统计与概率（复习讲义）-2026年春季高考数学（广东小高考专用）原卷版

第09讲统计与概率

目录

考情分析与命题趋势..............................................................................1

知识体系构建....................................................................................2

考点精析与突破..................................................................................6

考点一简单随机抽样与分层抽样（重）......................................................6

考点二求几个数的平均数、中位数、众数、方差..............................................7

考点三频率分布直方图.....................................................................8

考点四频率分布直方图的数字特征（重）...................................................10

考点五百分位数的估计....................................................................13

考点六古典概型的计算（重）..............................................................14

考点七利用频率估计概率..................................................................15

考点八事件的关系........................................................................16

考点九事件的相互独立（重）..............................................................18

实战精练与提升.................................................................................19

01PART□

考情分析与命题趋势

一、考试要求

理解随机抽样的必要性和重要性，掌握简单随机抽样方法，了解分层抽样和系统抽样方法。

了解分布的意义与作用，会列频率分布表、绘制频率分布直方图等图表并理解其特点；掌握样本标准差的

计算，能提取并解释平均数、标准差等样本基本数字特征。

理解用样本估计总体的思想，会用样本频率分布、基本数字特征估计总体的对应内容，并解决相关简单实

际问题。

了解随机事件的不确定性、频率的稳定性及概率的意义，区分频率与概率，掌握两个互斥事件的概率加法

公式。

理解古典概型、事件相互独立的概念及对应概率计算公式，会计算随机事件所含基本事件数和事件发生的

概率。

二、命题分析

号点考频考查内容命题趋势

抽样方法5年3考分层抽样预测2026年在填空题中考查分层抽样

频率分布直方图与数预测2026年在选择题或解答题中考查求

5年5考求数据的平均数和方差

据特征数据的数据特征

古典概型与事件关系5年5考古典概型、互斥对立事件预测2026年在选择题中考查古典概型

预测2026年在解答题中考查独立乘法公

相互独立事件5年1考独立乘法公式

式

02PART□

知识体系构建

知识点1、简单随机抽样及分层抽样

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回抽取〃个个体作为样本（〃MN）,如果每次抽取

定义

时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中

抽签法

方法抽取一个号签，连续抽取〃次，就得到一个容量为〃的样本

随机数法利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样

①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限：

抽签法相同点

②都是从总体中逐个不放回地进行抽取

与随机

①抽签法比随机数法操作简单；

数法不同点

②随机数次更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况

利用随机数法抽取个体时的注意事项:

①定起点：事先应确定以表中的哪个数（哪行哪列）作为起点.

②定方向：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）.

③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三

位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数.

分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.

注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.

知识点2、频率分布直方图

1.画频率分布直方图的步骤

第1步：求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组;

第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图（以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值）.

2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1.

知识点3、数字特征

①众数、中位数、平均数

数字特征样本数据频率分布直方图

众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标

将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个把频率分布直方图划分左右两人面积相等的

中位数

数据（或最中间两个数据的平均数）分界线与X轴交点的横坐标

每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横

平均数样本数据的算术平均数

坐标之和

②极差、方差和标准差

极差：即一组数据中最大值与最小值的差.

方差：s~=—[（X|—x）~+（x2—++（X“-x）2].

n

222

标准差：5=-X）+（x2-X）+...+（X„-X）].

注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准

差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

③性质

（1）若工|,石，…，X〃的平均数为了，那么"叫+4,g2+4，，〃〜+4的平均数为/就+〃.

（2）数据内,马，,，元”与数据E'=石+。，±'=”2+〃，，匕'=％的方差相等，即数据经过平移后方差

不变.

（3）若王,工2,%的方差为0,那么叫+b,av2+/?,«•,axH+b的方差为.2s?

知识点4、百分位数

1.定义：•组数据的第〃百分位数是这样•个值，它使得这组数据中至少有〃%的数据小于或等于这个值,

且至少有（100-P）%的数据大于或等于这个值.

2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤

第I步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i=〃xp%.

第3步，若，不是整数，而大于，•的比邻整数为人则第〃百分位数为第j项数据；若i是整数，则第〃百分

位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

3.四分位数

即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数.

