突破爪型三角形的八大“妙手”-2026高三数学专项复习（含答案）

突破爪型三角形的八大“妙手”-2026高

,三数学含答案

突破a型三角形的，•大〃呼手”

爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多此处不再逐一

列举，教材必修二53页到54页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于爪型三角形处理的一些重要

手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合正余弦定理推出处理爪型三角形的一些重

要结论:斯特瓦尔特定理，角平分线定理等.

一.基本原理

1.爪型三角形的几何特征

基本几何特征:如图，ZAPB4-ZAPC=7t.

1.(2022全国甲卷)己知AABC中，点。在边上，乙406=120°,AD=2,CD=2BD.当笑取得最

AD

小值时，60=.

【变式练习】

2.记△4BC是内角46,。的对边分别为Q,b,c.已知〃=QC,点。在边47上，BDsinN4BC=asin。.

(1)证明：3D=b；

(2)若40=2。。，求cos/4?C.

2.中线公式与向量方法

若巳知项角R4C的大小，且丽=4或时，可利用向意共线的成本年论求得.

3.(广州市2023届高三一模)在A43C中，内角4区。的对边分别为a,b,c,c=26,2sin4=3sin2C.

(1)求sinC；

(2)若△力6C的面积为平，求AB边上的中线CD的长.

【变式练习】

4.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)记△ABC的内角4,瓦。的对边分别为

a,b,c,已知2bcosC=2a+c.

⑴求应

(2)设b=9,若点M是边4。上一点，2而=荻，且区B4,求△狈。的面积.

...........»

3.AP为角平分线:角平分线定理

s=1•AB*AMu^n3

“困，可设44"=，。4"=%这样可得13?(1).另一方面，设AABC的

•AC-AM-OnO

1

2•BM-h

1(2),联立上面两式可得：碧=粤，即角平分微性质定理・

高为乐则-

2・CM・hAUML/

5.AADC中，D是3。上的点，AD平分NB4C,AAS。面积是A40C面积的2倍.

⑴求普;

(2)若4。=1,。。=乎求石。和4C的长.

4.斯特瓦尔特定理

玛扑瓦尔处定理:设P为44BQ的h。边上界于的任一点，则有

-PC+AC®-HP=AP®・H7+EP-PC-C0.

证明：由余费定理,可得：

4。=的+PC®-2Ap・PO・COB乙4Po①

4B8=介+PB8—2AP-EB-886—ZAPC）②，将上迷两式分别束BP,CP后相加於理,可得.

注：可以看利，斯势瓦尔处定理的证明关健是利用本型三角附中两角五科，即：这个电金条件，而这个条

件是处理爪型三角彩的一个直要技巧.

推论1.当设P为AABC的反7边中点时，AP8=5（AB8+A。）一《反汽

24

注:柒终论还可由*=!■+而）证样.

推论2.当设P为NBA。的角平分假时，AP^^AB-AC-BP-PC.

推论3.当设P满足赤=2.时，5=；1。-1）反A+CL-aM^+AAC8.

6.记△ABC是内角43,C的对边分别为Q,b,c.已知〃=QC,点。在边AC上，区为in乙43C=QsinC.

（1）证明：AD=b；

⑵若49=2OC,求cos/ABC.

5.张角定理

在AAB0r中，。是反7上的一点，连华AD,那么sinZBAD,--s-i-n--Z--C--A--D+---s-i-n--Z--B--A--C----------------

ACABAD

证明：因为S2=S3+S”,由三角断面积公式可得

^AB-AC-OnZBAC=^AB-AD-On£BAD^^AD-AC-anZDAC

44/

两边同除AE・AC・AD,得到+^n^AD=

7.（2018年江苏卷）在△力Z?C中，角40,C的对边分别为Q,b,c，N力3C=120",

4ABe的平分线交AC于点。，且6。=1,则4。+c的最小值为.

6.等面积思想.

