专题 平面向量数量积十种常考题型（学生版）

平面向量的概念十种常考题型

题型归纳

题型一：平面向量数量积的定义及辨析

题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算

题型三：垂直关系的向量运用

题型四：利用数量积求向量模长及其应用

题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用

题型六：利用数量积求投影向量及其应用

题型七：利用向量数量积判断平面图形形状

题型八：平面向量数量积的最值与范围

题型九：平面向量数量积的综合

题型十：平面向量数量积与其他章节的融合

题型专练

题型一：平面向量数量积的定义及辨析

→→→→

1.已知向量,b满足=3,|b|=4，且与b的夹角为30°,则.b=()

A.6B.62C.63D.12

→

2.对于任意向量,b,，下列命题中正确的是()

→→→→→→

A..bb|B.+bb|C..b=b.D.

→

3.(多选)设,b,是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有()

→→→→

A..-b.=-b(.B.若.=b.且≠0，则=b

→→→→2→2

C.b|<-b|D.+2bb(=-4|b|

4.(多选)下列说法正确的是()

→→→→→→

A.对任意向量,b，都有.b=b.B.若.b=.且≠0，则b=

→→→→→→

C.对任意向量,b,.b(.=b.D.对任意向量,b,+b(.=.+b.

→

5.(多选)设,b,是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是()

→→→→

A..b=(b.B..b|≤.b

C.

1

→→→→

6.设向量，b的夹角为=4，|b|=2b(.b=()

A.-1B.1C.-2D.2

→→→→

7.已知向量,b垂直，且=1，|b|=+b-b(=．

—→——→—→——→—→—→——→—→—→

8.已知向量AB与AC的夹角为1200,且|AB|=2，|AC|=3,若AP=λAB+AC,且,AP⏊BC,则实数λ

的值为

题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算

—→—→—→—→

9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°,BE=2EC，则AE.AD=

—→——→

10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，则BA.AC=()

A.4B.-4C.2D.-2

11.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设

计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的

^—→

边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2)，若P为BC的中点，则PO

—→—→

.(PA+PB(=()

A.6B.8C.10D.12

—→—→—→—→——→—→

12.在△ABC中，BD=DE=EC,AD=3,AE=6，则(AB+AC(.CB=

—→—→——→——→

13.在边长为6的等边三角形ABC中，BC=3BD，则AD.AC=.

—→—→

14.已知在△ABC中，M是BC中点，AM=1，AB.AC=-8，则BC=

2

题型三：垂直关系的向量运用

→→→→

15.已知向量，b满足=1，|b|=2，<,b>=，⊥+λb(，则实数λ=()

A.-1B.1C.D.

→→→→→→

16.设向量，b是非零向量，且=2|b|，向量在向量b上的投影向量为-2b+b(⊥-b(，则实

数λ的值为()

AB.CD.2

17.已知非零向量,=,=.若⊥+(，则实数t的值为()

A.B.C.-3D.3

→→→→

18.=4，|b|=3，且、b的夹角为60°+2b-mb)，那么m的值为

→→→

19.已知平面向量，b满足：=3，|b|=2，,b=．

→

(1)求-b|；

→→

+kb(⊥-b(时，求实数k的值．

题型四：利用数量积求向量模长及其应用

→→→→→

20.已知向量,b满足|b|==1b|=+2b|，则b|=()

A.2B.3C.2D.5

→→→→

21.已知平面向量，b满足+b|=3，+b(=1，则|b|=()

A.5B.5C.3D.3

3

22.如图，在四边形ABCD中，AB2CD4，向量ABDC的夹角为.若F是边AD的中点，N是边

—→——→

BC的中点，则)=,=,

ABCD

23.已知12是单位向量，且12的夹角为θ,若，则θ的取值范围为()

,,

A.B.C.D.

24.多选下列命题正确的是()

A(.若)b，则存在唯一实数λ使得λb

→→

B.已知非⎳零向量、b和实数k，则“=kb”是“bb”的必要而不充分条件

→→→→

=-|=+|

C.若，|则三角形ABC为等腰直角三角形

△

D.若平面向量，，t两两夹角相等，且1，t4，则t7

→→→

===++=

25.已知向量b的夹角为60bb81，则b||.|

→°→→→

26.已知平面向,量与b的夹角为60-,)若.=-b0恒成|立|=，则实数t的取值范围为()

→→

+°≤

A.B.|C.2D.

[,+∞(

27.已知平面向量b满足b1若b0，则b的最大值是

→→→→

,,=||==,.=--|

题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用

28.已知向量，b

→

ABCD

29.已知非零向量，b

→

ABCD

4

→

30.已知向量=(3,9(，b=(1,k(，且与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()

A.(-,+∞(B.(-,3(C.(-∞,-D.(-,3(U(3,+∞)

→

31.(多选)关于平面向量，b，，下列说法中正确的是()

→→→→

A.+b(.=.+b.B..b=b.

