一元二次函数、方程与不等式（五类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题1.6一元二次不等式及其解法

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................3

【课程标准】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向预测】..................................................4

三、知识点•逐点夯实......................................4

知识点1、一元二次不等式..........................................4

知识点2、三个“二次”的对应关系..................................4

知识点3、简单分式不等式的解法....................................5

知识点4、不等式直成立问题........................................5

四、重点难点・分类突破....................................5

考点1不含参数一元二次不等式的解法..............................5

考点2含参数一元二次不等式的解法................................7

考点3其它不等式的解法...........................................9

考点4三个“二次”之间的关系....................................10

考点5一元二次不等式恒成立问题.................................13

五、分层训练.............................................16

A、基础保分........................................................16

B、综合提升........................................................18

一、5年高考♦真题感悟

1.（2025•全国n卷・高考真题）不等式二22的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<1}B.{A|x<-2]

C.{x|-2<x<1}D.{x\x>1）

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】分式不等式

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】忙卜2即为丹40即故.2?一,

x-lx-]工一1工0

故密集为

故选：C.

2.（2023•全国闭卷•高考真题）已知集合用={-2,-1,0,1,2},N={x,7—620},则M[N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为义=卜,2-4一620}=（-8,-2]33,+8）,而河={-2,-1,0,1,2},

所以MN={-2}.

故选：C.

、二：因为0,1,2},将代入不等式f一工―620，只有-2使不等式成立，所以

MN={-2}.

故选：C.

3.（2025•天津•高考真题）若。辰R,对Vxc[-2,2],均有（2。+6）/+加一。一|g0恒成立,贝]2a+b的最

小值为

【答案】-4

【难度】0.4

【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题

【分析】先设，=2a+b,根据不等式的形式，为了消。可以取x=-《，得到年Y，验证/=7时，”功是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设/=2。+〃,原题转化为求，的最小值，

原不等式可化为对任意的一2/f+(/—2z，)x-a—IK0,

不妨代入］=-；，得;f--2a)-a-140,得1之-4,

当1=T时，原不等式可化为-4?+(~4—2a)x-a-lW0,

即-2x+L+l］+-«2<0,

LUJJ4

观察可知，当a=0时，一(2/+1)2工0对一2WxW2一定成立，当且仅当x=-1取等号，

此时，a=0,b=-4,说明，=-4时，。力均可取到，满足题意，

故［=2a+b的最小值为-4.

故答案为：-4

4.(2025•上海•高考真题)不等式二二<0的解集为_______.

x-3

【答案】(1,3)

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】转化为一元二次不等式a-i)a-3)〈o,解出即可.

【详解】原不等式转化为(戈-1)匕-3)<0,解得l<x<3,

则其解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

(1)、经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元

二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

(2)、借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

(3)、了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度(简单、一般、狡难、很难)

2025年全国n卷，第4题,5分分式不等式一般

2023年全国I卷，第1题,5分一元二次不等式简单

2025年天津高考，第15题，6分恒成立问题很难

2025年上海高考，第2题，5分分式不等式简单

【2026考向预测】

从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件

的•部分出现在其他考点的题目中.

三、知识点•逐点夯实

知识点一、一元二次不等式

一般地，我们把只含有I个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一

元二次不等式的一般形式是或aF+b.t+cvO,其中b,c,均为常数，a#0.

知识点二、三个“二次”的对应关系

△>0△=o△VO

yy

I

\

y=ax2+Ztr+c

110/x/1/

Q>0)的图象Mi

JJ

oXoX

有两个相等

有两个不相等的实数根

ax2+〃z+e=0没有实

的实数根

力=/2

(a>0)的根数根

.Zj,125Vg)

=—-b-

2a

a/+〃.r+c>0{x|,

R

(a>0)的解集或彳>12}La

ajr+ZLT+CV0

{/17]ViV.r2}00

(a>0)的解集

知识三、简单分数不等式的解法

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不

为零.

2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为

零，然后再用上述方法求解.

知识点四、不等式恒成立问题

1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式加+云+cO,它的解集为

。>0,

R的条件为

/=〃一4。”()；

。>0,

2.一元二次不等式加+云+吟0,它的解集为R的条件为

J=/72—4t/c<()；

3.一元二次不等式加+A+O。的解集为空集的条件为«[<w0o».

四、重点难点・分类突破

考点1不含参数一元二次不等式的解法

例L(2025•福建泉州•模拟预测)已知集合A={x[G+l)(x-3”0},8={0,1,2,3,4,5},则AB=()

A.{0,12,3}B.{-1,0,1.2)C.{1,2,3}D.{0.1,2)

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解一元二次不等式求集合A,再应用集合的交运算求结果.