设4A4为/月的平分线，则设£BAM=ZCAM=。，那么有等面积可得：

S&ABC=卷be•sin28=[­（，）+c）•AM•sinOr

进一步可得：2bc・cosJ=（b+c）・AM,于是可以看到，倘若我们知道南6与角平分线AM的长度，则可

得到be“b+c的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

8.（2022成都一诊）在丛ABC中，已知角4=今二角A的平分线AD与边8。相交于点D,AD=2.则AB

O

+2AC的最小值为.

q..................

【变式练习】

9.(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试)在中，4区C的对边分别为Q,AC,QCOS6-

2acosC=(2c—6)cosA.

(1)若C=，5Q,求cosB的值；

(2)若b=l,NA4。的平分线AD交BC于点。，求力。长度的取值范围.

10.在\ABC中，〃=QC,点。在边ACL,BDsinAABC=asinC.

(1)证明：明。=b；

⑵若AD=2DC,求cos/ABC

.........................................................................a

7.三角形相似

*图，在三角册ABC中，已知角4的大小，。为反7边上一点,那么我们可利用相中的和似三角册来求

解一些这，片条件下的爪型三角彩问题，简直妙！

*下图，过点B做AC的平行战交4D延长线于E,则ABDEUACQA,且由平行的性M可知：NCAD=

ZBED,于是,巳知角4的大小即可得乙4BE的大小，病若我们进一步指导AD的长度，以及点。为反7

边上的具体位量,那么在AABE中可以解决很多问题,下面通过例题来分析.

E

11.在^ABC中，已知角A=与，角A的平分线AD与边BC相交于。，AD=2,则AB+24?的最小值为

O

8.坐标法

12.记△A8C是内角4B,。的对边分别为Q,b,c.已知〃=点。在边力。上，RDsin乙48C=asinC.

(1)证明：明。=机

⑵若4D=2DC,求cosZABC.

过关检测

13.已知在△48。中，BC=2,。为工。的中点，且见边上高的最大值为()

AfB-fc-2D-1

14.在△43C中，。=£,C4边上的高等于乎C4,则sin6=()

U乙

A.乎B.aC.噂D.\

ZZDJ

15.在锐角△力BC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c.若B=60°,b=2,则边力。上中线2。的取值范围

为()

A.[冬，司B.(亨，阅C.(1,V3)D.(1,V3]

16.在△4B。中，NACB=120°,BC=2AC,D为△48。内一点，为。J_CD,4BDC=120°,则tan/ACD

=()

A.2V2B.C.V6D.空

17.如图，。为△ABC的边AC上一点，|4D|=2|OC|,ZABC=60°,\AB\+2|BC|=4,则|BD|的最小值为

18.在锐角△48。中，内角A旦。所对的边分别为a,b,c,若〃=〃+儿,则生+二工的最小值为

ocos'B---------

19.已知P是AABC内一点，AABP=45：NP6C=APCB=乙ACP=30°,则tan/8Ap=

20.在锐角△ABC中，内角工，B,C的对边分别为a,b,c,且a?+乩=山+(?,若。是，BAC的角平分线与

8。的交点，则集的取值范围是

21.(吉林省长春市五校2023-2024学年高三上学期联合模拟考试)在△48。中,角AB。的对边分别为

a也c,己知a=l,cosC+ccosA-26cosB=0.

⑴求巴

⑵若前=2诟,且80=心，求c.

.............G

22.（2024年广州市普通高中毕业班综合测试（一））（13分）记笫的内角的对边分别为a,b,c,

△4BC的面积为S.已知S=—卓（。2+。2—〃）.

⑴求3;

⑵若点。在边47上，且乙48。=与,40=2。。=2,求△A6C的周长.

23.（2024届福建省高三下学期数学适应性练习卷）在4ABC中，。为BC的中点,且乙DAC+Z.BAC=心

卜求翳

（2）若BC=2方AC,求cosC.

24.在△力中，角46,。的对边分别为。，b,c,且acosZ?+(b+2c)cosH=0.

⑴求4

(2)若点D在边BCk,BD=2DC,4。=2,c=2b,求AABC的面积.

