有理数的加法（讲+练）【重要笔记】-七年级数学上册重要考点讲练（人教版）教师版

1.3.1有理数的加法

题型1：有理数的加法的辨析题型4:有理数加法分类思想

题型2:有理数加法的计算一皿­题型5:有理数加法规律题

--------------------------有理数的加法------------------------

题型3:有理数的加法运算律题型6:有理数加法的应用

同k■.•记有理数的加法

定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.

法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为

相反数的两个数相加得0；

(3)一个数同0相加，仍得这个数.

注意:利用法则进行加法运算的步骤：

⑴判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则.

⑵确定和的符号(是还是“-.

⑶求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).

施77看理薮而疝去底麻

题1.下列说法正确的是()

A.两个有理数的和一定大于任何一个加数

B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数

C.若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数

D.异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数

【解答】A不正确,例如,(-3)+1=-2,(-3)+(-1)=-4,(-3)+0=-3,它们的和都不是大于两个加数.

B.不正确，例如，(-2)+3=1,0+2=2,它们的和是正数，但两个加数不都是正数.

C.正确.

D.不正确，异号两个数相加的和还有可能为0.

答案C

【变式1-1】如果。、。异号，且”+b<0,则下列结论正确的是()

A..a>0,b>0

B.a<0,b<0

C.a,〃异号，且正数的绝对值较大

D.〃，〃异号，且负数的绝对值较大

【分析】两数异号，两数之和小于0,说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大.综合两个条件可选

出答案.

【解答】解：•・•〃+〃<(),

・•・4,b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，

,:a,b异号，

・♦・“、b异号,且负数的绝对值较大.

故选：D.

【点评】此题主要考查了有理数的乘法和加法，解题的关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号.

【变式1-2】对于有理数小有以下几种说法:其中正确的说法个数是()

①若a+b=0,贝I」。与b互为相反数；②若a+b<0,贝I」a与b异号；@a+b>0,则a与〃同号时，贝！J〃>0,b

>0；④间>|加且a、b异号,则a+〃>0；®\a\<b,则"力>0.

A.3个B.2个C.I个D.0个

【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若a+b=0,移项可得a=-b,满珥眼

数的定义，故。与〃互为相反数，本选项正确；

②举一个反例满足<0,可以取〃与b同时为负数满足条件，但。与b不异号,本选项错误；

③根据条件可得。+〃大于0,且〃与方同号，可得a与b只能同时为正，进而得到。、b大于0,本选项正确；

④举一个反例，。与。两数都为负数,a的绝对值大于b的绝定值满足条件，但是a+b小于0,本选项错误；

⑤由同<b,所以b>0,所以a+b>0,本选项正确.

【解答】解：①若a+h=()，则-3即〃与b互为相反数,本选项正确；

②若a+b<(),若4=-1"=-2,a+b=-3<0,但是。与b同号，本选项错误；

③4+7?X),若。与人同号，只有同时为正，故〃>0,/?>(),本选项正确；

④若同>向，且〃，〃同号，例如a=-3,/>=-2,满足条件，但是a+b=-5<0,本选项错误.

⑤由同<b,所以/?>0,所以a+b>0,本选项正确；

则正确的结论有3个.

故选：A.

题型2：有理数加法的计算

晒2.计算：

(1)(-17)+7

(2)(-14)-(-39)

【答案】(1)解：(-17)+7;

=-(17-7)

=-1()；

(2)解：(-14)-(-39)

=-14+39

=25.

