新七年级数学专项提升：运算与技巧（解析版）

衔接点01运算与技巧

..R素养目标

小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。

初中阶段较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系犷大了，上升到有理数域，最后到实数域，这

是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有

理数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象

能力、应用意识等。

对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号

法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。

对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本

专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。

目录导航

题型探究

题型1、活用运算定律和性质（凑整思想）........................................................3

题型2、巧分组法...............................................................................10

题型3、换元法.................................................................................13

题型4、分数裂项计算...........................................................................16

题型5、数列求和（等差、等比数列）............................................................22

题型6、运用乘法公式运算......................................................................25

培优精练

AM（施力提升）................................................................................................................29

B组（培展）................................................................................................................37

知识梳理

1.运算定律

1）力口法交换律：a+b=b+a力口法结合律：。+力+。=。+（力+c）

2）乘法交换律：axbxc=axcxb乘法结合律：（”x〃）xc=ax（cx〃）

3）乘才去分配律：（a±b）xc=axc±bxc乘法分配律的逆用：axb±axc=a（b±c）

2.运算性质

1）减法的性质：a-b-c=a-（b+c）a-b+c=a-(b-c)

2）除法的性质：a+A+c=a+（Axc）a+bxc=a+(b+c)

3)商的“不变性”，即若a+Z?=c,则(Gd)+3-d)=c,(Q+d)+(b+d)=c(dwO)；

3.裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。

111TlI(\1)

第一类（“裂差”型运算）：-----=------或-------—x-------------

〃(门+1)nn+\〃(〃+〃?)tn\nn+m)

第二类（“裂和”型运算）：—1-+-|或竺三=工+工

in-nm+n\inn）tnnmn

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同

时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

4.数列求和公式（补充）

①等差数列求和

等差数列求和公式；（首项+末项）x项数+2

等差数列的项数计算方法：（末项一首项）：公差+1

②等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项x公比一首项）・（公比一1）（公比Ml）

5.乘法公式（补充）

平方差公式：（〃+〃）（“一"）=/—从完全平方公式：（4+〃）2=/+2"+62,（4-力）2=〃2-2"+/

-A题型探究

题型1、活用运算定律和性质(凑整思想)

【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数(或小数)凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有

理数式了容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。

一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。

例I.(2023・四川成都・小升初真题)能简算的要简算。

(1)—x—x—(2)-X-+-X—(3)f-+-lx21(4)—X122--(5)—xlOl

121425511511U1)1111100

i299

【答案】⑴-；(2)y；(3)13；(4)66；(5)99—

【分析】(1)分数连乘，能约分的要先约分。

(2)利用乘法的分配律。

(3)括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算。

(4)将R看成卜，，这样就可以利用乘法的分配律计算。

(5)将101看成100+工，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分0

758

【详解】(1)—x—x——

121425

_VX'X'

■Wx

1

15

2922

⑵—XF—x一

511511

-x(—+—)

51111

—X1

5

12、

x21

=-x21+-x21

37

=7+6

=13

⑷—X122--

1111

=—xl22-—xl

1111

=—x(122-l)

II

=—x121

11

=66

99

(5)——xlOl

100

99

=——x(100+l)

100

=2X1OO+"xl

100100

99

=99+—

100

99

=99—

100

例2.（2023•河北邯郸・小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。

271

(1)62.5%x-+--4-(2)3.8+(0.25x0.38)(3)202.3x2.5+20.23x36+2.023x390

982

2005x2006-1“、/八2-2、5,5,

(4)15.8--+--—(5),(6)(9_+7c).(z+)

185182005+2004x20067979

【答案】(1)|；(2)

40；(3)2023；(4)15；(5)1(6)13

【分析】（1）62.5%化为分数是:把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算；

O

（2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算；

（3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为20.23,再根据乘法分配律进行简算。

⑷15.83十卜二先根据带符号搬家，将算式变为15.8+丁:工然后把!化为02根据减法的

（711A

性质和括号的应用，将算式变为。5.8+0.2）-痴+马进行简算即可；

（5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005x2006可变形为（2004+1）x2006=2004x2006

+2006—1,同时发现2006—1=2005,这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算.

