新七年级数学专项提升：线段与角的等量代换模型（原卷版）

专题06线段与角的等量代换模型

等量代换是数学变形的最常见方式之一，它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活，给人留下深刻的印象。运

用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换），还可以避免繁杂运算，具有

计算量小的独特优点，因此有着广泛的应用。

模型i.线段与角度的等量代换模型

【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。

1）线段的等量代换

条件：如图，已知：EG=结论：EH=GF.

2）角度的等量代换

（图中：N4OD=N1,ZBOC=Z2,NAOG/4）

条件1：如图，已知NAOB=NOOC；结论：Z1=Z2.

条件2：如图，已知NAO3=NOOC=90°；结论：Z1=Z2,Z3+Z4=18O°.

利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：

①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；

例I.（2023•重庆七年级课时练习）如图，点C,D在线段AB上，若AC=DB,则（）

A.AC=CDB.CD=DBC.AD=2DBD.AD=CB

例2.（2023秋•新疆乌鲁木齐•七年级校考期末）如图，点A、B、C在同一直线上，”为AC的中点，M为

A3的中点，N为AC的中点，则下列说法：

①MN=HC,②MN=g（AC+HB）,③MH=g（AH-HB）,④HN=；（HC+HB）,其中正确的是（）

・•••・・

AMHRNC

A.®®B.②④C.①④D.①®@

例4.（2023秋•河南漂河•七年级校考期末）如图，例E顺次为线段A8上的两点,AB=19,BE-DE=5,

。是AO的中点，则AE-AC的值是（）

iiiiI

ACDEB

A.5B.6C.7D.8

例5.（2023・广东广州•七年级校考期末）如图，

(1)若ZAOB=/COD,则ZAOC=N；

(2)若ZAOC=NBOD,则N=Z.

例6.(2023•云南昭通,七年级统考阶段练习)如图所示，已知乙408=140,ZAOC=ZBOD=90,则NC8

例7.（2023秋•福建厦门•七年级统考期末）下列推理错误的是（）

A.因为Zl+N2=90。，所以Nl=/2=45°B.因为Nl=N2,N2=N3,所以/1=/3

C.因为4+/2=180。,/1=/3,所以N2+N3=180。D.因为/1+/2=90。,/2+/3=900,所以N1=N3

例8.（2023春・广东佛山•七年级校考阶段练习）如图所示，AK是一条直线，若N1=N2,则/3=/4,其

理由是（）

A.内错角相等B.等角的补角相等C.同角的补角相等D.等量代换

例9.（2023•福建福州•七年级统考期末）如图，平面内ZAO3=/COD=90",OF平分NAOC,则以下结

论：®ZAOD=ZCOB：②N8O。一ZAOC=90";®ZXOC+ZBOD=180"：④OF平分/BOO.

其中正确的是.（填序号）

例10.（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知NAOC=N8OD.

(1)试说明：ZAOB=NCOD；(2)若OC平分N8OE,ZAQ4=16。，Z/X)£=24°,求N40C的度数;

（3）在（2）的条件下，作射线OF,OG,当NBOF=NDOF,NFOG=3N初G时，请正确画出图形，并直接

写出NAOG的度数.

例11.（2023秋•河南南阳•七年级统考期末）阅读材料并回答问题.

数学课上，老师提出了如下问题：知点。在直线八B上，NCOE=90。，在同一平面内，过点。作射线OD,

满足NAOC=2NAOD.当NBOC=40。时，如图1所示，求/ZX比的度数.

解：如图2,团点O在直线上，

(3Z4OB=。,

团4OC=40°,

SZAOC=°,

•/ZAOC=2^AOD,

团OD平分NAOC,

^ACOD=-ZAOC=。，

2-------------

0ZDOE=ZCOD+ZCOE,ZCOE=90°,

0ZDOE=

乙同学：“我认为还有一种情况.”

请完成以下问题：（1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整.

⑵判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求/。。£的度数，写

出解答过程；若不正确，请说明理由.（3）将题目中“/4OC=40。”的条件改成“N6OC=a”,其余条件不变，

当a在90。到180。之间变化时，如图3所示，。为何值时，NC8=N8OE成立？请直接写出此时。的值.

例12.(2023秋•河南鹤壁•七年级统考期末)如图，直线。力相交于点。，OM2-AB.

⑴若Nl=40。，Z2=3O°,求N7MOD的度数；

(2)如果N1=N2,那么ON与。力互相垂直吗？请说明理由.

