《模拟电路》-第3章

3.1动态元件3.1.1电容元件电容元件是实际电容器的理想化模型。理想电容器只具有存储电荷，从而在电容器中建立起电场的作用，而没有任何其他作用。1．电容元件的定义一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q（t）同它的端电压u（t）之间的联系可以用u-q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件，即由电荷和电压相约束。若特征曲线是通过坐标原点的一条直线，则称为线性电容元件，如图3-1（a）所示；否则，称为非线性电容元件，如图3-1（b）所示。图3-1（c）所示为线性时不变电容元件的符号。下一页返回3.1动态元件在讨论q（t）和u（t）的关系时，通常采用关联的参考方向。如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间变化，则此电容元件被称为线性时不变电容元件，即q(t)=Cu(t)式中：C为线性电路元件的电容（正值常数），单位为法拉（F），它是与q和u大小无关的常量。习惯上，将线性时不变电容简称电容。2．电容元件的电压和电流约束条件上一页下一页返回3.1动态元件这一公式在u、i为关联参考方向时才能使用。如果为非关联参考方向时，应使用3．电容的储能求任意时刻t电容的储能WC(t)。设t=0时，uC(0)=0，则上一页下一页返回3.1动态元件上式表明，在任一瞬时，线性电容元件的电场能量与电容电压的二次方成正比。设在t1～t2期间对电容C充电，电容电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间供给电容的能量为3.1.2电感元件电感元件是实际线圈的理想化模型。1．电感元件的定义上一页下一页返回3.1动态元件一个二端元件，如果在任一时刻t在磁链Ψ与电流i所在的平面上由一条曲线所确定的元件称为电感（元件）。若特性曲线是通过坐标原点的一条直线称为线性电感元件，如图3-8（a）所示；否则，称为非线性电感元件，如图3-8（b）所示。图3-8（c）所示为线性时不变电感元件的符号。电感元件的电流瞬时值与磁链瞬时值之间存在着一种代数关系。在讨论i（t）与Ψ（t）的关系时，通常采用关联参考方向，即两者的参考方向应符合右手螺旋法则。电流元件符号上的+、−号表示磁链，也表示电压的参考方向。上一页下一页返回3.1动态元件线性电感：式中：L——电感量，为正值常数，单位为亨（H），L的大小反映了电感元件通过电流后产生磁通链能力的强弱。习惯上，将线性时不变电感称为电感。2．电感的电压电流关系对于线性时不变电感元件来说，采用电压、电流关联参考方向的情况下，可得到如果为非并联参考方向时，应使用上一页下一页返回3.1动态元件二点说明：①uL的大小取决于iL的变化率，而与iL的大小无关。若i（t）为一常数（直流），则L相当于短路。②uL与iL的波形不同。3．电感的储能求任意时刻t电感的储能WL(t)。设t=0时，iL(0)=0，则上一页下一页返回3.1动态元件此式表明，在任一瞬时，线性电感元件的磁场能量与电感电流的二次方成正比。上一页返回3.2动态电路的方程

描述动态电路的方程是一组微分方程。动态电路的求解就是求解微分方程。建立动态电路的微分方程的方法如下：①对单回路或单独节点电路直接用KVL或KCL以及元件的VCR写出。②对任意组成的一阶动态电路，可将除动态元件以外的含源单口网络用戴维南或诺顿等效电路代替，以便列出有关变量的方程。下一页返回3.2动态电路的方程③对任意组成的二阶以上电路，可用网孔方程或节点方程，然后消元得到某一变量的微分方程。①求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件（即边界条件），初始条件就是响应在初始时刻的值。②含有开关的动态电路，若换路时刻为t=0，设响应为f(t)，则f(0+)，f′(0+)，f″(0+)，…分别称为该响应的初始值、一阶导数的初始值、二阶导数的初始值。对以f(t)为变量的n阶微分方程的求解，所需的n个初始值为f(0+)，f′(0+)，…，f(n-1)(0+)。上一页返回3.3开关电路的初始条件