其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位

数等.

知识点5、事件间的美系及运算

定义符号表示图示

如果事件4发生，则事件8一定发生，这时称事

包含关系/皿（或A6）

件B包含事件4（或称事件4包含于事件B）

相等关系若83A且A3B,则事件A与事件8相等A=Bc

并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件8发生，

A+B）

（和事件）称此事件为事件4与事件B的并事件（或和事件）c03

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件1发生，

交事件

则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事ACIB（或4・B）

（积事件）

件）cco

互斥事件若AfyB为不可能事件，贝J称事件A与事件B互斥ACB=0OQ

若AH3为不可能事件，AU3为必然事件，那么A。8=0且

对立事件

称事件A与事件B互为对立事件AU8=0cOB

知识点6、古典概型

1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

2.古典概型的概率计算公式

一般地,设试验£是古典概型,样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中4个样本点,则定义事件A

的概率24）=4二嘤

其中〃（川和〃（。）分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

3.概率的基本性质

性质1：对任意的事件A,都有P[A）K）.

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即Q（C）=LP（0）=O.

性质3如果事件A与事件8互尺，那么P（AU8）=P（4）+P（8）.

性质4；如果事件人与事件8互为对立事件，那么P（"）=1-P（A）,P（A）=1-P（B）.

性质5：如果AU8,那么尸（A）<P（B）.

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（AuB）=P（4）+P（8）-P（4cB）.

知识点7、相互独立事件

1、定义：对任意两个事件4与及如果P（A8）=P（A）P（8）成立，则称事件人与事件8相互独立，简称

为独立.

2、判断事件是否相互独立的方法

（1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的

（2）公式法：若对两事件A,8有P（AB）=P（A）P（8）,则事件A,8相互独立.

3、相互独立事件的概率计算

已知两个事件A,8相互独立，它们的概率分别为尸（A）,P（B）,则有

事件概率

A,8同时发生P(A)P(B)

A,8都不发生P(~)P(石)

A,8恰有一个发生P(4)P(N)+P(T)P(B)

A,6中至少有一个发生P(4)P(N)+P(云)P(B)+P(A)P(B)

A,3中至多有一个发生P(A)P(百)+P(-A)P(B)+P(T)P(石)

知识点8、频率稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试

验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率，（A）会逐渐稳定于事件A发生的概

率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率，（A）估计概率P（人）.

m

如果在〃次重复进行的试验中，寻件A发生的频率行，当〃很大时，可以认为事件A发生的概率PG4）的估

m

计值为7,且OKP（A）K1.

03PART□

考点精析与突破

考点一简单随机抽样与分层抽样

解题策略

（1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限：②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可

能抽取，常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用「个体数较多的情况）.

该层样本量〃该层抽取的个体数

<2）分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比=

总样本量N该层的个体数

②总体中某两层的个体数之比二样本中这两层抽取的个体数之比.

例I.（202425高三上•广东汕头•阶段练习）总体由编号01,02,29,30的30个个体组成,利用下面

的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取

两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）

第I行78166232080262426252536997280198

第2行32049234493582003623486969387481

A.27B.26C.25D.19

例2.（2024.25高三上•广东•期中）某中学共有学生2500人,其中男生1500人，为了解该校学生参加体育

锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）

A.25B.15C.30D.20

练习1.（2024・广东广州•模拟预测）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批（1（双）个）【I罩的质

量，决定抽查其中的2%.在这个问题中下列说法正确的个数是（）

①总体是指这1000个口罩；②个体是每个口罩；

③样本是按2%的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20

A.1B.2C.3D.4

练习2.（202425高三下•广东汕头•期末）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从B00支中抽取

60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按（XX）,001,…,799进行编号，如果从随机数表第7行

第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是（下面摘取「随

机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

练习3.（2024.25高三上•广东洪江•期中）某学校有高中学生3000人,初中学生2000人.学生社团创办文

创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调

查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（）

A.150人B.200人C.300人D.500人

练习4.（2024・广东江门•三模）某校高一、高二、高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分

层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为1:2:3,则该校高三的学生人数

为.

