四川省2025-2026学年高一年级上册12月月考数学试卷（含详解）

彭山区第一中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。二Z,集合4=忆3,5},8={3,4,5},则（Q/）c8=（）

A.{3}B.仲C.{U}D.0

2.已知函数/3=/那么/（/㈠））的值是（）

A.8B.7C.6D.5

3.若函数/仆）的定义域为（23）,则函数g（x）=/（x-3）+灯的定义域为（）

A.（-1，6）B.（-5,1）C.（1,5）D.（1,5]

4.已知xsR,则是的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知/（x）="+b,a>0,且QW1的图象如图所示，则〃4）等于（）

6.设4=1.科，A=1.7°2,c=1.802,贝Ij〃也C的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

7.已知函数/（x）=Uy+l为奇函数,则实数的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

2a-2.v-1,

--------,x<1

8.设/（力=x-2是R上的单调递增函数，则实数的取值范围是（）

（fl-1）,,X>1

二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设wR,a<b<0,则下列不等式一定成立的是()

A.a2<b2B.a3<b3C.—<-D.2a<2b

ab

io.己知定义在R上的函数/a),满足对任意的实数x,y,均有/(x+y)=/'(x)+/(y)T,且

当x>0时,/«<1,则()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)=2

C.函数/(x)为增函数D,函数V=/(x)的图象关于点(。」)对称

11.已知。〉0,Z»o,且而=3a+8+l,则下列结论正确的有()

A.a>\R.〃的最小值为8

14

C.必的最小值是2+6D.—的最小值为2

a-\b-5

三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.当。>0且。工1时，函数y=q[2+4的图象一定经过定点.

13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当xNO时，/(x)=W+2x+l+〃?，则

/H)=.

14.己知函数/(x)=3/rx+4JX><I[，若团<〃，且/("[)=/("),则加/(")的取值范围是.

四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题13分)

2

(1)求值:3-+0.0H-5-(V5-2)-1-

I8J

/+ay

(2)若Q+Q-=3,求：(D(ii)求

a2+/+1

16.(本题15分)

已知二次函数/(司=加+冰+c("0)满足：/(x+l)—/(x)=2x且/(O)=1.

(1)求函数/(x)在区间[-11]上的值域；

(2)若当xeH时，不等式/(x)>3x+攵恒成立，求实数人的取值范围.

(3)设g(x)=f(2x+M，求g(x)的最大值.

17.(本题15分)

已知事函数/'")=廿(为常数)的图象经过点又仅4).

⑴求/(x)的解析式；

(2)设g(x)=X€[l,+8)

X

(i)判断g(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；

(ii)若关于〃7的不等式g(加)恒成立，求实数Z的取值范围.

18.(本题17分)

为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调查发现，某水果树的单

株产量。(单位：千克)与施用发酵有机肥X(单位：千克)满足如下关系：

X2+3,0<X<2

U(x)=IOX.，单株发酵有机肥及其它成本总投入为30.X+100元.已知该水果的市场售

---,2<x<5

[\+x

价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为/G)(单位：元).

(1)求函数/(x)的解析式：

(2)当施用肥料为多少T克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

19.(本题17分)

对于定义域为/的函数，如果存在区间阿,〃］£/,同时满足下列两个条件：

①/（X）在区间［%〃］上是单调的；

②当定义域是时，/⑴的值域也是则称是函数y=/（x）的一个“黄金区间

（1）请证明：函数y=i-1（x>0）不存在“黄金区间

X

（2）已知函数y=--4x+6在上存在“黄金区间”，请求H它的“黄金区间”.

（3）如果是函数"上4^（心。）的一个“黄金区间”，请求出”一切的最大值.

a~x

题号12345678

答案BAI)ABCBC

题号91011

答案BDABDABD

1.B

【详解】因为力={23,5},所以。,4={工£小工2工。3,入。5},

所以(UZ)cB={4},故选：B.

2.A

【详解】/(一1)二一2X(—1)+1=3,则/(/(-1))=/(3)=23=8.故选：A.

3.D

【详解】由函数/(X)的定义域为(R3),得5—20，解得1<烂5,

所以函数g(x)=/(x-3)+J5-X的定义域为(1,5].故选：D.