............即

突破爪型三甯杉妁，•丈“陟,”

爪型三角好是解三角好中非常宣美的一料构型，人栽版载材中也多次出现相关例题，很多此处不再逐一

列举，装材必修二53页到54页中这样的例子比比彳是.本节或将给出关于本型三角彩处理的一些重臬

手段，例如找朴角，或者等面枳思想，以及利用上述思想结合正余裁定理推出处理本型三角好的一些重

要给论:斯将瓦尔检定理，角平分线定理等.

一.基本原理

1.爪型三角形的几何特征

基本几何处征:如图，£APB^ZAPC=K.

1.（2022全国甲卷）己知AABC中，点。在边上，乙406=120°,AD=2,CD=2BD.当笑取得最

AD

小值时，60=.

解析：设=CO=2%,在三角形4co中，〃=4炉+4-2・2%・2・以圮60°,可得：62=4x2-4x4-4,

在三角形力石。中，〃=22+4-2・少2・85120°,可得：。2=*+2£+4,

要使得务最小，即占最小，匕=4〃-4…=4---------，其中定+1+-4T>273，此时

ABc2c2公+2①+4c+i+^_x+l

x+1

Ar>4—2A/3，当且仅当％+1=V3时，即I=V3—1时取等号，故答案为：V3—1.

【变式练习】

2.记△A8C是内角A,B,。的对边分别为Q,匕，c.已知〃=QC,点。在边力。上，BDsin^ABC=asmC.

（1）证明：2?。=岳

（2）若力。=2。。，求cos/ABC.

bsinC_c

解析：（1）由题设，=.呼，由正弦定理知:g=

s\nZ.ABCsin。sinZ.ABC'sinAABCb'

..0。=罕又〃=QC,8。=匕，得证.

b

（2）由题意知：60=44。=?,。。=?,

JJ

〃+逆一。213/—。2"十号一。陪一。2

.•.COSZ/1DB=------^7-=―,同理cos/CDB=

2b.李冬2b•4251

3

136/口21。，2

•：^ADB=n-NCD3,・•.上:一二——裳一,整理得24+02=萼，又〃=QC,

4-2tr3

VT

・•・2Q2+鸟=芈，整理得6"-lla262+3"=0,解得W4•或WW,由余弦定理知：cos^ABC

a~3b~Jb~2

=此沪二a=g—告，当时，cos/4BC=1>l不合题意；当备=等时，8s乙4BC=

zacJ2。-trJo

；综上，cosN/lSCu--.

2.中线公式与向量方法

若巳知项角R4C的大小，且说=4磅时，可利用向：t共线的成本结论求得.

3.（广州市2023届高三一模）在△A3C中，内角ABC的对边分别为a,bcc=2b,2sin力=3sin2c.

（1）求sinC；

⑵若的面积为呼，求A6边上的中线CD的长.

乙

解析：(1)因为2sinA—3sin2。，所以2sinA=6sinCccsC,所以9.a.=6cccsO,即a.—3ccc\。,

出+62-4/=Q2-3〃

所以cosC=9,由余弦定理及c=2b得：cosC=02甘,/

3cZab2ab2ab

又3°=看=氤所以笥萨=帚=2，=耽即0=竽6,

cosC=M=^^=卒，所以sinC="l-cos2c=-(空)2=平.

666b4V,4，4

⑵由SdABc=[■Q/)sinC=春xabx'：4=3^^,所以ab-6%/2，由(1)。=,

/NT//

所以b=2,Q=3，5,因为CD为AB边上的中线,所以无+无).所以|无『=

(|C4|2+\CB^+2CA-CB)=jx(62+a2+2abcosC)=jX(4+18+2x2x3V2x^-)

=7,所以|比|=/,所以43边上的中线CD的长为：

【变式练习】

4.（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）记△ABO的内角46,C的对边分别为：

a,b,c,已知2bcosC=2aIc.

.............G

⑴求5

(2)设b=9,若点M是边4c上一点，2宿=觉，且乙忆43=,求△3MC的面积.

【详解】(1)9=等.