考点二求几个数的平均数、中位数、众数、方差

例3.（202425高三上.广东佛山期中）”体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2025年成都世界运

动会，己知某运动员某次特训的成绩分别为4,8,9,3,3.5,7,9,则下列说法错误的是（）

••

A.这组数据的极差为6B.这组数据的众数为3

C.这组数据的平均数为6D.这组数据的方差为中23

4

例4.（202425高三上•广东广州・期末）设一组样本数据0占国七的平均数为3,方差为4,则数据内,占，当，“

2A,+1,2A-2+I,2X5+1,25+1的平均数和方差分别为（）

A.4,14B.4,16C.5,14D.5,16

练习1.（2024-25高三下•广东深圳•期末）已知一组数据4,2亿3-45,6的平均数为3,则。二•）

A.-3B.-1C.1D.3

练习2.（202425高三上•广东广州•阶段练习）样本数据6,12,18,14,16,30去掉一个最低分的平均数

为（）

A.15B.16C.17D.18

练习3.（202425高三上•广东广州•期中）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，

并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（）

+人故

B.中位数是80

C.众数是21D.中位数是12

练习4.（2025・广东广州•模拟预测）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如

图所示），则该样本的中位数、众数分别是（）

125

20233

3124489

455577889

50011479

6178

A.45,45B.45,46

C.46,45D.47,45

考点三频率分布直方图

解题策略

频率

；（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为赢■，因此涉及纵坐标中含参数的问题，应根据频率之和为1列式

；求解；

I

:（2）根据频率分布直方图（表）求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和，

j而求解相应的频数还要根据频率我以样本容量；

;（3）若所求区间包含频率分布宜方图中非分组的端点，可以利用“比例法”求解.

i

..................................................................................................................................................

例5.（2024・广东佛山•模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：kWh）调查，将

得到的数据按[50,100）,[100,150）,[150,200）,[200,250）,[250,300）,[300.350]分为6组，画出的频率分布直方图

如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在[200,350]内的户数为（）

A.35B.40C.42D.45

例6.（2024.25高三上•广东江门•阶段练习）某中学举行了一次，网络信息安全'’知识竞赛，将参赛的500名

学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间［75,80）内的学生有（）

A.80名B.100名C.120名D.140名

练习1.（202425高三上•广东潮州•期中）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户

居民，得到他们的月均用水量全部介于1/至21/之间，将结果按如下方式分成八组：第一组［L3.5）,第二

,已知第六组有4

0.06D.0.07

练习2.（2025-26高三上•广东梅州•期中）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市

随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小

于1.5立方米的用户数为（）

A.20B.30C.50D.60

练习3.（202526高三上•广东•阶段练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机

抽取了80名学生的成绩，并进行分组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],绘制成如下频率分布直方

练习4.（2024-25高三下•安徽合肥,期末）某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的

分数，将数据分成6组：[40,50）」50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并整理得到如下频率

分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据

考点四频率分布直方图的数字特征

解题策略

用频率分布直方图估计总体数字特征的方法：

（1）众数：最高小长方形底边中点的横坐标;

（2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

（3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

例7.（202+25高三上•广东惠州,期中）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以

[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.则下

列说法错误的是()

A.直方图中x=0.0075

B.图中所有矩形面积之和为1

C.月平均用电后的中位数为225

D.在月平均用电量为[220,240）,[240,260）.[260,280）,[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

11户居民，月平均用电量在[220,240）的用户中应抽取5户.

例8.（2024.25高三上•广东揭阳•阶段练习）某班全体学生参加物理测试成绩（单位:分）的频率分布百方图如

、中位数、平均数分别是（）分

C.70,68,70D.68,70,70

练习I.（2025・广东中山•模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的

第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.在杂交水稻

试验田中随机抽取了10（）株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同

一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（）

频率

A.a=0.01

B.这100株水稻的稻穗数的众数约为250

C.这100株水稻的稻穗数的平均数约为256

D.这100株水稻的稻穗数的中位数约为252

练习2.（2024.25高三上•广东广州•阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节

水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：I）,将数

据按照口1）,1,2）,[2,3）,[3,4],[4,5]分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数