①求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件（即边界条件），初始条件就是响应在初始时刻的值。②含有开关的动态电路，若换路时刻为t=0，设响应为f(t)，则f(0+)，f′(0+)，f″(0+)，…分别称为该响应的初始值、一阶导数的初始值、二阶导数的初始值。对以f(t)为变量的n阶微分方程的求解，所需的n个初始值为f(0+)，f′(0+)，…，f(n-1)(0+)。下一页返回3.3开关电路的初始条件③在低阶电路中，是由t=0+的等效电路求出初始值：首先由t=0-的等效电路（L视作短路，C视作开路）求出iL(0-)或uC(0-)；且iL(0+)=iL(0-)，uC(0+)=uC(0-)。然后将L用iL(0+)的电流源代替，C用uC(0+)的电压源代替，建立t=0+的等效电路，求出所需变量的f(0+)和f′(0+)。注：若iL(0+)=0，uC(0+)=0，在t=0+的等效电路中，L应为开路，C应为短路。上一页返回3.4一阶电路的零输入响应

动态电路换路后，仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。这是因为换路前必有电源作用于电路，使得储能元件有初始储能，在换路后，尽管电源被切除掉，但电路中储能元件所储存的能量要通过电阻逐渐放出。在该能量释放过程中出现的电流或电压均称为电路的零输入响应。下面以RC和RL电路为例进行讲解。3.4.1RC电路的零输入响应电路如图3-21所示，求换路以后（t≥0）的uC(t)，i(t)，uR(t)。下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

2．电路的微分方程及其求解以uC(t)为变量列写方程，由图3-21（b）所示电路，根据KVL得到电容的电压、电流为非关联参考方向，其VCR方程为则代入式（1）得到上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

这是一个一阶常系数齐次微分方程，初始条件uC(0)=U0。一阶齐次微分方程的解为式中：K是由初始条件确定的待定常数；s是特征方程的特征根。因特征方程为RCS+1=0，则所以在式中令t=0，得上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

则式中：τ为RC电路的时间常数，又3.4.2RL电路的零输入响应RL电路如图3-25（a）所示。上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

设在t＜0时，电路接1端，电感L由电流源I0供电，在t=0时，开关由1换路至2，根据动态元件的连续性，开关换路瞬间iL(0+)=iL(0-)=I0。在t＞0时，电流将在RL回路中逐渐下降，最后为零。在这一过程中，初始时刻电感存储的磁场能量逐渐被电阻消耗，转化为热能。以iL为变量列写方程，如图3-25（b）所示，列写KVL方程电感的电压、电流为关联参考方向，其VAR方程为上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

