统计与概率（复习讲义）-2026年春季高考数学（广东小高考专用）解析版

第09讲统计与概率

目录

考情分析与命题趋势..............................................................................1

知识体系构建....................................................................................2

考点精析与突破..................................................................................6

考点一简单随机抽样与分层抽样（重）......................................................6

考点二求几个数的平均数、中位数、众数、方差..............................................8

考点三频率分布直方图....................................................................10

考点四频率分布直方图的数字特征（重）...................................................13

考点五百分位数的估计....................................................................18

考点六古典概型的计算（重）..............................................................21

考点七利用频率估计概率..................................................................23

考点八事件的关系........................................................................25

考点九事件的相互独立（重）..............................................................29

实战精练与提升.................................................................................32

01PART□

考情分析与命题趋势

一、考试要求

理解随机抽样的必要性和重要性，掌握简单随机抽样方法，了解分层抽样和系统抽样方法。

了解分布的意义与作用，会列频率分布表、绘制频率分布直方图等图表并理解其特点；掌握样本标准差的

计算，能提取并解释平均数、标准差等样本基本数字特征。

理解用样本估计总体的思想，会用样本频率分布、基本数字特征估计总体的对应内容，并解决相关简单实

际问题。

了解随机事件的不确定性、频率的稳定性及概率的意义，区分频率与概率，掌握两个互斥事件的概率加法

公式。

理解古典概型、事件相互独立的概念及对应概率计算公式，会计算随机事件所含基本事件数和事件发生的

概率。

二、命题分析

考点考频考查内容命题趋势

抽样方法5年3考分层抽样预测2026年在填空题中考查分层抽样

频率分布直方图与数预测2026年在选择题或解答题中考查求

5年5考求数据的平均数和方差

据特征数据的数据特征

古典概型与事件关系5年5考古典概型、互斥对立事件预测2026年在选择题中考查古典概型

预测2026年在解答题中考查独立乘法公

相互独立事件5年1考独立乘法公式

式

02PART□

知识体系构建

知识点1、简单随机抽样及分层抽样

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回抽取〃个个体作为样本如果每次抽取

定义

时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中

抽签法

方法抽取一个号签，连续抽取〃次，就得到一个容量为〃的样本

随机数法利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样

①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；

抽签法相同点

②都是从总体中逐个不放回地进行抽取

与随机

①抽签法比随机数法操作简单：

数法不同点

②随机数法更适用于总体中个体数较多的时侯，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况

利用随机数法抽取个体时的注意事项:

①定起点：事先应确定以表中的哪个数（哪行哪列）作为起点.

②定方向：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）.

③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三

位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数.

分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.

注意：分层抽样是按比例抽样，每•层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.

知识点2、频率分布直方图

I.画频率分布直力图的步骤

第1步：求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组;

第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图（以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值）.

2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1.

知识点3、数字特征

①众数、中位数、平均数

数字特征样本数据频率分布直方图

众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标

将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个把频率分布直方图划分左右两个面积相等的

中位数

数据（或最中间两个数据的平均数）分界线与工轴交点的横坐标

每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横

平均数样本数据的算术平均数

坐标之和

②极差、方差和标准差

极差：即一组数据中最大值与最小值的差.

方差:?=-[（X,-X）2+（,一方2++（乙一君2]

n

22

标准差：S=yJ-[（Xl-X）+*2-亍）2+…+X-X）].

注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准

差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

③性质

（1）若玉，石，…，X〃的平均数为工，那么〃g+4,〃优2+4,，〃%+。的平均数为/位+4.

（2）数据王,七，…，乙与数据X'=E+〃，占'=W+出，。的方差相等，即数据经过平移后方差

不变.

（3）若玉,巧，…,乙的方差为那么叫%+b,…+b的方差为〃2s2

知识点4、百分位数

1.定义：一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有〃％的数据小于或等于这个值,

且至少有（10。-〃）％的数据大于或等于这个值.

2.计算一组几个数据第〃百分位数的步骤

第I步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算:九x〃％.

第3步，若/・不是整数，而大于，•的比邻整数为/，则第〃百分位数为第j项数据；若，・是整数，则第〃百分

位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

3.四分位数

即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数.

其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位

数等.