O

(2)如图所示：

因为2疝=荻，所以4Vf=3,MC=6.又乙“力6=/44氐4,所以曰W=4M=3.

在丛ABC中，由余弦定理得〃=Q?+c2-2accosB,即d14-c-+ac=81.①

又2彳必=觉，所以血=?筋+；反?,两边平方得血■函、J宓2+J屈反，

JJVJJ

即9=卷〃+春。2+春℃856,所以标+4c2—2ac=81.②，②—①得3c2=3ac，所以Q=c,代入①得

a=c=33,在ABMC中，BAf2+BC2=32+(3V3)2=36=MC\

所以△BMC是以NAffi。为直甬的三角形，所以△6MC的面积为-yx3x3V3=.

3./卬为角平分线:角平分线定理

*图，可设NBAM=Na4M=凡这样可得《?A.......(1).另一方面，设AABC的

§LACU=J・AC・AM・sin)

高为儿则4彳：…….⑵，联立上面两式可得:碧=暮，即角平分观性及定理.

I^AJ4O/=a*CM*hAUMU

5.^ABC中，。是BC上的点，AD平分4BAC,XABD面积是AAOC面积的2倍.

⑴求器;

(2)若AD=1,JDC=浮求ED和47的长.

解析：(l)S.m=春力B・4OsinNB4O,3^=^AC-ADsin^CAD

因为SAABD=SMDC,ZBAD=NC4O,所以AB=2AC,由正弦定理可得

sin/B_AC_1

sinZC---2,

(2)因为S&ABD：SMDC=BD：DC,所以BD=&，在AABD和△4DC中，由余弦定理知力哥=ADi

BD1-2AD•BDcos^ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD♦DCcos^ADC

故AB2+2AC2='3AI>+BD2+2DC2=6,由(1)知A8=2A。，所以力。=1.

4.斯特瓦尔特定理

斯处R尔势定理:设P为AABC的反7边上界于耳(7的任一点，则有

ABl-PC+AC1-BP=APll-BC^BP-PC-CB.

证明：由余费定理,可得：

4?=AP»+PO9-Z4P-R7・COB乙4PC①

AB8=AP8+RB8-2Ap-PB-cos■一乙4PC)②，将上遂两式分别兼EP,CP后加加筌理,可得.

注:可以看到，斯竹瓦尔挣定理的证明关健是利用爪型三角形中两角互扑，即：这个除含条件，而这个条

件是处理爪型三角形的一个直美技巧.

推论1.当设P为A4BC的反7边中点时，AP®=《(AB®+)一《反汽

24

注:该结论还可由*=[■+而)证得.

推论2.当设P为&4。的角平分微时，AP^^AB-AC-BP-PC.

推论3.当设P湍足赤=4就时，叱=收—1)2+(17)的+九4。.

6.记△ABC是内角4,。的对边分别为a,b,c.己知〃=QC,点。在边47上，BDsin乙4BC=asinC.

(1)证明：6O=b；

⑵若49=2。。，求cosN/BC.

解析：(2)由斯特瓦特定理，得瓦下=DA2•咯+8C2•锂一月C2•锲•咯.

ACACACAC

由BD=6及力。=2DC,得一=&+一.化简变杉,得1162=6a2+3c2.

j•jy

因为〃=QC,所以6a2—Hoc+3c2=0.即(3a—c)(2a-3c)=0.解得c=3a或c=4~a.

o

当c=3Q时，〃=3a2.由余弦定理，得cos^ABC=一#—?=!(不合题意，舍去).

ZacO

当C=9时，b2=4«2.由余弦定理，得cosZAZ?C=/

所以cos乙4GC=工.

5.张角定理

在AAB0r中，。是反7上的一点，连华AD,那么sinZBAD,--s-i-n--Z--C--A--D+---s-i-n--Z--B--A--C----------------

ACABAD

证明：因为S2=S3+S”,由三角断面积公式可得

^AB-AC-OnZBAC=^AB-AD-On£BAD^^AD-AC-anZDAC

44/

两边同除AE・AC・AD,得到+^n^AD=

7.(2018年江苏卷)在△力Z?C中，角40,C的对边分别为Q,b,c，N力3C=120",

NABC的平分线交AC于点。，且6。=1,则4。+c的最小值为.