【解析】【分析】(1)利用有理数的加法的计算方法求解艮阿；

(2)利用有理数的减法的计算方法求解即可。

【变式2-1】计算：(-3)+12+(-17)+(+8)

【答案】解：(-3)+12+(-17)+(+8)

=[(-3H-17)]+(12+8)

=(-20)+20

=0

【解析】【分析】利用有理数的加感法贝叶算求解即可。

【变式2-2】

(1)(+号)+(.；)

63

(2)(-10.5)+(-1.3)

(3)-20-(+14)+(-18)-(-13)

(4)1-45|+(-71)+|-5|+(-9)

【答案】(1)解：原式二斗_皿二口；

666

(2)解：原式=10.5-1.3=11.8；

(3)解：原式=204448+13=39；

(4)解：原式=45-71+5-9=-30

【解析】【分析】利用有理数的运算法贝/行计算即可得出结论。

运算律「

加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变

有理交换a+b=b+a

符号语言

数加律

法运加法三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，

文字语言

算律结合和不变

律符号语言(a+h)+c=a+(h+c)

注意：交换加数的位置时,不要忘记符号.

题型不有理数的加法运算律

画.(相反数结合)卜5

【分析】先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.

【解答】解：原式_1/4、4.

=0+(-1)

=-1.__________

【变式3-1】(同号结合)计算：43+(-77)+37+(-23).

【分析】先把正数、负数分别结合，再计算.

【解答】解:原式:(43+37)+[(-77)+(-23)]

=80+(-100)=-20.

【变式3-2](同形结合)计算(-3；)+3看+2十+(-1y)

【分析】观察将同分母的分数通过交换结合在一起计算.

11

3—+2—

44

=(-1)+2

=1.

【变式3-3](凑整结合)(-3.75)+2.85+(-Iy)+(-y)+3.15+(-2.5)

【解答】解：原式=(一3.75)+(-1+)+(-；)+(-2.5)+(2.85+3.15)

=(-8)+6

=-2.

【变式3-4](拆项结合)计算;一

(1)-5y+(-9y)+17y+(-3y)(2)(-2018y)+(-2017y)+4036y+(-1

【分析】先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.

[解答]解：(1)原式=](-5)+(-高)卜](-9)+(-1)]+(31)+[(-3)+卜1)

=[(-5)+(-9)+17+(-3)l+(-7)+(-f)+T+(-T)]

=。+卜f)

5

4_

(2)原式=|(-2()18)+卜制+[(-2()17)+卜轩+(4036+由+(-1)+卜切

=((-2()18)+(-2017)+4036+(-1)]+卜：)+(・$+(■+(-T)]

=()+(-

4

=---

3

知识总结：

相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数，可以先将这两个数结合再进行运算；

同号结合法：在有理数的加法运算先将所有的正数结合在中，一起、所有的负数结合在一起，分别相加，再求

和的计算方法；

同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在

一起，以达到简便运算的效果；

凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，把能

凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便；

拆项结合法：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合

相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”；一个带分数在拆成一个整数和一个真分数

时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号.

题型4：有理数加法分类思想

0^^已知|a|=61b=3,ab<0,求a+b的值

【答案】|«|=6

***

'b=3,ab<0

***a<0

**a=~6

6+3=-3•

【解析】【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则求出〃的值，再代入求解即可.

【变式4-1】如果\a\=4y\b\=7>且a<b，求a+b的值•

【答案】解：因为⑷=4/|=7，所以a=±4,厘7，因为a<b*所以a=±4,b=7；当〃=4/=7时，

a+b=4+l=\1；当a=-4,b=7时，a+bT+7=3；故a+b=3或11

【解析】【分析】利用绝对值的性质可求出a,b的值,再根据a<b,可确定出a,b的值，然后分别求出

a+b的值.

【变式4-2］已知间=1,|加二2,|c|=3,且a>b>c,求a+b+c的值.

【分析】根据绝对值的性质，求出。、b、。的大致取值，然后根据a、b、。的大小关系，进一步确定a、b、c

的值，然后代值求解即可.

【解答】解：・・・同=1加=2,0=3,

.*.</=±1,b=±2,c=±3,

*.*a>b>c,

:.a=-I,)二-2,c•二-3或〃二I,/』-2,c=-3

/.a+b+c=-6,

或a+b+c=1-2-3=1-5=-4.

故答案为：-6或-4.