（6）在本题中，被除数提取公因数65,除数提取公因数5,再壬）和3的和作为一个数来参与运算，会使

计算简便很多.

27I

【详解】⑴62.5%x-+--4-

9o2

9

527

—x—+—2-

898

5272

=—x—+—x—

8989

257

一+一

988

23

=—x-

92

(2)3.8-(0.25x0.38)

=3.8+0.25+0.38

=3.8+0.38+0.25

=104-0.25

=40

(3)202.3x2.5+20.23x36+2.023x390

=20.23x25+20.23x36+20.23x39

=20.23x(25+36+39)

=20.23x100

=2023

(4)15.8-----1-------

18518

711

=15.8+0.2---------

1818

=(58+0.2)4+3

=16-1

=15

(2(X)4+l)x2006-l

（5）原式:

2005+2004x2006

2004x2006+2006—1

2(X)5+2004x2(X)6

(6)原式=(y+y)(|+1)

=[65x(y+1)R[5x(；+")〕

=65^5

=13

变式1.(2024・四川成都小升初真题)计算下面各题，能简算的要简算。

43

⑴(2)—x25x!9x-(3)-x58--x31

(912j2319599

<3_2>5410小。13、II

⑷x7.2⑸-X-4--(6)1----x——

<4-3;9721I121)18

【答案】⑴|；(2)60；(3)15；(4)0.6；(5)|；(6)与

【分析】(1)先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数加法，先通分将分数转

化为同分母加法。分数的乘法，能约分的要先约分。

(2)分数连乘能约分的先约分。

(3)运用乘法的分配律简便运算。

(4)先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数减法，先通分将分数转化为同分

母减法。分数的乘法，能约分的要先约分。

(5)分数的乘除混合运算现将分数的除法转化成分数的乘法计算。除以一个数相当于乘这个数的倒数。

(6)先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是整数减分数，先将整数转化为和另外一个分

数同分母的分数，再根据同分母减法计算。分数的乘法，能约分的要先约分。

【详解】⑴D+高嚼

2324

=—x——

3623

2

=­

3

43

(2)—x25xl9x-

195

长、区•'、坟飞

=4x5x3

=60

(3)-x58--x31

99

备(58—31)

5cr

=-x27

9

=15

⑷篇卜72

(98、)c

=------x7.2

(12127

1”

=—x7.2

12

=0.6

心5410

9721

5421

=—x—x—

9710

变式2.(2023・山东济南.小升初真题)脱式计算，能简算的要简算。

12112

6.8x0.35+408+241.8x-+2.2x25%-0.25(0.2+—)x—+8

42025

3

【答案】19.38；0.75；—；

40

【分析】(1)先算乘法和除法，再算加法；

(2)根据乘法分配律进行简算；

(3)先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法；

【详解】⑴6,8x0.35+408-24

=2.38+17

=19.38

(2)1.8x1+2,2x25%-0.25

4

=1.8x0.25+2.2x0.25-025

=(1.8+2.2-1)x0.25

(4-1)x0.25

=3x0.25

=C.75

⑶（。2+罪乂*8

(1+21)』

52025

/421、12—

202025

2512—

=--X------8

2025

31

=—x—

58

二_3_

一40

变式3.（2023春•广西•六年级培优）计算.

