有理数的乘方（同步练习·含解析）-2024北师大版初中数学

2.4有理数的乘方（同步练习）

初中数学北师大版2024

一、单选题

1.（24-25七年级上•河南洛阳♦期中）计算：（一^3=（）

A.-1B.得C.一/D.5

2.（24-25六年级上•上海普陀・期末）下列说法中，正确的是（）

A.一个数的相反数等于这个数本身的数只有0B.一个数的平方等于这个数本身的数只

有。

C.一个数的倒数等于这个数本身的数有0和±1D.一个数的绝对值等于这个数本身的数

一定是正数

3.（23-24九年级下•广西南宁•阶段练习）平陆运河是•我国在西南地区开辟的由西江干流向

南入海的江海联运大通道，也是广西向海经济的骨干工程，预计建成后年单向通过能力为

8900000（）吨，89000000用科学记数法表示为（）

A.8.9x108B.89x106C.0.89xIO10D.8.9x107

4.（24-25七年级上•黑龙江•课后作业）若Q2=（—5）2,则a等于（）

A.-5B.5C.-5或5D.25

5.（2024七年级上.仝国.专题练习）下列说法正确的有（）

①没有平方得-9的数；②-M是负数；③（m+弓产是正数；④任何一个小于I的数都大于它

的平方.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2024七年级上•全国・专题练习）-25表示的意义是（）

A.5个2相乘的相反数B.-2与5相乘

C.2个-5相乘D.2个5相乘的相反数

7.（24-25七年级上•山东德州.期末）我们常用的十进制,如:2025=2x103+0x102+2x

IO1+5,表示十进制的数要用10个数码：0,I,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用

的是二进制，只有两个数码：0,1,如：二进制中111=1x22+1x21+1.相当于十进

制中的7,又如：11011=1X24+1X23+0X22+1X21+1.相当于十进制中的27.那

么十进制中的25相当于二进制中的（）

A.10011B.11()01C.11010D.11101

8.（23-24八年级上•全国・单元测试）许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”不断.根据测

定，一般情况下一个水龙头“滴水”1小时可以流掉3.5千克水.若一年按365天计算，则这

个水龙头一年可以流掉水（）千克（用科学记数法表示，且精确到百位）.

A.3.1X104千克B.0.31x105千克C.3.06x104千克D.3.07x104千克

9.（23-24七年级下.四川攀枝花.月考）已知同一1|+（帅一2）2=0,则关于x的方程之十

QD

++•,•+=2022的解是（

(a+l)(b+l)----(a+2)(b+2)----------(a+2021)(b+2021)

A.2021B.2022C.2023D.2024

二、填空题

10.（23-24七年级上•广西南宁•期中）将一张纸对折I次可裁2张，对折2次可裁4张，对

折5次可裁张.

11.（24-25七年级上•广东汕头•期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运

算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子23=8可以变形为3=log28,也52=25

可以变形为2=logs25,类似的，铲=3表示为.

12.（24-25七年级上•福建厦门・期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的

哥的乘积之和的形式.“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10,

其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幕的乘积之和为：3xIO?+7x1（）2+2xIO】+

IX10。（规定当Q丰0时，=1）.“二进制记数法”是干算机使用的记数系统，二进制的基

数是2,其特征是逢二进一，如二进制数（1011）2表示成基数的塞的乘积之和为：1X23+0x

22+1X21+1X2。.根据以上介绍，回答下列问题：

①二进制数（101101）2表示成基数的哥的乘积之和为：：

②若某二进制数a与（101101）2之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是.

13.（25-26七年级上•全国•课后作业）观察下列等式：31+1=4,32+1=10,33+1=

28,34+1=82,3$+1=244,….归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测3?。25+1的

个位数字是.

三、解答题

14.（25-26七年级上•全国•课后作业）计算:

⑴（一5尸：

⑵㈢5；

⑶㈢4;

(4)-53；

⑸。.〃；

(6)18.