4.A

【详解】由L1,解得X>1或x<0,所以“X>1"是‘<1”的充分不必要条件.

xx

5.B

【详解】由题中图象知，函数过仅恐，(2,0),则40)=1+二一2,所以6=-3.又/(2)=/—3=0,所

以a=VJ(负值舍去)，故/'(x)=(6)-3,

.・./(4)=(扬4_3=6.故选B

6.C

【详解】・・18〉1,函数/(x)=L»在R上单调递增,

/(D.3)>/(0.2),即1.8°3>1.8号故。》。；

0.2>0,函数g(x)=”2在(。，+0)上单调递增，

・•・g(L8)>g(L7),即1.8°2>1.702,故c〉b,

:.b<c<a.

故选：C.

7.B

【详解】/(x)的定义域是{xlxx。},

由于/(工)是奇函数，所以/(T)+/(X)=O,

“1一3

即告+"含+1----------卜------+--2=--------L+2=2-。=0,

1-3*3*-13,-1

2,3、1

解得〃=2,当〃=2时，/(%)=+1=------，

3v-iy-\

/(一)=泻=宁=-牛'=-/«，符合题意，

所以的值为2.故选：B

8.【答案】C

【详解】当X<1J(X)=2"21=2"2(.2)5__2+生1

x-2x-2x-2

因为D再,与€风》产々，都有"'J—/",〉。,所以/(x)在R上单调递增:

x\~x2

2a-5<025

所以卜-1>1

解得a>2,所以2<a(一；故选：C

二2

3-2a<a-\

3

9.BCD

【详解】由题知，a<b<0,

假设。=-2力=-1,Ma2>b2>0^A错；

又Y>/)>0.所以一/>_乂，则。3<63.B正确:

X--7=~-7-»b-a>0,ah>0,

abab

所以2.一;〉0,即，〉?，C错；

abab

因为j，=2,单调递增，所以7<于，D正确.

故选：BD

10.【答案】ABD

【详解】对A：令x=y=0,则有/(O)=/(O)+/(O)T,故〃0)=1,故A正确;

对B：令x=l,y=-l,则有/'(O)=/(l)+/(T)T,故/(1)+/,(-1)=2,故B正确:

对c：令4>0,则有/(x+y)-/(x)=/(y)T,其中x+y>x,/。，)一1<0,

令±=x+y,》2=*，即有对▼外、x2eR,当$>/时，/(再)-/(与)<。恒成立，

即函数/(%)为减函数，故C错误；

对D：令尸乜则有+/(T)-1,X/(0)=l,

故/'(X)+/(T)=2,故函数y=/(x)的图象关于点(OJ)对称,故D正确.

故选：ABD.

II.ABD

【详解】由。6=3。+8+1,得6=”>0,又心0,

所以。一1>0,即〃>1,故A正确，

由"="+6+1,得(。-1)仅-3)=4,由A,a>l,所以b>3,

所以。+分=。一1+力一3+422府丽二^J+4=8,当且仅当。=3,6=5时，等号成立，故B正确,

由时=3〃+8+122>/^+l,令。=/>0,

得--2而-120,解得及2+6

即ab2(2+VJ)2=7+4>/J,当且仅当b=3a=3+2>/J时，取等号，C错:

1,4e-3)+4("1)、2必-3)><4("1).

---H=—;----rr---r—N---------------=2,

a-1b-3---("l)(b-3)4

当且仅当。=21=7时，取等号，故D正确，

故选：ABD

12.(2,5)

【详解】令X—2=0,可得当x=2时，》=5,所以图象一定经过定点(2,5).

故答案为：(2,5).

13._3

【详解】由题意，当XN0时，/(xjuf+Zx+l+m,则/(o)=l+m=o,m=-\,

故当xNO时，/(x)=f+2x又函数/(x)是定义在R上的奇函数,所以/(-1)=一/(1)=-3.

14.昌7)

3r+4V<1

【详解】画出/(x)=3，_21"的图象，

当工<1时,/'(x)=3x+4单调递增，且/(x)<7,

当xNl时，/(x)=3'-2单调递增，且/(x"l,

令3x+4=l,解得x=—l,令3、-2=7,则x=2,

若由<“，且/1%)=/(〃)，则一3w+4=3"—2,

所以，”/(〃)=,”(2"-2)=m(3m+4)=3(,”+-y,-14〃7Vl.