【详解】由题设A={X|-1KXK3},4={0,1,2,3,4.5},则A8={0,1,2,3}.

故选：A.

例2.(202s・湖南长沙•模拟预测)已知集合4={“2r_以+12<0},则集合A的真子集个数是()

A.3B.6C.7D.8

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求解一元二次不等式得出从={3,4,5},判断其真子集个数即可.

【详解】*x2-8x+12<0nJW2<x<6,故

A={xeN|x2-8x+12<0}={xeN|2<x<6}={3,4,5},

则集合A的真子集个数是T-2=7.

故选：C.

【变式训练1】.(2025•北京•模拟预测)已知集合4=k|一lvx<2},8={x|(x—l)(x—3)>。},则AB=

()

A.{x|-l<x<1}B.{x|l<A<2}C.|X|-1<X<2}D.{X|-1<X<3}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据一元二次不等式化简集合8,再根据交集的运算求解即可.

【详解】因为8={x|(x—1)(工一3)>()}={刈］<1或工>3},

又4=何一1<工<2},

所以力B={x|-l<x<l}.

故选:A.

【变式训练2】.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)已知集合A=8X+7N0},集合

Z?=|y|y2-l0y+16<0},则A()

A.{x|7<x<81B.1x|7<x<8}C.{x|2<x<7}D.{x|2<x<71

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得ACS.

【详解】集合A={x\x2-8x+7>0)={x\xKI或TN7},

集合3={小2-10y+16<0}={建<y<8},

所以Ac3={x|7Kxv8}.

故选：A.

考点2含参数一元二次不等式的解法

(1、

例3.(2025•黑龙江大庆•模拟预测)若关于x的不等式法—2>()的解集是一，-2,则。的取值范围是

I"J

()

C..刊D.卜(0)仇0，同

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.

【详解】因为关于x的不等式占+加_2>0的解集是

所以〃<()且，<-2,

a

解得一所以°的取值范围是(-今0；

故选：C.

例4.设关于x的不等式f一外+》<0的解集为则a+%=.

【答案】-1

【难度】0.94

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.

【详解】因为关于x的不等式f-奴+〃<（）的解集为（-1,2）,

所以一元二次方程d一④+〃=（）的两个根为-1,2,

[I2a

所以根据韦达定理可得解得〃=犷=-2,

-1x2=。

所以1+6=-1,

故答案为：T.

【变式训练3】.（2024•海南•模拟预测）不等式加+x+l>0的解集为（旭/），则机=.

【答案】一]/-0.5

【难度】0.85

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得用的值.

【详解】由已知，关于3的二次方程a?+x+l=0的两根分别为机、1,且a<0,

6/+2=0a=-2

所以，K1,解得《।.

1•〃？=-in=——

a2

故答案为：

【变式训练4】.（2024•江西•二模）已知关于x的不等式,小+心+6〃?>0的解集为何2c<3},则对

的解集为.

【答案】{小>-5}

【难度】0.85

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】由题意可得〃?<0且方程〃比2+小+6/〃>0的解为2,3,再根据韦达定理求得小〃的关系即可得解.

【详解】因为关于k的不等式加心+6〃?>0的解集为卜|2c<3},

所以〃z<。且方程tnx2+ar+>0的解为2,3,

则2+3=5=-二，

m

所以mXV",即

tn

所以不等式tnx<n的解集为{小>-5}.

故答案为：{^>-5}.

考点3其他不等式解法

例5.（2025•安徽•模拟预测）已知集合A=x-£-<0kB={-3,-Z0,1,2,3},则AH3=()

A.（-3,-2,0）B.U，2}C.{123}D.{0,1,2）

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、分式不等式

【分析】求出集合A结合交集的定义口「求人cA.

[详解]A=^.r^-<0l-={x|0<x<3},故AcB={0,1,2},

人口

故选：D.

例（。•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知集合八卜八|工工+2“°

6.225B={.v|y=lg(1_x)},则()

A.[-2.1]B.[-2J)C.{-2,-1,0}D.{0}

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、求对数函数的定义域、分式不笨式

【分析】解分式不等式、对数函数的性质求定义域得到集合，再由交运算求结果.

x+2(x+2)(x-2)<0

【详解】由<0=>^=一2Wx<2则4=。},

7^2x-2^0

根据对数函数的性质知3={x|x<l},则AB={0}.

故选：D

B=<x$21,则人B=

【变式训练5】.（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知集合人=卜£图-2WxW4}

x+1

()

A.{x|-l<x<4}B.{-1,0,1,2,3,4}C.{0,123,4}D.{-2,-1,0,1,2,3,4）

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、分式不等式

【分析】先解分式不等式得集合B,再由交集的概念及运算可得结果.

【详解】A={xeZ|-2<x<4}={-2,-1,0,1,2,X4}.