。即

解:由张角定理有近11勺然。sin/CB,sin/ABOsin120sin60+sin60

L>DAB~BC-，-rca

整理得工+2=1.所以4Q+。=(4a+c)(—+—)=54--+>9.当且仅当c=2a,即a=-^-,c=

cavca7ac2

3时取得最小值9.

6.等面积思想.

设AA4为/月的平分线，则设£BAM=NCAM=。，那么有等面积可得：

S&ABC=:儿•sin20=-^-(6+c)•AM-sin®,

乙乙

进一步可得：2bc・cosJ=(b+c)-4l4,于是可以看到，倘若我们知道角夕与角平分线力M的长度，则可

得到bc—b+c的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

8.(2022成都一诊)在4ABe中，已知角A=冬，角月的平分线AD与边6。相交于点D,AD=2.则AB

+2力。的最小值为.

解析：48=仁47="3。=。,40=2,依题意力。是角4的角平分线，

由三角形的面积公式得-i-X2xcxsin与+JX2x6xsin与=Jxdexsin等~,

化简得2c+2b=be,-y-+——~,AB+240=c+2b=2(c+26)(-y-+—)=2(3+~+~~)

bc2'bc，'bc，

22(3+2/务至)=6+4，.当且仅当=—,c=V26,2-726+26=6-726,6=2-V2,c=2V2

VV6c/bc

+2时等号成立.故答案为：6+4/5

【变式练习】

9.(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试)在△A3。中，ABC的对边分别为Q,b,c,acos6—

2acosC=(2c—6)cosA.

(1)若C=A/JQ,求COSJB的值；

(2)若b=1,NA4C的平分线/D交8。于点D,求/D长度的取值范围.

a…一.…一.….….....

解析：⑴已知QCOSB-2QCOSC=(2c—b)cos4由正弦定理可得sinAcosB—2sinAcosC=

(2sinC-sinB)cos>4,/.sinAcosB+cosAsinB=2s\nAcosC+2cosXsinG,

sin(A+B)=2sin(A+C),/,sinC,=2sinB,/.c=26,c=V3a,即b=噂。,

,p_Q2+3Q2―^Q2

:.cosB=-------------=------------=------=———.

2QC2a-\/3a24

⑵由(1)知c=2b,由b=1,则c=2.设/.BAD=B,S^ARC:=-2•sin2。=。•2•AD•sin。+-1•

NN/

AD-sinO,：.AD=-^cosO,06(04),

•J/

.・.AL>e(o,y).

10.在bABC中，〃=QC,点。在边ACt.,BDsin^ABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

⑵若AD=2DC,求cos^ABC.

解析：(1)设AABC的外接圆半径为凡由正弦定理，得sinZ.4BC=上,sinC=品,

2rt2H

因为BDsinZ.ABC=asin。,所以BID-=a•7777，即BD-b=ac.又因为〃=QC,所以BD=b.

2K2H

方法2.(等面积思想)(2)如图，已知AD=2DCt则S.ABD=4S”，

即Vx462sirlZX£>B=TXgacXsinZABC,

ZOJ/

A

而b2=ac,即sin^ADB=sin/工石。，故有NADB=4ABC,从而NABD=ZC.由/=加，即=

a

［，即绦=祟，即AACB〜△430,故峪=嚼，又匕2=ac,所以c=高Q,则cosZXBC=

bCBBDABAC3

C2+Q2一必=7

2ac--ll2'

7.三角形相似

加图，在三角形ABC中，巳如角A的大小，。为BC边上一点.那么0们可利用初中的相似三角彩来求•

.........................................G

解一些这种条件下的爪型三角好问题,U直妙！

*下图，过点E做AC的平行栽交AD延长战于E,则ABDELAaM,且由平行的性质可知：NCAD=

ZBED,于是,巳知角4的大小即可得乙4BE的大小，倘若我们进一步指导4D的长度，以及点。为反7

边上的具体位量,那么在AABE?中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.