362+548x361(2)++—)-(—+-+4)

)362x548-186

9711II79

【答案】（1）1（2）2

362+548x361

【详解】（1）

362x548-186

362+548x361

二(361+1)x548-186

362+548x361

"361x548+548-186

362+548x361

361x548+362

(2)(-+1-+—)-?(—+-+-)

97111179

6.10,8xz3.5,4A

=(71+斤+§-(17+尹，)

cz3.5.43,5.4

=2x(-+?+-)^(-+7+-)

=2

变式4(2023•福建泉州•小升初模拟)神机妙算。

1|1332()IQ

+

(1)8x3一引1用(3--2.95)](2)-x39+-x25+2x-(3)2018-2018——2020

754442019

44

【答案】—：1680；1

【分析】（I）根据乘法交换律简算；（2）（3）根据乘法分配律简算;

【详解】(1)8x33W(3：—2.95)]

22

=8x—x(3.2-2.95)

7

22

=8xyx0.25

22

=8xO.25x—

7

、22

=2x——

7

44

T

133

(2)-x39+-x25+2x-

444

333

=(1一二)x39+二x25+2x-

444

333

=39--x39+-x25+2x-

444

3

=39--x(39-25-2)

4

=39--xl2

4

=39-9

=30

of)!Q1

(3)2018:2018——十——

20192020

2018x2019+20181

=2018+—

20192020

2018x(2019+1)11

=2018：

20192020

二2。生迎8x2竺

2019

H------

2020

201911

2020+2020

【点睛】在四则混合运算中，要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算。

题型2、巧分组法

【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。

例1.（2024.广东•小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。

11II1

\⑵

—-----

/66666

5

答案25⑵

6-2050

【分析】（1）将带分数转化为整数和真分数相加，利用加法的交换律和结合律将整数和整数相加，分数和

分数相加。（2）观察数据，把整数和整数先加起来。

【详解】⑴%3触纽如其

=1+-+3+—+5+-+7+-+9+—

6666

=1+3+5+7+9H--X5

6

=25+-

二(1+3+5+…+97+99)--x(l+2+3+...+49+50)

51

=(1+99)+(3+97)+(5+95)…+(49+51)-3x[(1+50)+(2+49)+…(25+26)]

1Q

=100x25---x51x25

51

=2500-18x25

=2500-450

=2050

例2.(2024六年级浙江培优)计算。

(1)2004--2003-+2002--2C01-+...+2--1-+-

2323232

(2)2023-2020+2017-2014+2011-2008+......+19—16+13—10+7—4+1

【答案】(1)1169；(2)1012

【分析】(1)根据带分数的意义，可将算式变为

2004+：-2003+；)+2002+；-2001+；+・・・+2+；-++；,然后去掉括号，将算式变为

2004+^-2003--^-4-2(X)24-^--2031-^-H----F2+1-1一?+',然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式

2323232

(\1A(\\\(11\1

.(2004-2003)+(2002-2001)•••+(2-1)+------+--------+…+--------+-壬、,代虹口用工乂一田

变为''''I'(23)(23)(23：2,再计算括号里面的结果，

麻个

接着根据乘法的意义,将算式变为lxl()()2+，xl002+(进行简算即可。

62

(2)合理分组：(2023-2020)+(2017-2014)+(2011-2008)+.......+(13-10)+(7-4)+1

每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可。

[详解]2004—2003—F2(X)2—2001—>+2—1—I—

2323232

-2004H-----20034—]+2002H-----f2001H—+…+2H-----f1H—H—

2I3J2I3)2[3)2

=2004+--2003--+2002+--2001--4---+2+--1--+-

2323232

1

2004-2003+2002-2001-+2-1+---+---+...+---+—

232323

(2004-2003)+(2002-2001)-4-(2-1)+

,,,111I

二'麻个'766,2

1002个

=1X1002+-X1002+-

62

=1002+167+-

2

=1169-

2

(2)2023-2020+2017-2014+2011-2(X)8+......+13—10+7—4+1

=(2023-2020)+(2017-2014)+(2011-2008)+.......+(13-10)+(7-4)+1

每两个数为一组，结果是3；一共有337组;

=3x337+1

=1012

变式1.(2022.江苏南京.统考小升初真题)简算，并写出简算过程。

99-97+95-93+91-89+...+7-5+3-1

【答案】50；

【分析】第四小题，通过观察，两组数字为•组，共分为25组，每组得数是2,进而计算即可;