课后专项训练

1.（2023・山西大同•七年级统考期末）如图，线段AB上有C,。两点，其中。是8c的中点;，则下列结论

一定正确的是（）

CDB

A.AB-AC=BDB.CO+8O=ACC.CD=-ABD.AD-AC=DB

4

2.（2023・山东聊城•七年级统考期中）如图，ACB。，比较线段4B与线段CO的大小（）

I_______I_________I______I

ACBD

A.AB=CDB.AB>CDC.AB<CDD.无法比较

3.（2023秋•湖北随州•七年级统考期末）如图，点C、D是线段AB上任意两点，点M是AC的中点，点N

是DB的中点，若M=MN=b,则线段CD的长是（）

111111

AMCDNB

A.2b-aB.2（T）C.a-bD.g（a+〃）

4.（2023♦江苏•七年级阶段练习）如图所示，点P,Q,C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的

中点，若AC=m,BC=n,则线段PQ的长为（）

11〃1Qr1

ACli

5.12023•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）如图，？AOC?BOC?DOE90?,则图中互补的角共有（）

C.5对D.4对

6.（2023云南七年级期末）如图所示，?，且4?与关系为（）

A.互补B.互余C.和为45。D.和为22.5。

7.（2023春•河南焦作♦七年级统考期中）如果a+〃=90。，〃+y=90。，那么。与/的关系是（）

A.互余B.互补C.相等D.无法确定

8.（2023秋•山东滨州•七年级统考期末）如图所示，用量角器度显一些角的度数.下列结论中正确的是（）

A.ZBOC=60°B./BOD=150。C.NAOC与N8O0的大小相同D./AOC与N80。互余

9.（2023春•山西太原,七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等"进行了如图所示的推理，其

中“▲”处的依据为（）

如图，因为直线A8,。。相交于点。,

所以ZAOB与ZCOD都是平角.

所以Nl+N2=180。，Z2+Z3=180°.

所以N1=N3（据：▲）

A.同角的余角相等B.同角的补角相等C.同位角相等D.平角的定义

10.（2023秋•广东深圳•七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则/I、

N2、N3三个角的数量关系为（）

A.Nl+N2+N3=90°B,Zl+Z2-Z3=90°C.Z1-Z2+Z3=90°D.Zl4-2Z2-Z3=90°

11.（2023秋・广东深圳•七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10,第一次操

作：分别取线段AM和AN的中点/%、M；第二次操作：分别取线段AM和AM的中点乂；第三次

操作：分别取线段/1%和人生的中点％，M；……连续这样操作20次，则每次的两个中点所形成的所有

线段之和加1乂+知2愀+…+/也。10=（）

AN.M,MM,MM.NM

A.10+*B.10+杳C.10D.10一3

12.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级校考开学考试）在同一平面内，ZAOB=25。,NAOC与/AQ8互余,

则/CO3为

13.（2023春•广东佛山•七年级统考期末）如图，ZACB=90°,CD_LA8于点O.若NACD=35。，则NA8C

的度数是.

14.（2023秋•河北唐山,七年级统考期末）如图，线段上有C、。两点，且AO=；AB,C是AO的中点,

若DB=8,则AC=.

1111

ACDB

15.（2023春•陕西宝鸡•七年级统考期中）如图，/AQB和NCOZ）都是直角，则NI___Z2（填>,=,<）.

16.（2023秋♦湖南娄底•七年级统考期末）如图，C,。是线段A8上两点，若C3=5cm,O8=8cm,且。

是AC的中点，则AB=cm.

I_______I________I__________I

ADCB

17.（2023秋•山东荷泽•七年级统考期末）如图，点C,。在线段4K上，且AC=CD=Z）B,点E是线段

的中点，若CE=12cm,则44的长为.

DEB

7

18.（2023•福建莆田•七年级校考开学考试）如图，点C、。为线段A8上两点，AC+8O=8,AD+BC=-ABf

则CD等于—.

I______I_____________।________।

ACDB

19.（2023秋•山西长治•七年级统考期末）如图，C,。是线段AB上两点，旦点。在点。的左侧，M,N分

别是线段AO，的中点.若4>=8W,BD=3,则A8的长为.

111111

AMCDNB

20.（2023.湖北武汉江岸区七年级期末）已知点A、B、C都在直线/上，点C是线段AA的三等分点，。、

E分别为线段A8、8c中点，直线/上所有线段的长度之和为91,则4C=.

22.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）如图，ZAOB=40°,过点。作射线。C,。。，使

ZAOC=NBOD=60。，贝I」ZCOD=.