当阳=-]时，，"/(〃)=31J+'J-g取得最小值，最小值为-

又〃7=-1时，nf[n]=-\,机=1时，力(〃)=7,

故用/(〃)=

故答案为：《7)

15.【详解】(1)原式=

+2

=f-l+100^-5•—后”厂------=1+10-5-^--=10-5>/5-10=-5>/5

\2)(V5-2)-(V5+2)995-49

(2)(i)因为。+。7=3,

\_

所以/-a5=Q+QT—2,=3-2x1=1

因此：«L3=±r

(ii)由4+〃7=3,得(a+4T)2=力+“-2+2=9,

故/+/2=7，

又『+a3=(a+a~l)-(a2-\+a2)=3x(7—1)=18,

故上一型=2.

a-2+a2+\7+14

16.(1)—3；(2)(—oo,—3).

【详解】(1),.•/(%)=cvC+/zr+c(<7^0),.\/(O)=c=l,此时，/(勾二加+6+1,

则/'(x+1)-/'(x)=［a(x++/?(.v+1)+1j—(a.v2+Zzx+1)=lax+a+b=2x,

22

.­.(：；O,解得［「I"⑺

a+b=0［匕=-1-I2)4

则函数y=/(D在上单调递减，在(；/上单调递增，

当x=g时，函数P=/(X)取得最小值/(》)*=/(£)=,,

又/(-1)=3,/(i)=i,贝1」/(@鹏=3.

因此，函数丁=/(x)在区间上的值域为京3；

(2)由/(.*)>3x+*得/一工+1>31+左，即x?—4x+l—〃>0,

由寇意可知，不等式/一以+1-£〉()对任意的xcR恒成立，

则A=16-4(l-止水+12<0,解得攵<-3.

因此，实数力的取值范围是(f-3).

(注意第三问的a字母改为m)

(3)式工)={21+公=4/+(44—2A+病一4+1,尤［-1,1］,对称轴为：x=-----.

d

①当1,2与0时,即：。当如图l,G(x)max=G(—1)=4—(4。-2)+q2—。+1=〃2-5〃+7;

47

②当匕三<0时，即：a>-；如图2.G(x)max=G(l)=4+(4a—2)+a2—4+i=”2+3〃+3.

AQ

综上所述：

B2

mi

a2-5a+7,a<—

GQ)max

a2+3a+3,a>|

17.【详解】(1)因为基函数/(x)=x"(为常数)的图象经过点M24),

则4=2"，所以a=2,故/(x)=/；

⑵g(x)=ZkH=x+l,

xx

(i)g(x)在区间口，+8)上单调递增,证明如下:

||%*_］

设％21，所以g(xj-g(x2)=$+一一^2—=(^-^2)——,

X］x2X\X1

因为*>±N1,所以XI-W>0,“2>1，所以8(的)-8(工2)=(当72)中2-1>(),

所以g(xj>g(xj,可得函数g(x)在区间［1，+8)上单调递增;

(ii)由(i)知，g(x)为增函数。

.•.由g(〃J+/)>g(〃?-1)得，m2+t>m-\>\恒成立

•，•/>-m2+ni-\,m>2恒成立

又y=-”/+〃?-1在区间［2,也)上为减函数，

：2

所以.•.当m22时，，之(-w+m-l)n8X=-2+2-1=-3怛成立，

所以的范围为-3,^o)

75X2-30X+125,D<X<2

18.(1)/(x)=<750;(2)当x=4时，单株利润最大，为380元.

7650---30x,2<x<5

1+x

【详解】(1)/(x)=75(7(x)-(30x+100),

'75/-30.r+125,0<x<275x2-30x+125,0<.r<2

即小)=［黄+3。1。。,2<2'化简小卜,。-皆-

(2)当0W2时，/(x)=75f-30X+125为对称轴x=L开口向上的抛物线，所以/(x)1mL/(2)=365,

5

当2<X«5时，/(x)=680-30(C+l+x)4680—60后=380,当且仅当

t26=l+x即x=4取等号，

综上所述，当x=4时，单株利润最大，为380元.

19.【详解】解：(1)证明：由y=