E

11.在^ABC中，已知角A=§，角A的平分线AD与边6。相交于。，4。=2,则A6+24。的最小值为

O

2兀

解析：如上图，由于ZCAD=NBED,故由力=可得Z.ABE=等，再加之40为角A的平分线，则

TO

兀

NABE=NBEA=4BAE=0于是A/1ZE为等边，则BE=c,DE=c-2,最后由于ABDEMCDA,可

BE_EDfc_c-2

be.

'~AC~~AD厂―F=>2(6+c)=

由于46+2AC=c+2b=2•(c+2b)=2(y+y)•(2b+c)>6+4V2等号成立当且仅当c=

y/2b.

注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能

否用几何方法思考，此处不再赞述.

8,坐标法

12.记△43。是内角4B,。的对边分别为Q,b,c.已知〃=Q£,点。在边力。上，R9sinN43C=Qsin。.

⑴证明：30=6；

⑵若4D=2DC,求cosZABC.

解析：以。为坐标原点，4c所在直线为2轴，过点。垂直于4c的直线为夕轴，

0c长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D(0,0)M(-2,0),C(l,0).由(1)知，笈。=。=力。=

3,所以点口在以。为圆心，3为半径的圆上运动.设6(c,g)(-3VcV3),则炉+炉=9.⑤由b2=ac

知，|A4|・|BC|=|43f,

即V(T+2)2+T/2•y/(x-l)2+y2=9.⑥，联立⑤⑥解得x=--y或£=1>3(舍去)，靖=能，

421b

代入⑥式得a=\BC\=*■,c=|A4|=n,b=3,由余弦定理得cos^ABC=出+匕，=J_.

//Q.CJL/

过关检测

13.已知在。中，6C=2,D为月。的中点，且4C=6O,贝!边0c上高的最大值为（）

AfBJC2D.1

【详解】由题意。为47的中点，设CD=L£>0,则AC=I3D=2t,

则在丛BCD中，cosZBDC=="+"厂,则丛BCD的面积S=4•£•2tsin^BDC

2cD・HD4£~2

:FJI-COMBDC="1一（*+：『可=正导再

=n直声当八竽时取等号，

所以△Z?CD的面积最大值为弓，△48。的面积最大值为白，SC上高的最大值为至产=9.

故选：。.

14.在△力中，。=吃,。4边上的高等于与C4则sinZ?=（）

【详解】如图，C4边上的高为BD,BD=卒。4,且。=《，所以CB=遮。4,则CD=友＞cos5=

266

目C4则AD=\CA,AB=《BEP+AD，=AC,所以ZXBC=NC=£,则sinZ?=si吟=..

//UUN

...........»

15.在锐角中，角4,B,C的对边分别为0,b,c.若0=60°,b=2,则边47上中线的取值范围

为（）

C.(1.V3)D.(1,V3]

A［噜⑹

【详解】因为是△A3C边4c上的中线，所以Z?O=卷（SA+GC）,

则|加『=：（|而『+|尻『+2胡.比）=J（c2+a2+2cQcos缶）=：（a2+c2+Qc）,

4TJT

b2挈，可得。=孽sinA,c=竽sinC,

由正弦定理得a

sin力sinCsinBsin60°

所以|B5|2=J-(^-sinM+^-sin2C+^-sinXsinC)=?(sin2A+sin2C+sinAsinC),

4JJJo

i*3瓜2

而sin2C=sin2(A+cos>l+—sinA=—cos2A+-sinAcosA+4-sinA,

2>424

sinAsinC=sinXsin(X+B)=sinsinylcosA+-ysinM,

~2

所以|笈。『二■卜in2A+-1"cosMi+^^sinAcos>l+[sin2A+^^sinAcos4+-^-sin2A)

:(sin2AIV3sin/lcosAI：)=j(1cos2/l)I2^^sin2AI1=；sin(2A7U

6

0<C=^-A<f_7r

因为△ABC为锐角三角形，B=4■，则,32即2LVAV匹

l0<X<f16"2，

o

N

所以专〈28一点V浮所以］Vsin（24—■IJWI,所以当人=,时，闻*取得最大值畀吟+

口=3,|即2的最小值大于等怎吟+得=］，所以|访|的最大值为百,最小值大于=＜算，即

JJI）JJJ

60的取值范围为

故选：B.