23.（2023春・河北沧州•七年级校考阶段练习）如图，直线AB和直线C。相交于点。，ZB（9E=90°,有下

列结论：①NAOC与NCOE互为余角：②ZAOC=/BOD；③NAOC=NCO石：④NCOE与/DOE互

为补角；⑤/AOC与NDOE互为补角；⑥。与NCOE互为余角，其中错误的有（填序号）.

E

24.（2023春•绵阳市七年级期中）如图，O是直线MN上一点，OC平分NAOM,且N3OC=90。.

AB

MON

⑴图中存在组互补的角；与NMOB互补的角为；

(2)求证：08平分NAON.

下面给出0B平分ZAON的证明过程，请你将过程补充完整.

证明：13OC平分/AOM,

团NC0W=N().

田。足直线A/N上一点，

(3NA/QN=180°().

回々00=90。，

团ZCOM+/BQN=90°.

0?AOC?AOB907,

^ZCOM=ZAOC,

团ZBON=N().

团08平分ZAON.

25.(2022秋・北京•七年级校考期末)完成下列说理过程(括号中填写推理的依据):

已知：如图，直线A3,CO相交于点O,OE平分NAOb,ZCOE=90°.

求证：ZFOB=2ZAOC.

证明：•.•OE平分NAOE,

:.ZAOE=^EOF.((1))

ZCOE=90°,

/.ZAOC+ZAOE=90°.

•••直线人CD相交于点。，

NEOD=180。-4cOE=90°.

.-.ZEOF+ZFOZ>=90°.

:.ZAOC=②.（③）

•.•直线AB,CO相交于。，

:.ZAOC+ZAOD=\SO°,ZAOD+ZBOD=\SO0.

：.ZAOC=（4）.（⑤）

NFOB=ZFOD+ZBOD=2ZAOC.

26.（2023・河南南阳•七年级统考期末）阅读材料并回答问题：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图I,ZAOB=90。，OC平分/49B.若/COD=65。,请你补全图形，并求/80。的度数.

同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）

解：如图2,

VZAOB=90°,OC平分/AOB,

・•・ZBOC=ZAOC=（1）°

•/ZCO£>=65°,

••・ABOD=ZBOC+Z（2）=（3：°.

请你完成以下问题：

⑴将同学•的解答过程空缺部分补充完整.

(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图

形，并求“3OD的度数.

（3）若NCOO=a,NAOB=/,直接写出的度数

27.（2023・广东七年级课时练习）问题：如图，点C是线段A8的中点，点。在线段。8上，点£是线段

A。的中点，若EC=3,求线段OB的长.

AECDB

请补全以下解答过程.

解：因为点C是线段入〃的中点，，

所以,AD=2AE.

因为DB=AB-,

所以DB=-2AE=2（AC-AE）=2EC.

因为®>3,

所以DB=.

28.（2023・重庆万州•七年级统考期末）如图，长度为24cm的线段A8上有两点CD，这两点将线段48分

成AC:C£>:D8=3:1:2.

（1）求线段CD的长；（2）点M为线段AC的中点，点N为线段AQ的中点，求线段MN的长度.

MN

IIIIII

ACDB

29.（2023.湖北省新春县七年级期末）已知C为线段AB的中点，。是线段AC的中点.

（1）画出相应的图形，并写出图中线段的条数和名称；

（2）若图中所有线段的长度和为26,求线段AC的长度；

（3）若E为线段BC上的点，M为E8的中点，DM=a,CE=b,求线段A8的长度（用含a,Z?的代数式

表示）.

30.（2023•广东珠海•七年级开学考试）对“如果N1和N2都是Na的余角，那么N1=N2"的说理过程，在括

号内填上依据.

理由：因为Nl+Na=90°（己知）,

所以Zl=90。-Na（等式的性质）.

因为/2+/。=90。（）,

所以乙-如一/。（）.

所以N1=N2（）.

31.（2023春•贵州铜仁•七年级统考期中）已知ZAQ6=120。，NC。。在NAO8内部，ZCOZ）=60°.

（2）如图2,若OE平分/8OC,请说明：/AOC=2/DOE；

（3）如图3,若在NAO8的外部分别作NAOC,的余角NAOP,/BOQ,求NAOP+N8OQ的度数.

32.（2023秋・湖南益阳•七年级校考期末）阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知,

如图1,ZAOB=90°,OC平分/AO8.若NCOD=650,请你补全图形，并求N8OD的度数.

同学一的解答如下：

解：如图2,作NCOD

因为NAO3=90。，OC平分/AOB,

所以ZBOC=ZAOC=,

因为NC8=65。，

所以ZBOD=ZBOC+Z=,

同学二说："符合题目要求的图形还有一种情