据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（）

A.2.45B.2.46C.2.47D.2.48

练习3.（202425高三上•广东江门•期中）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞

赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[5Q100]内，按分数分成5组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90.100],得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论小ip电的是（）

A.成绩在［80,90）上的人数最多B.成绩不低于70分的学生所占比例为70%

C.50名学生成绩的平均分小于中位数D.50名学生成绩的极差为5（）

练习4.（202425高三上•广东江门•期末）对一批底部周长（单位：cm）在［80,130］内的树木进行研究，从

由此估计这批树木的底部周长

考点五百分位数的估计

解题策略

（I）求•组数据的百分位数时，•定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列：

（2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方

法淇次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法及比例法，设出百分位数，利用比例列方程求解.

例9.（202425高三上•广东韶关阶段练习）数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第60百分

位数是（）.

A.19B.21C.23D.23.5

例10.（2025・26高三上•广东佛山•阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率

分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为分.

练习1.（2025・广东佛山•三模）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不

含中国香港、中国台湾）：26,28,32,38,38,40,48,则这组数据的70%分位数为（）

A.26B.32C.35D.38

练习2.（2025-26高三上•广东惠州•阶段练习）已知样本数据5,6,6,6,8,9,10,II,则该组数据的

第60百分位数为（）

A.6B.7C.8D.9

练习3.（2024-25高三下•广东深圳•阶段练习）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40,40,

20.18.16.15.14.13,则这组数据的卜四分位数为（）

A.40B.30C.15D.14.5

练习4.（202425高三上•广东佛山•阶段练习）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用

人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方

图，则图中〃=—，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为,

考点六古典概型的计算

解题策略

（1）判断是否为古典概型，关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性；

（2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数攵；

③代入公式求出概率尸（A）.

•・•・・■,■•・•・•・（・•・•・•■・■（・•・•・（・（・•・（・（・（・•■・・（・I・（・•・•・（・•・•・・・・■（・•■（■■■•■•■・■•・■・•・•・（■・■•・（・（・•・（・（・•・•・•・•■・■（・•■（■■■•■•・（・•・•・•■・■•・•・•・（・•・（・•■•・・■

例II.（202425高三上•广东深圳•期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2

张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（）

1「3"7n3

1010105

例12.（202526高三上•广东深圳•开学考试）已知甲袋中有4个白球、4个红球,乙袋中有2个白球、4个红

球，各个球的大小与质地相同.现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色

不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则^=.

练习1.（2025-26高三上•广东•阶段练习）某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为

55,58,61,63,65,68,70,73,75,78,80,82,83,85,86,88,90,92,93,95.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分

位数为，〃，这20名学生中此次物理测验成绩不低于〃，分的学生有口人，现从这/人中随机抽取2人，则这

2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（）

A.2B.2c.AD.3

515155

练习2.（202425高三上•广东广州•期末）在一个不透明的袋中有4个红球和〃个黑球，现从袋中有放回地

Q

随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

练习3.（202425高三上•广东•期中）《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经中的一个卦图，它由8

个卦组成，其中每一卦乂由3根线构成（线形为^^或例如正上方的卦为

它由3根线构成.现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率

是

练习4.（202425高三上•广东清远•期末）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂

生产了690件，乙工厂生产了51。件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方

法从所生产的产品中随机抽取80件样品，已知该精密仪器按照质量可分为A&C,。四个等级.若从所抽取

的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的A等级产品的概率为卷，则抽取的三个等

级中甲工厂生产的产品共有件.

考点七利用频率估计概率

例13.（2024.25高三上•广东广州•阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%.我

们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1,3,5时，表示天下雨，

利用计算产生20组随机数：423,123,425,344,124,453,524,332,152,342,534,443,521,541,

125,432,324,151,314,245.则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）

例14.（202425高三上•广东揭阳•期末）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000

次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有瓦能有个.