16.在4ABe中，^ACB=120°,BC=2AC,D为△ABC内一点，4。_LCD,4BDC=120°,MtanZXCO

=()

A.2V2B.C.V6D.乌

【详解】在及△4X7中，设/46。=。（0＜。＜煮）,令4。=42＞0）,

c

贝］CB=2x,8=跣05。，在"。9中，可得/667?=120°一夕，/CBD=8-60°,

由正茂■宗J甲BC_CD彳“2。_ccosO_______①cosO_____

sinZCDBsinZCBD，寸空sin（。一60°）|sin^-^cos<9

所以义=-----1~—,可得tan。=返即tan/ACD=鲤2.故选：B.

V3“-李22

17.如图，。为△46。的边/C上一点，|4。|二2|。。|,乙460=60°,|/8|+2|RC|=4,则|RD|的最小值为

【详解】设|CD|=c,|BD|=%|BC|=馆，则|AD|=2e|4B|=4—2m,在△ABC中,NABC=60°,所以

2

cosZ.ABC=（4-2二）：馆2—（3，）-=［所以92=7m-20m+16,

2-m-（4-2m）2

2

因为NADB+4BDC=180°,所以cosZADB=-cos4BDC,所以［2"，）-=x'+y-m'

1'lx'y2*x-y

所以娟=-2x2+2m2--^-m+,

oJ

2

所以娟=-2佶加一萼山+呼）+27n2-旱m+孚，所以婚二卷加2一等1+噂当m=1时，才有

•j»jy<5oyyy

最小值，此时出。|取最小值，所以|BD|=夕=宅.故答案为：宅.

JJ

18.在锐角△ABC中，内角ABC所对的边分别为QAC,若〃=〃+儿,则生+—三的最小值为

ocos2B

【详解】由余弦定理得a?=〃+/_2bccos4,又出=/+儿,所以b2+be=b2+c2-26ccos71,

即be=c'2—2bccosA,所以b=c—2bcosA,由正弦定理得sin8=sinC—2sinZ?cos力，

即sin/?=sin（4+3）-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsin13=sin（A-B）,

因为力,66（0,兀），所以4—6€（一兀，兀），所以6=A—6或3+4—6=兀（舍去），所以4=26,

c,2_biii（7,2_sin（/+B）2_biii3B2siu&5i26+c5sAsiu26

--I----------=--------十++

bcos.*sinBcos2BsinBcos2BsinBcos2BsinB

,2•,2cos2BsinB,2

+------=cos9-Br>-sin-BH------------------H---------

cos-BsmBcos'B

=4cos2B+————1>2J4cos23•—马】-1=4女一1,当且仅当4cos2B=2，即cos20=卒

COS2BVCOS-0coSB

时取等号，所以与+的最小值为4V2-1.故答案为：4V2-1.

bcos2B

19.已知「是△ABC内一点，/ymPMdKZPBCMZPCjBMNACPuBOO/iJtanNjBAP：

【详解】在4PBC中，"BC=乙PCB=30°,设\PB\=\PC\=1,

由余弦定理可得\BC\2=\PBf+\PCf-2\PB\•|PC|cosl20=1+1+1=3,可得\BC\=E,

在丛ABC中，^ABC=NABP+4PBC=75•，所以^BAC=180-ZAJ3C-N为CB=45°,

\BC\\AB\\AB\V3xsin600_372

由正弦定理得，即V3G，可得=

sinZBACsin^ACBsin45°sin60'sin45°2

在AABP中，由余弦定理得|力P『=\AB\2+1PBl2-2\AB\•|PB|cos45e=-1-+1-3=,

\AP^\AB