【点评】此题主要考查的是绝对值的性质和有理数的加法，能够正确的判断出。、氏c的值,是解答此题0快

键.

题型77有理数加法规律题

咽5从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值，计算a+"的值是.

【答案】14

【解析】【解答】解：a=(-4)+11=7,

c=ll+(-15)=-4,

b=a+c=7+(-4)=3/

a+b-c=7+3-(-4)=14.

【分析】找出图①的规律，列式计算出a,b,c的值，再计算”b-c的值，即可得出答案.____

【变式5-1］已知1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，…，按此规律，1+3+式…+19=

【分析】由该一连串的擎阿以看出从1开始n个尊的奇数的和等于n2,所以可以得出

1+3+5+7+...+19=102,即从1开始1()个连续的奇数相加.

【解答】解：由1+3=22,从1开始连续2个奇数相加；

1+3+5=32,从1开始连续3个奇数相加；

1+3+5+7=42,从1开始连续4个奇数相加；

所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的木修于102,即：1+3+5+7+...+19=102=100.

故答案为：KX).

【点评】本题是规律型的，从1开始超卖2个奇娄处修于22,连续3个的和为32,连续4个为42,可以

得出连续n个的和为n2的规律.

题型6：有理数加法的应用

»10袋大米,以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重的记录如

下：+0.5,+0.3,0,-0.2,-0.3,+1.1,-0.7,-0.2,+0.6,+0.7.10袋型共磔或不足多行

克？总重量是多少千克？

【答案】解：本题考查了有理数的运算在实际中的应用，,正和，负相对，超过的千克数记为正数，不足

的干克数记为负数,把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重

量，可以用10x50加上正负数的和即可.

(+0.5)+(+0.3)+0+(-0.2)+(-0.3)+(+1.1)+(-0.7)+(-0.2)+(+0.6)+(+0.7)

=1.8(千克),

50x10+1.8=501.8(千克).

【解析】【分析】由题意，先求出记录的各数据断口(即为超过(或不足)质量)，根据总质安标准质量x

抽取的袋数十超过(或不足)质量即可求解

【变式6-；】将0??：2737415：6这7个数分别填入图中的7个空格内：使每行的3个数［每列的3个

数、斜对角的3个数相加的和映于6.

【答案】解：根据分析可得

【解析】【分析】根据幻和是6,可得中心数是：6-3=2；那么对角线、第二行、第二列剩下两个数的口就

为：6-2=4；所以只要凑成：-1+5=1+3=6+(-2)=4,然后稍微调整一下即可得出答案.

【变式6-2］王先生到市行政中心大楼办事：假定乘电梯向上一楼记作向下一楼记作二1二王先生从1楼出

发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：+6,-3,4-10,-8,4-12,-7,-10.

(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼.

(2)该中心大楼每层高3〃7,电梯每向上或下所需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他

办事时电梯需要耗电多少度？

【分析】(1)把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于。则能回到1楼，否

则不能；

(2)求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解.

【解答】解：(1)(+6)+(-3)+(+10)+(-8)+(+12)+(-7)+(70),

=6-3+10-8+12-7-10,

=28-28,

二0,

・•・王先生最后能回到出发点I楼；

(2)王先生走过的路程是3x(|+6|+|-3|+|+10|+|-8|+|+12|+|-7|+|-10|),

=3x(6+3+10+8+12+7+10),

=3x56,

=168(m),

・••他办事时电梯需要耗电168x0.2=33.6(度).

【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，(2)中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用(1)中的结

论求解，这是本题容易出错的地方.

练羽与提升

一、单选题

1.1-3+1|=()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】C

【解析】【解答】解：析3+1|=|-2|=2,

故选：C.

【分析】先计算符号内的加法，再根据绝对值性质得出答案.

2.计算(一3)+(-9)的值是()

A—B.6C._12D.12

【答案】C

【解析】【解答】解：(-3)+(-9)=-12，

故答案为：C.