由磊21,可得一l<x«5,所以8=卜卜1<%«5}.

所以Ac8={0,l,2,3,4}.

故选：C.

3

【变式训练6】.（2025•浙江•模拟预测）已知集合4={3—14/44},=卜则AcB=（）

A.[3,4]B.[-l,0）o[3,4]C.（田,0）53,+8）D.[-1,0）

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、分式不等式

【分析】首先求出集合B中的不等式的解集，然后求集合的交集.

3

【详解】因为集合8=x|二41,所以

x

当工>0时，x>3；当x<0时，不等式恒成立，

所以8={x|x23或xvO}.

所以ACB=[T0）53,4].

故选:B.

考点4三个二次之间的“关系”

例7.（24-25高三下•江苏南通•阶段练习）已知二次不等式x2-历+沙-3<0的解集为（与，8），~+~<2^

%x2

则〃的取值范围是.

3

【答案】b<-

【难度】0.65

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及具根

与系数的关系

【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得：;即可求解.

2b-3

【详解】因为二次不等式f一版+26-3<0的解集为（内,占），

x1+x2=b

则工2一。4+2/;-3=0的两根为3，七，则T/2=2〃-3

A=/J2-4（2/?-3）＞0

所以JRX2内再28-3,解得b<5，

[〃>6或bv2

故答案为：力<1.

例8.（23-24高三上•陕西咸阳•阶段练习）已知命题〃：“关于工的方程犬-4》+。=0有实根".若f为真命题

的充分不必要条件为。>5〃7-6,则实数〃?的取值范围是（）

A.[2,-KO）B.（f2）

C.（2,+oo）D.（-<»,2]

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据充分不必要条件求参数、己知命题的真假求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关

系

【分析】由题设知P为假命题，结合一元二次方程的判别式求参数范围，再根据充分不必要关系求小范围.

【详解】若f为真命题，则P为假命题，

此时关于“口i勺方程x2一4x+〃=0没仃实根,满足△=16-4。<0,解得a>4.

因为。>5"?-6是a>4的充分不必要条件，则5〃?-6>4,可得切>2.

故选：C

【变式训练7】.（2023高三・全国•专题练习）函数=的大致图像如图所示，4，/是

函数）=/（刈的两个极值点，则/；+.片等于（）

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据极值点求参数、函数图象的应用、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】先根据图象求出函数“X）的解析式，再求得/'（X），将已知条件毛，%是函数丁=/（力的两个极

值点技化为/，,%足/'（"）=。的两个根，再根据韦达定理求解即可.

【详解】因为函数/（力的图像过原点，所以"=0.

〃T)=0-I+/?-c=0

即《解得

〃2)=0，8+4"勿=0

所以/(x)=f—f—2一则/'(刈二3/一2”一2,

乂X、,/是困数y=/（x）的两个极值点，

所以/，“2是/'（%）=0的两个根,

22

所以％+工2=鼻，％工2=一工，

24416

所以X；+X；=(%+X2)一2%0=—+—

93~9

故选：C.

【变式训练8】.（2024高三•全国•专题练习）（多选）已知函数/（xMf+ax+gcO）的图象与*轴有且

只有一个交点，则（）

A.a2-b2<4

B.a2+->4

b

C.若不等式/+公-/?<0的解集为（不与），则西工2>°

D.若不等式/+如+〃"的解集为区,£），且|%一司=4,则c=4

【答案】ABD

【难度】0.65

【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数

【分析】利用二次函数根的个数可得力=4〃>0，由不等式性质以及基本不等式可判断AB正确，再由根据

与系数关系可得C错误，计算可得D正确.

【详解】因为f（x）=x2+ax+次〃>0）有且只有一个零点，

故可得△=/-4〃=0，即片=46>0.

对于A："一从工4等价于从-4%+420,显然S-2）220,故A正确；

对于B：a2+L=4b/N2」4b』=4,当且仅当43=9,即力=!时，等号成立，故B正确；

bb\bb2

对FC：因为不等式/+奴-。<0的解集为（士，々），故可得中2=-〃<°，故C错误；

对于D：因为不等式％2+以+/,<0的解集为区心），且|4-%|=4,

2

则方程x+ax+b-c=0的两根为X[,x2

故可得-9|=J（X+々）2-4%'=-4（6-c）==14c=4,故可得c=4,故D正确.

故选：ABD

考点5一元二次不等式恒成立问题

例9.（2025・山东•二模）已知不等式3/+（〃-2卜+420对任意的xw（0,+oo）恒成立，则实数•的最小值

为.