【详解】99-97+95—93+91-89+…+7—5+3—1

=(99-97)+(95-93)+(91-89)+...+(7-5)+(3-1)

=2+2+2+…+2+2(25个2)

=2x25

=50

变式2.(2024.江苏•六年级校考期中)计算：4+2:3：+4上+5\+6=

248163264

【答案】21Q：

64

【分析】法1：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，把;写成1一：，g写成

224

一?卜成X,也写成一/专写成U卷写成呆〜再进行简算即可；

法2：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，添项占，再减去1，达到凑整的

6464

目的，再进行简算即可。

【详解】法1：殴+2+39吊+5导62

Il*—

+r1X

=(14-2+3+4+5+6)4-(-4-

2一

1*31211

-

----

=21+8%

++163264

=21+(1--^-)

64

=嘘

【详解】法2：耳+2+394+5导62

(1+2+3+4+5+6)+(—+―+—+---1---+一+----)

2481632646464

111±±±_±

=21+(+++++)

24816323264

111±±_±

=21+(++++)

248161664

=21+

=21+4+丹卜专)

=21++

=2,+(,-i)

=21+兽

64

=21竺

64

题型3、换元法

【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命

题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。

例I.（2023•湖南湘潭•六年级自主招生）计算。

111+'岸+...+

x

23499J234100；234言）

【答案喘

,,,,,,11111111

【r分析r】令1+—+-+—+…+—=A,—+-+—+…+—=B,将原式改写成含字母A、B的式子，再根据

234992349999

乘法分配律（a+b）xc=axc+bxc将式子化简,最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。

、.,11111111111111

【津解】令1+-H--F—+...+—=A,—H---F—+...+—=B：

2349923499

原式"A、（B+击）一（A+击）xB

=ABH-----A-AB—B

100100

---A------B

100----100

=—x(A-B)

100

IiI±II1±

\

_LXj-+-)x-+-+-!

234+..+z234+..+z

OO9999

1I11111

L

-斌++

i4一

x[2i34-i4--

99

=一Xl

100

1

ioo

例2.（2024•成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。

•■+---x-----

2023232024J

【答案】1

2024

【分析】假设:+?+~+亲=小则原式变形为：(1+a)x(a+-^-)-ax(H-a+-^-),化简后

23202320242024

即可得解。

【详解】设封+•••+i

2023

原.式化为：(1+a)x(ad------)—ax(1+aH-------)

20242024

=aH--------\-a2~\---------a—a2--------

202420242024

1

2024

【点睛】要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算，注意解题的关键是将;+；+…+/的

JJJ

和设为a。

变式I.(2022•广东深圳•六年级校考期中)巧募。

⑴2。2。皿0瑞(11111111111

(2)-+-+-+-x+++星+Wx—+-+-

(34564567八34567456

2021

【答案】(I)

2022

【分析】(1)2020—2020器，把带分数化成假分数，2020需=202*：；1平0=202；泮2,原

2020x20222021

式化为：2020-＞把除法换成乘法，原式化为：2020X—,约分，即可解答;

NUN1NUNUXNUNN

(2)----1----Fy)x(—I---Fy4--)—(2"I-----F-4-y+-)x(—F-+-),把(—+-4-

3345645673456745645

;一;)化为［+1++:］，(!+，+:+［+:)化为］(?+!+2+，)+!］：原式化为:

6745673456734567

1,1,1,1,1,1,1+2］一［(：+!+?+!)+!］x(!+!+!),再根据乘法分配

z(；+：+彳+工)x［(了+彳+工)

3456456734567456

律，原式化为：(〈+!+：+!)x1,I,I,1,11,1,1,l^l/1

+)+(+++)X——(-+—+—+-)Ax(—

345665756734564

x《十江9，再根据乘法

+!+!)­T+!十7)，原式化为:(l+l+l+l)xl_lx

567456345677

原式化为:'(；+}+»5：一!)，再进行计算。

分配律,

5o

(1)2020-2020^5

【详解】

2021

2020x2021+2020

=2020+

2021

2020x2022

=2020：

2021

2020x2022

2021

2022

/r、I.11,11,1.1,11,I1,1,1

(2)z(—I-----(1------1—x)x(—|-------1------1—)—(z—I--------1------1------1—)x

34564-5_67345-67

1.1.1,।1,r1,1,1.111.11

)x[(—-------)H—]—[(--------------—)H—lx(—|-----F-)