【分析】利用有理数的加去法则计算求解即可。

3.计算・2+3的结果是()

A.1B.-1C.-5D.-6

【答案】A

【解析】【解答】解：因为・2,3异号，且|-2|<|3|,所以-2+3=1.

故答案为：A.

【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可.

4.在一竞赛中,老师将90分规定为标准成绩，记作0分，高出此分记为正,不足此分记为负，五名参赛者

的成绩：+1,-2,+10,,0.那么()

A.最高成绩为90分B,最低成绩为88分

C.平均分为90分D.平均分为90.4分

【答案】D

【解析】【解答】平均分为：90+111+(-2)+10+(-7)+01=90.4.故答案为：D.

5

【分析】根据题意得到五名参赛者的成绩的平均分是90+【1+(-2)+10+(-7)旬0最高成绩是

90+10,最低成绩90+(-7).

5.化简-2+3的结果是()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】B

【解析】【解答】解：原式二十(3-2)=+1,

故答案为：B.

【分析】根据有理数的加去法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对

值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；计算即可.

6.一大早晨的气温是-TC,中午的气温比早晨上升了11℃,中午的气温是（）

A.18℃B.Il℃C.4℃D.-11℃

【答案】C

【解析】【分析】根据中午的气温比早晨上升了H℃,可知中午的气温二早晨的气温+11℃.

【解答】中午的气温是：-7+11=4℃.

故选C.

【点评】本题考查有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，曲嗓对值相加；

②绝对值不相等的异号两数相加，取戢大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数

的两个数相加得0；

③一个数同（）相加，仍得这个数

二、填空题

7.绝对值不大于2.5的整数有,它们的和是.

【答案】±2,±1,0；0

【解析】【解答】解：绝对值不大于2.5的整数就是在-2.5和2.5之间的整数，有±2,±1,0共5个，它们的和

为0.

故答案为：±2,±1,0;0.

【分析】首先结合绝对值的意义判断绝对值不大于2.5的整数，即绝对值等于（）、1、2的躁;然后根据绝

对值的性质'.正数的绝对值就是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值就是零「求出绝对值不大

于2.5的整数有哪些即可求解.

8.有理数的加法法则：同号相加时，取的符号,并把它们的绝对值相加.

【答案】相同

【解析】【解答】有理数的加法法则：同号相加时，和应该取相同的符号

【分析】考查有理数的力阻去法则

9.计算：-2+3=.

【答案】1

【解析】【解答】解：-2+3=1.

故答案为：1.

【分析】根据有理数的力©去法则，从而得出结果.

10.计算：(・1)+2+(-3)+4+…+50=.

【答案】25

【解析】【解答】解：原式=(7+2)+(・3+4)+...+(-49+50)

=1+1+…+1

=25.

故答案为：25.

【分析】原式结合后，相加即可得到结果.

11.计算卜6+2|的结果是.

【答案】4

【解析】【解答】|-6+2|=|-4|=4,故答案为：4.

【分析】根据有理数的加去法则，异号两数相加，雌对值较大加数的符号，并用较大力瞰的绝对值减去较

小加数的绝对值；再求出和的绝对值.

三、计算题

12.计算下列各式：

(1)(-1.25)+(+5.25)

(2)(-7)+(-2)

【答案】解；(1)(7.25)+(+5.25)

=5.25-1.25

=4；

(2)(-7)+(-2)

…7+2)

=-7

【解析】【分析】(1)根据有理数的加法法则计算，即可解答；

(2)根据有理数的加法法贝叶算，即可解答；

13.用适当方法计算：

(1)(-51)+(+12)+(-7)+(-11)+(+36)；

(2)(-3.45)+(-12.5)+(+19.9)+(+3.45)+(-7.5)

(3)(—17；)+(31：)+(-4)；

(4)(-4；)+7.75+(-1；)+(-2；)•

【答案】(1)解：原式=-(51+7+11)+(12+36