+/）«»访=2,46（-8,2］

Inx=2ax

＜]

(2)证：g(x)=lnx—2a\1々是方程gH)=。的两根，则口「二2倏

直线与比上中的图象有两个不同的交点,()一(")，

所以0＜七＜6＜/,

要想证西因为马〉气只需证芭即证ln*+ln&〉2

1_x2-Xj<玉+工2

可知In%+批次2=2a(E+/),2aInx2-Inx12

即MW＞夕，则为.4〉©