练习I.（202425高三上•广东惠州•期中）某校在校园科技节期旬举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一

年级50（）名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并

将数据整理后，列表如下：

观看比赛场数01234567

观看人数所占百分比7%18%15%in%10%14%15%5%

从表中可以得出正确的结论为（）

A.估计观看比赛场数的极差为6B.估计观看比赛场数的众数为2

C.估计观看比赛不低于4场的学生约为200人D.估计观看比赛不超过2场的学生概率为0.4

练习2.（202425高三上•广东•期中）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表:

根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（）

第一组第二组第三组合计

投篮次数100200300600

命中的次数66126183375

命中的频率0.660.630.610.625

A.0.61B.0.63C.0.625D.0.66

练习3.（202526高三上•广东•阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球,

若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球

的频率稳定在0.4,则袋中约有黑球（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

练习4.（2025・广东广州•模拟预测）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将

10。颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可

以估计白色围棋子的数目为颗.

考点八事件的关系

解题策略

设事件4与8所含的结果组成的集合分别为AB.

①若事件件A与B互斥,则集合Ac8=0；②若事件件A与B对立,则集合Ac8=0且=

例15.（2024.25高三上•广东深井期末）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件4表示两次点数之和小于8,

事件8表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（）

A.｛（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝B.｛（1,5）,（2,4）,（4,2）,（5,1）｝

C.｛（1,5）,（2,4）,（3,3））D.｛（1,5）,（2,4））

例16.（202425高三上.广东佛山.阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，

则下列各对事件中是互斥事件的有（填序号）.

①伶有1名男生和全是男生；

②至少有一名男生和至少有一名女生；

③至少有名男生和全是男生；

④至少有一名男生和全是女生.

练习I.（2025・广东汕头•模拟预测）抛掷一枚质地均匀的骰子，记”向上的点数是4或5或6”为事件人“向

上的点数是1或2”为事件从”向上的点数是1或2或3或4”为事件C,“向上的点数大于3”为事件D,则

下列结论正确的是.（填序号）①A与4是互斥事件，但大是对立事件；②B=③人与C是互斥

事件；④A=O.

练习2.（2024.25高三上•广东肇庆•期中）对空中移动的目标连续射击两次，设A=｛两次都击中目标｝,A=｛

两次都没击中目标）,。=｛恰有一次击中目标｝,。=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是（）

A.A^DB.AL。=队D

C.AuC=DD.B‘D=0

练习3.（2024々5高三上•广东惠州•阶段练习）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观

察正品件数和次品件数.有以下四个说法：

①伶好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；

②至少有1件次品和全是次品是对立事件；

③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件；

④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件.

其中正确的有（写出所有正确说法的序号）.

练习4.（202425高三上•广东深圳•期中）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不

对立的两个事件是.

①“至少有一个黑球''与"都是黑球”；

②“至少有一个黑球'’与"至少有一个红球”

③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球

④“至少有一个黑球''与"都是红球”

考点九事件的相互独立

解题策略

，求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若i

干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果.

例17.（202425百三上•广东广州•阶段练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.7,

乙的中融概率为0.8,则甲乙中恰有一人中融的概率为（）

A.0.7B.0.8C.0.38D.0.56

例18.（202425高三上•广东深圳•期中）某中学的“信息”“足球X摄影"三个社团考核挑选新社员，己知高

一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息足球摄影''三个社团考核的

概率依次为:，加，〃，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为《，至少通过

一个社团考核的概率为9则6+〃=.

练习1.（202526高三上•广东东莞•阶段练习）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源

汽车参加这两项测试的结果相互独忆若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为：，在续航测

试中结果为优秀的概率为:，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（）

4

3门2厂19n1

A.-B.-C.—D.—

552020

练习2.（2024・25高三上•广东茂名•期中）甲、乙、闪射击命中目标的概率分别为:、!、!，现在三人同

243

时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为.

练习3.（202425高三上•广东湛江•阶段练习）某社区举办“环保我参与''有奖问答比赛活动.某场比赛中，

3

甲、乙、丙三个家庭同时I川答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭问答正确的概率是9，甲、乙两个家

4

919

庭都回答正确的概率是《，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是9.各家庭是否回答正确相互

3224

独立.

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率.

练习4.(202425高三下•广东茂名•期末)某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关

都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为乙前三关挑战

成功