15.(23-24八年级上•全国•课堂例题)某农科所要在长为1.2x105cm、宽为2.4xlOlm的

长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种减食需要一块边长为1.2x104cm的

正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？

16.(24-25七年级上•河南开封•期中)阅读材料，解决问题:

我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23=2x2x

2;24=2X2X2X2;观察上述算式：

23X24=2X2X2X2X2X2X2=27,可以得到：23x24=27

类比上述式子，你能够得到：

(1)102x105=_,a3xa5=_：

(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：a771x=_：〃?、〃都是正整数)；我们把类似于

优和a”这样的式子叫同底数哥；因此可以得到“同底数累的乘法”法则：同底数鼎相乘，底数

不变，指数相加.

⑶知识运用：X'x2-x2024=_,y2n-yn+1=_；

(4)已知xa=3,xb=6,求的值.

17.(24-25七年级上•江苏南京•阶段练习)若|a|=5,|b|=3,若|a+b|=a+b,求匕的a次

方的值.

18.(24-25七年级上•广东深圳•期中)在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了

一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出：+；+：+…+2的值.

2482°

【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将

一个边长为I的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,

第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图I

中空白部分的面积为;+；+；+…+

T"O乙

“破浪”小组是这样思考的：设S=4+：+"…'

将等式两边同时乘以:得：gs=：+3+…+*+

将上式减去下式得=即S=1—京即泻+/,••+»，.

(2)请你利用图2,再设计能求;+；+：+…+5的值的几何图形.(只画出图形即可)

(3)根据以上规律，

©1+；+：+•••+《=_.（n为正整数）

448/

②2+4+8+16+…+2门=_.（n为正整数）

参考答案

1.C

【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的含义计算即可.

【详解】(-03=-^,

故选：C

2.A

【分析】考查绝对值、相反数、倒数以及有理数的乘方意义，准确理解绝对值、相反数、倒

数以及有理数的乘方意义是正确判断的前提.

根据绝对值、相反数、倒数以及有理数乘方的意义，这个选项进行判断即可.

【详解】解：:“。的相反数是0”,故选项A正确;

VI2=1,02=0,

・•・一个数的平方等于这个数本身的数是1或0,故诜项B不正确：

・「0没有倒数，故选项C不正确；

正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0,故选项D不正确；

故选：A.

3.D

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10兀的形式，其中

1<|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小教点移动的位数相同.

【详解】解：89000000=8.9X107,

故选：D

4.C

【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘法法则，进行计算即可.

【详解】解：=(-5)2=25,(±5)2=25,

Act=±5：

故选C.

5.A

【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数

进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，

根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断.

【详解】解：没有平方得-9的数，①正确；

Q=0时，一/=0,不是负数，②错误；

m+d=0时，(m+d)2=0,不是正数，③错误：

(-1)2=1,-1<1,④错误.

综上所述，正确的有1个，

故选：A.

6.A

【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可.

本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：-25表示的意义是5个2相乘的相反数，

故选：A.

7.B

【分析】本题考查了有理数的乘方读懂题目信息，理解二进制数的表示方法是解题的关键.

根据十进制中的25相当于二进制中的1x24+1x2?+0x22+0x21+1即可解答.

【详解】•••25=1x24+1x23+0x22+0x21+1,

十进制中的25相当于二进制中的11001,

故选：B.

8.D

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为QX10几的形式，其

中九为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，71的

绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，九是非负数，当原数绝对

值小于1时，几是负数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值，也考查了有理数的乘法.

【详解】解：3.5x24x365=30660=3.066x104«3.07x104,

故选：D.

9.C

【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负

性得出Q和助的值，然后计算即可.

【详解】解：•••|。一1|+［时一2)2=0,

•••a-1=0»ab-2=0,

解得a=1,ab=2,

•••a=1»b=2,

-------------=2022,

擀+(a+i：b+l)+(a+2；b+2)+~+(a+2021)(fe+2021)

即+」_+」_+...+---1---)=2022,

'1X22x33X42022X2023,

x(l---(­△---F----F•••H---------)=2022>

'2233420222023/

二空跑=2022,

2023

解得％=2023,

故选：C.