456734567456

,1,1,1

)x(-+--F-)+(-+—+―+-)x-—x(―H------F-)

45634567456

1I,1,11

)---------x•.—H------K-)

77456

73456456

11

=—X—

73

1

2?

变式1.（2023•广东•校考小升初模拟）用简便方法计算。

111U14111

1++++-+—

231234234534

【答案】।

【分析】假设1+；十；十!=a,+1+|=把字母代入原式牝简含有字母的式子，最后再把a和b的值

代人化简后的式子求出结果，据此计算。

【详解】假设l+《+1+：=a,；+|+：=b

aJI4J•

原式=ax(b4a4)xb

ab+-aab+-b

5)5J

=ab+-a-ab--b

55

J

5

题型4、分数裂项计算

【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课

化简一些有理数式子的计算：

第一类（“裂差”型运算）：①一二7二』一一工或「\二，xf』一——

+n〃+1nyn+m）m\nn+mJ

111

②______!______------------------------X-

〃x(〃+l)x(〃+2)〃x(〃+l)(H+l)x(//+2)---2

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分了•全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是Mx为任意自然数）的，但是只要将X提取

出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母:上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

第二类(“裂和”型运算)：—f-+-l或^-=-+-

m-nm+n\mn)m-nmn

裂和型运算与裂差型运算的对比:

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的“，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消''型的，同时还有

转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例I.（2022•广西南宁•校考小升初真题）观察下列等式:

1,11I1i11

=1——=―—一，9

1x222x3233x434

请将以上三个等式两边分别相加得：

一+----4—l=i-l=2

1x22x33x42233444

1

（1）猜想并写出:

/?(/?+1)

(2)-----+-------+-------F・・・H-------------------(）。

1x22x33x42016x2017

（3）探究并计算:---+----+---+…+----------

2x44x66x82016x2018

1I11111I1

（4）计算:-4--+—+—+—+—+------+-------4--------

41224406084112144180

生⑷2

【答案】(2)翳⑶

100920

【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可;（2）根据（1）中的猜想计算出结

果；⑶根据乘法分配律提吗，再计算即可求解;

（4）先拆项，再抵消结果即可求解。

1

【详解】

水〃+1)

1_1

it〃+1

1111

(2)+

1^22^33x42016x2017

=]----+--------+--------+•・・+------------------

2233420162017

2017

2016

2017

1

(3)—+—+—+•••+

2x44x66x82016x2018

-(------+-------+-------+--------------------)

41x22x33x41008x1009

1O691

1v1008

4XW09

252

1009

~、111111111

41224406084112144180

1.1111、

21x22x33x49x10

=-(1--)

210

19

=—x—

210

9

20

【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。

2024202420242024

例2.（2024六年级下山东・培优）----------1----------H------------F•••H-------------

1x55x99x1377x81

40480

【答案】

81

【分析】对于分母可以写作两个因数乘积的分数、即—，这皇我们把较小的数写在前面，即那么

axb

1|1、

就有八八--o先将2306利用乘法的分配律提出来，剩下的加法算式中，可以利用上面的公式

axbb-a\ab)

111…再利用乘法的分配律提出I最后可以发现，可

化简，即•

1x55-15x99-5

以抵消掉一部分的分数。

2024202420242024

【详解】-----1k-----+・・・■<---------

1x5---5x99x1377x81

］、

=2024X—x

411x55x99x1377x81,

=2024xlxH-1111111

4♦♦•+

5599137781

=2024x1x(1--

48U

=2024弋x浮

40480

81

【点睛】将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂

项和整数裂项