图形的相似（导学案）-2025-2026学年人教版数学九年级下册

九年级下册27.1图形的相似

导学案

一、学习目标

1.理解并掌握两个相似图形的概念，并会判断相似图形；

2.掌握相似多边形的性质，会辨别两个多边形是否和似；

3.通过观察、思考、实践、交流等数学活动，让学生体会生活中的相似，进一步发展学

生的几何直观：

4.通过观察、欣赏、创作相似图形，进•步体验生活中处处有数学，同时感受数学之美.

二、核心知识

★知识点I:相似图形的概念：

数学上，我们把具有的图形称为相似形.

★知识点2:相似多边形的概念：

如果两个相同的多边形用等、的两

个多边形叫做相似多边形.

★知识点3:相似多边形的性质：

相似多边形的、对应边.

★知识点4:相似比的概念：

相似多边形叫做相似比.

★知识点5:比例线段的概念：

对于四条线段a,b,c,d,如果其中_________________________________________________

相等，如（即），我们就称四条线段是成

比例线段，简称比例线段.

三、复习巩固

1.简述全等图形概念？

2.简述全等图形的性质？

四、新知探知

1.观察下面图形，你发现它们有什么相同点和不同点？

【提问1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗？

【提问2］如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢？

【提问3】如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形c有什么

关系呢？

图形A图形B图形C

巩固练习

1.下列说法中，正确的是（）

A.所有的等腰三角形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的直角三角形都相似

2.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）

☆

A.平移变换B.相似变换

C.旋转变换D.对称变换

3.下列结论中，错误的有：（）

①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④

有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似.

A.I个B,2个C.3个D.4个

新知探究

卜图所示两组图形分别是相似图形，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？

问题4：根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？

问题5：若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？

问题6：已知四条线段(a#)),如卜・图，这四条线段长度成比例吗？

线段a：x线段5：1线段c：%线段3x

回答以下问题：

・任意两个等边三角形相似吗？

•任意两个正方形相似吗？

•任意两个正五边形相似吗？

•任意两个正n边形相似吗？

你发现了什么？

典例解析

例如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a,4的大小和EH的长度工

巩固练习

1.如图所示的两个四边形相似，则。的度数是（）

A.600B.75°C.87°D.120°

2.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为18,则这个

多边形的最短边长为（）

A.6B.8C.12D.10

3.一个四边形的边长分别是4,5,6,7,另一个与它形状相同的四边形最短边长为8,则

另一个四边形的周长是.

4.如图，在长为8cm,宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部

分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A.2cm2B.4cnrC.8cnrD.16cnr

5.如图矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成

的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？

AD

IH

BC

6.已知矩形ABCD中，AD=3,AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩

形ABEF与矩形ABCD相似，求AF:AD的值.

AFD

BEC

课堂检测

L两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为（）

A-R-C-D,-

329・

2.在矩形ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，如果矩形ABCD~矩形EFCB,那么它

们的相似比为（）

A.V2B.—C.2D.-

22

3.相似多边形对应边之比叫做.

4.两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm,其中一个多边形的最短边为5cm,则另

一个多边形的最短边为.

5.梯形ABCO中，AD//BC,E,尸分别为AB,CO上一点，且梯形AE/£>s梯形仍。尸,

若AQ=4,809。试求AE：E8的值。

6.如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.

AEB

DFC

⑴若原矩形ABC。的长AB=6,宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.

(2)若原矩形的长人8=小优BC=b,且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长。与宽力应满足

的关系式.

【链接中考】

1.制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下,

若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

2.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和

9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

参考答案

二、核心知识

★知识点1:相似图形的概念：

数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.

★知识点2:相似多边形的概念：

如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例

的两个多边形叫做相似多边形.

★知识点3:相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等、对应边成比例.

★知识点4:相似比的概念：

相似多边形对应边的比叫做相似比.

★知识点5:比例线段的概念：

对■于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比

相等，如5（即ad=bc）,我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.

ba

三、复习巩固

1.简述全等图形概念？

能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

2.简述全等图形的性质？

如果两个图形全等，则它们的形状、大小相同.