10.32

【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案.本题考查有理数的乘方运算，解题的关键

是掌握有理数乘方的意义和运算法则.

【详解】解：•・•将一张纸对折1次可裁21=2（张）,

将一张纸对折2次可裁22=4（张）,

将一张纸对折3次可裁23=8（张）,

・•・将一张纸对折5次可裁2$=32（张），

故答案为：32.

11.x=log43

【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键.根

据题干乘方的逆运算法则列式解即可.

【详解】解：•・•式子23=8可以变形为3=1咤28,也52=25可以变形为2=108525,

X

A4=3表示为x=log43,

故答案为：x=log43.

54321

12.1X2+0X2+1X2+1X2+0X24-1X2°（1010011）2

【分析】本题主要考查「单位进制的转化运算，含乘方的有理数混合运算；

①根据题干二进制数转换为十进制数的方法列式即可.

②根据二进制的基数是2,其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是（10000000）2求解即

可.

【详解】解：①二进制数［101101）2表示成基数的塞的乘积之和为：lx2S+0X24+1x

23+1X22+0X21+1X2°；,

故答案为：1x2$+0x24+1x23+1x2?+0x2】+1x2。；

②•・•二进制的基数是2,其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是(10000000)2,而

(10000000)2=(101101)2+(1010011)2,

・••若某二进制数Q与(101101)2之和是一个8位的二进制数，Q的最小值是(1010011)2.

故答案为:(1010011)2.

13.4

【分析】根据题意，得出3'+1的个位数字的变化规律即可解决问题.

【详解】解：由题意可得：31+1=4,32+1=10,334-1=28,34+1=82,354-1=244,...,

所以3n+1的个位数字按4,0,8,2循环.

又因为2025+4=506……1,

所以32025+1的个位数字是4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照

4,0,8,2循环.

14.(1)-125：

⑵-*

呜

(4)-125；

(5)ioooo；

(6)1.

【分析】本题考查了有理数乘方，掌握运算法则是解题的关键.

<1)根据有理数乘方运算法则即可求解；

(2)根据有理数乘方运算法则即可求解；

(3)根据有理数乘方运算法则即可求解；

(4)根据有理数乘方运算法则即可求解；

(5)根据有理数乘方运算法则即可求解；

(6)根据有理数乘方运算法则即可求解.

【详解】(1)解：(-5)3

=-53

=-125；

⑵解：

—~32；

(3)解：㈢4

-81：

(4)解：-53=-125；

(5)解：0.14

―10000;

(6)解：I8=1.

15.这块试验基地最多能培育20种新品种粮食

【分析】本题考查了有理数的乘法及科学记数法，长方形中能找到多少个符合要求的正方形,

就可以培育多少种新品种粮食.

【详解】解：[1.2x105-(1.2x104)]x[2.4x104+(1.2x104)]=10x2=20(种).

答：这块试验基地最多能培育20种新品种粮食.

16.(1)107,a8

⑵Qm+n

(3)/027；y3n+l

(4)18

【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幕的运算法则：同底数累相乘，底

数不变，指数相加，是解题的关键.

(1)根据题目中给出的信息进行运算即可：

(2)总结题目信息得出同底数基的运算法则：

(3)根据同底数幕的运算法则进行运算即可：

(4)逆用同底数的乘法公式进行运算即可.

【详解】(1)解：1。2乂105=1。7,Q3XQ5=Q8,

故答案为IO,,a8；

(2)amxan=amn〃都是正整数)，

故答案为Qm+\

22024

(3)X-X-X=炉+2+2024=x2027,y2n.yn+l=y2n+n+l=、3“+1,

故答案为/027,y3"l；

(4)Vxa=3,”=6,

：tXa^b=xa,xb=3x6=18.

17.±243

【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的意义，求出a”的值，

再根据有理数的乘方法则讲行计算即可.

【详解】解：,・・|。|=5,固=3,

，Q=±5,b=±3»

:|Q+b|=a+bN0,

=5,b=±3,

：.ba=