【答案】2-4>/3

【难度】0.85

【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为不等式3x2+（6r-2）x+4>0对任意的xe（0,y）恒成立，

所以〃一2之一3工一±对任意的xe（0,位）恒成立，

X

又当xe（0,*o）时，-3彳_；=_,x+：卜_2朴；=-46,当且仅当次=^，即x=平时，等号成立，

所以4-2之-46,nPa>2-4x/3，所以实数a的最小值为2-4、/J.

故答案为：2-46.

例10.（2025・湖北黄冈•模拟预测）若“VxeR,/-必+2>0〃是真命题，则实数机的取值范围为（）

A.卜2〃,2⑹B.[-2及,2匈C.（-2,2）D.[-2,2]

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】由判别式△<（）即可求解.

【详解】由题意可得：A=/K2-8<0,

解得:-2V2<m<2V2»

所以实数”的取值范围为（-2&,2垃），

故选：A

【变式训练9】.（2025•甘肃兰州•模拟预测）若不等式尔2+2〃“-4V2/+4x对任意xwR都成立，则实

数加的取值范围是—.

【答案】（-2,2]

【难度】0.85

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】先将原不等式变形，然后分〃?=2和〃件2两种情况进行讨论，当机=2时直接判断不等式是否恒成

立，当加工2时・，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出机的取值范围.

【详解】原不等式等价于（〃-2）/+2（〃7-2）工一4<0,

当机=2时，对xeR,不等式恒戌立；

一2<0

当加工2时，则有A,八23小八，解得：

[A=4（/«-2）+16（/n-2）<0

综上所述，实数，〃的取值范围是（-2,2].

故答案为：（-22].

【变式训练10】.（2024•四川攀枝花•一模）命题“玉wRx2+（〃+l）x+l<0〃为假命题，则实数。的取值范

围为()

A.(-OO,-3]O[1,-KO)B.(^O,-3)U(1,-KO)

C.(-3,11D.(-3,1)

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称(存在性)命

题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断

【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，命题〃玉•wR.x2+(a+I)x+l<0"的否定，

即命题“也€&/+卜7+1)工+整0〃真命题，

根据二次函数的性质可得，应有A=(a+l)2-4="+%一3K(),

解得一3Kc"l.

故选：C.

五、分层训练

A基础保分

1.12024•河北保定•二模）设集合4={削一3«/43},8=伊2/+3-8»-4。《0},且AcB={4一2K工43},

则。一（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】根据交集结果求集合或参数、由一元二次不等式的能确定参数

【分析】首先根据不等式的解集与对应方程的关系，求。，再进行验证，即可求解.

【详解】因为AC8={M-2«X«3},所以一2是方程常+（〃-8八一面二（）,

即8-2（。-8）-4。=0,得。=4,

当〃=4时，2X2-4X-16<0.解得：-2«xW4,此时3={x|-2Kx44},

满足ACA={R-2KXK3},所以a=4.

故选：C

2.（2025•陕西渭南•三模）已知集合4={兄-1<“<0},8={工±<0},则A[8=（）

A.{x\x<0}B.{.dx<\}

C.{.d-1<x<0}D.{JTI-1<x<1}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算、分式不等式

【分析】首先求出集合A8的不等式，然后求这两个集合的并集.

【详解】集合9的不等式为：一二<（），可求解为x<l.

x-1

所以集合8={幻％<1}.

从而集合A3的并集为：A<JB={X\X<\}.

故选:B.

3.(2025高三•四川•专题练习)已知集合加二{0,1,2},N=，xeZ=<0(，则MuN=()

x+2

A.{0,1}B.{-1,0,1.2)C.(-2,2)D.(―^,—2)[0,+<x>)

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】并集的概念及运算、分式不等式

【分析】先确定集合N,再由并集定义求解.

【详解】因为N={xeZ—^vO={xeZ|-2Vx<2}={-1,0/},

*•II/>

所以"N={-/,0,/,2).

故选：B

4.(24-25高三下•福建龙岩•阶段练习)已知集合知={-2T0J2},"=卜,2T_2的，则Mc(QN)=

()

A.{-2,-1}B.(-2)C.{-1,0}D.{0}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先化简集合N,再求跖",最后求交集即可.

【详解】/V={X|X2-X-2<0}={J|-1<X<2},

则4N={xk〈—l或x>2},则Mc&N)={-2}.

故选：B

5.(2024•广东深圳•模拟预测)(多选题)下列说法正确的是()

A.不等式4/-5x+l>0的解集是或^〈11

B.不等式2/7-6«0的解集是卜”-|或rN2,

C.若不等式ad+8仆+21Vo恒成立，则a的取值范围是0

D.若关于x的不等式2/+外_3<0的解集是(g,l),则的值为

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上

恒戌立问题

【分析】对于AB,直接解一元二次不等式即可判断：对于C,对。分类讨论即可判断；对于D,由一元二次

不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得〃目，然后即可判断.

【详解】