代入上式得到由特征方程LS+R=0可得且令RL电路的时间常数为上一页下一页返回3.4一阶电路的零输入响应

所以RL电路电感放电时iL和uL随时间变化的曲线如图3-26所示。可见，当S＜0时，RL电路的零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数τ。上一页返回3.5一阶电路的零状态响应初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称为零状态响应。在外加激励开始作用的前一瞬间，电路中储能为零。显然，在电路的结构和参数决定以后，零状态响应只与外加激励有关。3.5.1RC电路的零状态响应1．电路的物理过程以图3-29所示电路为例，说明电路的物理过程。t=0-时，电路如图3-29（a）所示，uC(0-)=0；iC(0-)=0。t=0+时，电路如图3-29（b）所示，uC（0+）=uC（0-）=0，电容等效为短路；为最大值；UR(0+)=US为最大值。下一页返回3.5一阶电路的零状态响应随t↑，因为，电路如图3-29（c）所示，电流通过电容使电容电压，逐渐增加，电流逐渐减小。当t→∞时，电路如图3-29（d）所示，iC→0，UR→0，UC→US达到最大值，此时电容相当于开路，电路达到稳态。2．uC(t)的微分方程及其求解以电容电压uC(t)为变量，由KVL列出电路的微分方程上一页下一页返回3.5一阶电路的零状态响应非齐次一阶微分方程的解为式中：uCh是齐次解，形式由特征根确定，即uCp(t)是特解，其形式与外加激励相同，对于直流激励，uCp应为常数，故令上一页下一页返回3.5一阶电路的零状态响应将它代入微分方程得所以式中：待定常数由uC(0)确定。在上式中令t=0，则所以以及上一页下一页返回3.5一阶电路的零状态响应RC电路uC和iC随时间变化的曲线如图3-30所示。由上可以看出：①不跃变的uC（t）的零状态响应是从零值按指数规律上升趋于稳态值。该稳态值可由电路观察看出。在上面的电路中，uC的稳态值为CSu(∞)=u，所以电容电压的零状态响应可写成②并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳态值。例如iC（t）是从其初始值按指数规律衰减到零。上一页下一页返回3.5一阶电路的零状态响应3.5.2RL电路的零状态响应以图3-33所示电路讲解RL电路的零状态响应。以iL为变量的微分方程为解得上一页下一页返回3.5一阶电路的零状态响应RL电路iL和uL随时间变化的曲线如图3-34所示。从数学结果和波形可以看出，不跃变的iL(t)的零状态响应与uC(t)的零状态响应一样，也是从零值开始按指数规律上升趋于其直流稳态值iL(∞)。掌握这一规律，在RL一阶电路中，求任意变量的零状态响应，即可先求出iL(t)的零状态响应，，再从电路的约束关系，求出任意变量的零状态响应。上一页返回3.6一阶电路的完全响应只含一个独立动态元件的电路称为一阶电路。它用一阶微分方程来描述。本节讨论直流电源激励下的一阶电路，它可以分解为零输入一阶电路和零状态一阶电路的叠加，完全响应等于零输入响应和零状态响应之和。3.6.1完全响应由初始状态和独立源共同引起的响应称为完全响应。本节讨论全响应的两种分解形式，所讨论的电路如图3-37所示，求解uC（t）。1．全响应=零输入响应+零状态响应因为零输入响应下一页返回3.6一阶电路的完全响应零状态响应所以全响应因此，线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和来自初始状态的输入分别作用产生的响应的代数和。也就是说，完全响应是零输入响应和零状态响应之和。这一结论来源于线性电路的叠加性，而又为动态电路所独有，称为线性动态电路的叠加定理。上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应2．全响应=固有响应+强制响应将式（3-1）中由τ表征的指数项合并，得式（3-2）中的第一项实际上是微分方程的齐次解uCh(t)，其模式（即变化规律）由电路的固有参数（RC）决定，故称为固有响应。若电路的特征根s＜0，即时间常数τ＞0，由于uCh(t)随时间最后衰减为零，故这样的固有响应又称为暂态响应。上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应式中的第二项实际上是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律取决于外加激励的变化模式，称为强制响应。当其电路的τ＞0，在τ→∞时，uCh(t)→0，则uC(t)=uCp(t)，这时的强制响应又称为稳态响应。直流激励下的uCp(t)就是直流稳态响应。直流稳态响应可通过观察法由电路直接看出。图3-38表明，图3-37所示RC电路中相应uC(t）的曲线。曲线可分解为零输入响应（曲线1）和零状态响应（曲线2），也可以分解为暂态响应（曲线3）和稳态响应（水平直线4），但不是所有线性电路都能分解出暂态和稳态，例如固有响应不是随时间衰减的线性电路。但是，只要是线性电路，完全响应总是可以分解为零输入响应和零状态响应。上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应如果仔细推敲式（3-2），图3-37所示电路中，uC（t）=u0，uCp（t）=uC（∞）=US，可将该式写成对任意变量成立的全响应表达式。现将式（3-2）重写如下：式中：U0为uC(0)；US为uC(∞)。所以在直流激励下，一阶电路任意变量的全响应可表达为：上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应这就是下节将要讨论的三要素法公式，第一项是固有响应。若τ＞0，又是暂态响应，则第二项是直流稳态响应。综上所述，电路的完全响应可以用两种方法求解，这两种方法分别是上述式（3-1）和式（3-4）所表述的方法，即：全响应=零输入响应+零状态响应，如式（3-2）。全响应=固有响应+强制响应，如式（3-3）。3.6.2一阶电路的三要素法三要素法是一种不用列写和求解微分方程而直接计算一阶电路全响应的方法。就是上节的式（3-3），只要求得初始值f(0+)、稳态值f(∞)及时间常数τ这三个要素，上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应就可以求出任意变量f(t)的完全响应，毋需先求uC(t).iL(t)。它适用于直流激励下的一阶电路。这种方法要求电路的时间常数τ满足0＜τ＜∞。1．三要素法三要素法公式为利用三要素法公式，不必建立并求解微分方程，只要分别计算出f(0+)、f(∞)和τ这三个要素便可以求得在直流激励下一阶电路的全响应。用三要素法分析一阶直流激励动态电路的一般步骤及应注意的问题：（1）初始值f(0+)的计算上一页下一页返回3.6一阶电路的完全响应①由t=0-的电路，电容用开路代替或电感用短路代替，算出uC(0-)或iL(0-)。②根据电容电压和电感电流的连续性，若