→→→→→

C.若.b<0，则与b的夹角为钝角D..b|=b|艹Ⅱb

→→→→→

32.已知向量,bb+b(=2,|b|=1，则与b的夹角为

→→→→→

33.已知向量，b满足-b|=+b=|b|，则向量与b-的夹角的余弦值

题型六：利用数量积求投影向量及其应用

→→→→

34.已知=5，|b|=4，与b同向的单位向量为，若在b上的投影向量为-，则与b的夹角θ=

()

A.60。B.120。C.135。D.150。

→→→→

35.已知向量和b满足=2，|b|=+b|=3，则向量+b在向量上的投影向量为()

AB.CD.

→→

36.已知,b是夹角为120。的两个单位向量，若向量+λb在向量上的投影向量为

A.-2B.2CD.

——→—→——→—→—→

37.已知点O为△ABC的外心，且向量AO=λAB+(1-λ)AC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向

—→

量为BC，则cosB的值为

→→→

38.设向量与b满足=2，b在方向上的投影向量为-，若存在实数λ,使得与b垂直，则λ=

题型七：利用向量数量积判断平面图形形状

—→—→—→——→——→

39.若平面四边形ABCD满足AB+CD=(AB-AD)在AC方向上的数量投影是0，则该四边形一定是

()

A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形

—→——→——→2A

40.在△ABC中，BA.AC+AC=0，—.=，则△ABC的形状为()

|A|

5

A.等腰直角三角形B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形D.等腰(非直角)三角形

—→—→——→A

41.已知△ABC中，(BA+BC(.AC=+—=3，则此三角形为()

|A||

A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

42.(多选)下列命题正确的是()

—→—→—→—→

A.在△ABC中，若|AB|=1,|BC|=2,∠ABC=，则AB.BC=1

——→—→——→——→—→——→→——→—→——→

B.已知向量OA,OB,OC满足条件OA+OB+OC=0,|OA|=|OB|=|OC|，则△ABC为等边三

角形

—→—→—→—→

C.在△ABC中，若|CA-CB|=|CA+CB|，则△ABC为直角三角形

—→——→

(ABAC(—→

D.在△ABC中，若|—→+——→|.BC=0，则△ABC为等腰三角形

(|AB||AC|(

题型八：平面向量数量积的最值与范围

—→—→—→

43.△ABC是边长为2的正三角形，P为△ABC所在平面内任意一点，则PA.(PB+PC(的最小值为

()

A.-B.-C.-D.-2

—→—→

44.在△ABC中，AB=2,AC=4,∠BAC=60。，P是AC上一动点，则PA.PB的最小值为()

A.B.-C.D.-

→→→→

45.已知非零且不垂直的平面向量,bb|=6，若在b方向上的投影与b在方向上的投影之和

→2→

.b(，则,b夹角的余弦值的最小值为()

A.B.C.D.

46.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点(包含端点)，D为AC的中点．

—→—→

将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME.MF的最小值为()

6

A.-2B.-C.-1D.-

47.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如

首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个正

——→—→

六边形内部(包括边界)的动点，则AC.AB的最大值为()

A.12B.16C.18D.20

—→——→

—→——→(ABAC(—→—→——→—→——→

48.已知非零向量AB与AC满足|—→+——→|.BC=0，且|AB-AC|=22，|AB+AC|=62，点D

(|AB||AC|(

—→—→

是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为

——→——→——→

49.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=BC=23，∠ABC=，且AD.AC=12，则|AD|=

——→—→

,若M是线段AB上的一个动点，则DM.CM的取值范围是.

50.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．

—→

AB是圆O的一条直径，且|AB|=4．C,D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则PA.

—→

PB的取值范围是．

—→—→

51.已知A、P、Q是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ所对的圆心角为120°,则AP.AQ的最大值为

题型九：平面向量数量积的综合

7

→→

52.(多选)已知向量,b满足=3,|b|=2，则下列结论正确的有()

→→→→

A.+3b(⊥b(B.若.b=6，则∥b

→→→→→

C.在b方向上的投影向量为.b(bD.若+2b|=13，则与b的夹角为

53.(多选)下列关于平面向量的说法中正确的是()

→→

A.若.=b.且≠,则=b

——→—→——→

B.在△ABC中，若AD=AB+AC，则点D为BC边上的中点

→→→→

C.已知，b均为非零向量，若+b|=-b|，则⊥b

—→—→—→

D.在△ABC中，D为BC的中点，若，则BD是BA在BC上的投影向量

54.已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，

——→—→——→——→

△CMN的面积分别为S1，S2.若S1=|CM.AB|.|CN.AD|，则S2的取值范围是()

，「，「，

A.B.L|2-1C.L|D.

—→——→—→——→

*

55.如图，已知△ABC满足|AB|=|AC|=2，AB.AC=2，P1、P2、…Pn(n∈N(是线段BC上的分点，且满

—→—→—→———→—→

足BP1=P1P2=P2P3=…=Pn-1Pn=PnC.

(1)判断△ABC的形状；