四、新知探究

1.观察下面图形，你发现它们有什么相同点和不同点？

相同点：形状相同.不同点：大小不一定相同.

【提问1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗？

全等图形是相似图形的一种特殊形式.

【提问21如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢？

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.

【提问3】如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形c有什么

关系呢？

图形A图形B图形C

相似图形具有传递性:如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与

图形C相似.

巩固练习

1.下列说法中，正确的是（C）

A.所有的等腰三角形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的直角三角形都相似

【详解】A.所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等.故错误；B.所

有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等.故错误；C.所有的等腰直

角三角形，边的比一定相等，对应角对应相等.故正确；E.一个等腰直角三角形与一个一

般的直角三角形不相似，故错误.

2.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（B）

☆

A.平移变换B.相似变换

C.旋转变换D.对称变换

3.下列结论中，错误的有：（B）

①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④

有一个角为110度的两个等腰三角形相似：⑤所有的矩形不一定相似.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，萎形之间的对应角不一定相等.故①错

误；放大镜下的图形只是大小发牛.了变化，形状不变，所以一定相似.②错误；等边三角形

的角都是60。，一定相似.③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35。，所以

两个等腰三角形相似.④正确：矩形之间的对应角相等，但是对应边不•定成比例.故⑤正

确，有2个错误.

新知探究

下图所示两组图形分别是相似图形，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？

对应角相等，对应边的土相等.

问题4：根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？

1）边数相同；2）对应角相等；3）对应边成比例.

问题5：若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？

这两个多边形是全等多边形.

问题6：已知四条线段5#））,如下图，这四条线段长度成比例吗？

线段上线段岳线段c：及线段由3x

..=我段b=1

,~~^d~2

・••四条线段长度成比例.

对于四条线段〃，力，c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，

如产I即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

【可答以下问题：

•任意两个等边三角形相似吗？相似

•任意两个正方形相似吗？相似

•任意两个正五边形相似吗？相似

•任意两个正n边形相似吗？相似

你发现了什么？

任意两个边数相等的止多边形都相似.

典例解析

例如图，四边形ABCD和EFG”相似，求角a,6的大小和E”的长度反

解：因为四边形ABCD和EFGH相似，

所以它们的对应角相等，

由此可得a=2083、ZA=NE=118c.

在四边形ABCD中，

p=360°-(78°+83°+118°)=810，

因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例,

由此可得号=经，解得户28.

巩固练习

1.如图所示的两个四边形相似，则a的度数是（C）

A.60°B.75°C.87°D.I20°

2.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为18,则这个

多边形的最短边长为（A）

A.6B.8C.12D.10

3.一个四边形的边长分别是4,5,6,7,另一个与它形状相同的四边形最短边长为8,则

另一个四边形的周长是一44.

4.如图，在长为8cm,宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部

分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（C）

A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2

【解析】设留下矩形的宽为xcm,

•・•留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，

5解得x=2,

4o

则留下矩形的面积为2X4=8（cnf）.故选C

5.如图矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成

的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？

AD

E|-----------1H

FIIG

BC

解：由题意得，EF=10,EH=20,AB=12,AD=22

,.AD,AB

・

EHEF

，小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩形ABCD不相似.

6.已知矩形ABCD中，AD=3,AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩

形ABEF与矩形ABCD相似，求AF:AD的值.

AFD

BEC

解：设AF=x,

;矩形ABEF与矩形ABCD相似，月.AD=3,AB=1,

•••对应边成比例，即竺二斐，即L,解得4i,AF:AD=-:3=1:9

ADCD3133

课堂检测

1.两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为(A)

2349

A.-B.-C.-D.-

3294

2.在矩形ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，如果矩形ABCD~矩形EFCB,那么它

们的相似比为(A)

A.V2B.—C.2D.-

22

3.相似多边形对应边之比叫做相似比

4.两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm,其中一个多边形的最短边为5cm,则

另一个塞边形的最短边为10cm或2.5cm.

5.梯形A8C。中，AD//BC,E,尸分别为A8,。。上一点，且梯形AEFQs梯形所。尸，

若4D=4,809。试求4E：EB的值。

解：VAD//BC