知识点5、事件间的关系及运算

定义符号表示图示

如果事件4发生，则事件B一定发生，这时称事

包含关系旬（或AQB）

件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）7--------

相等关系若83A且A3B,则事件4与事件8相等A=B

并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件8发生，

4U8（或A+5）

（和事件）称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）c03

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，

交事件

则称此事件为事件4与事件B的交事件（或积事ADB（或A・B）

（积事件）

件）cco

互斥事件若AQB为不可能事件，贝J称事件A与事件B互斥A^B=0

©0n

若AA6为不可能事件，AU8为必然事件，那么A、8=0且

对立事件

称事件A与事件B互为对立事件cOB

知识点6、古典概型

1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

2.古典概型的概率计算公式

一般地.设试验E是古典概型,样本空间。包含〃个样本点,事件A包含其中氏个样本点,则定义事件A

的概率24）=&二噜

n〃g）

其中〃（A）和〃（。）分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

3.概率的基本性质

性质1：对任意的事件A,都有

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即。（0）=1,P（0）=O.

性质3：如果事件A与事件B互斥,那么P（AUB）=P（A）+P（8）.

性质4；如果事件A与事件8互为对立事件，那么夕（8）=1-尸（4）,夕（A）=l-P（砌.

性质5：如果4口,那么P（A）＜P（B）.

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（4u8）=夕（A）+P（8）-尸（AcB）.

知识点7、相互独立事件

1、定义：对任意两个事件A与8,如果P（48）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件8相互独立，简称

为独立.

2、判断事件是否相互独立的方法

（1）定义法：若事件A的发生对事件8的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的

（2）公式法：若对两事件4,8有P（M）=P（A）尸（8）,则事件A,3相互独立.

3、相互独立事件的概率计算

己知两个事件4〃相互独立，它们的概率分别为/4）,P（B）,则有

事件概率

A,B同时发生P(A)P(B)

A,8都不发生P(~A)P(~B)

A,8恰有一个发生P(A)PCB)+P(T)P(B)

A,8中至少有一个发生P(A)PCB)+P(T)P(B)+P(A)P(B)

A,8中至多有一个发生P(A)P(万)+P(N)P(B)+P(工)P(N)

知识点8、频率稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试

验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率力（A）会逐渐稳定于事件A发生的概

率户（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率，（A）估计概率2人）.

m

如果在〃次重复进行的试验中，事件4发生的频率77,当〃很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估

m,、

计值为7，且OKP（A）K1.

03PART□

考点精析与突破

考点一简单随机抽样与分层抽样

解题策略

（1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限：②逐个抽取：③是不放回抽取；④是等可

能抽取，常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较多的情况）.

⑵分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比.该穿歌北数

总样本量N该层的个体数

②总体中某两层的个体数之比:样本中这两层抽取的个体数之比.

例I.（202425高三上•广东汕头•阶段练习）总体由编号01,例，…,29,例的30个个体组成,利用下面

的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第I行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取

两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）

第I行78166232080262426252536997280198

第2行32049234493582003623486969387481

A.27B.26C.25D.19

【答案】D

【详解】从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数，符合条件的编号依次有23,20,26,

24,25,19,03,…，

故第6个个体编号为19.

故选：D

例2.（202425高三上•广东•期中）某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育

锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本,则样本中女生的人数为（）

A.25B.15C.30D.20

【答案】D

【详解】2500人中女生人数为2500-1500=1000,

则容量为50的样本中女生的人数为螺x50=20.

故选：D

练习1.（2024.广东广州.模拟预测）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批（1000个）口罩的质

量，决定抽查其中的2%.在这个问题中下列说法正确的个数是（）

①总体是指这1000个口岸；②个体是每个口草；

③样本是按2%的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1（）（）0个口罩的质量”，而非“100（）个口罩"，所以①错误：

个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误：

样木是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩“，所以③错误；

样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000x2%=20,所以样本容量为20,④正确.

故选：A.

练习2.（202425高三下•广东汕头•期末）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从800支中抽取

60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按（XX）,001,…,799进行编号，如果从随机数表第7行

第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是（下面摘取了随

机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】704

【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157,245,506,704,

所以得到的第4个样本个体的编号是704.

故答案为：704

练习3.（2024.25高三上•广东湛江•期中）某学校有高中学生3000人,初中学生2000人.学生社团创办文

创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调

查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（）

A.150人B.200人C.300人D.500人

【答案】C

【详解】因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为照二，所以高中生抽取了300（）S=3（）0人.

2UUU1UI（J

故选：C.

练习4.（2024•广东江门•三模）其校高一、高二、高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分

层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为1:2:3,则该校高三的学生人数

为.

【答案】630

【详解】三个年级中抽取的人数匕和三个年级学生的人数比一样，

所以高三的学生人数为盒与x1260=630.

故答案为：630

考点一求几个数的平均数、中位数、众数、方差

例3.（202425高三上•广东佛山•期中）”体育强则中国强，国运兴则体育兴为备战2025年成都世界运

动会，己知某运动员某次特训的成绩分别为4,8,9.335.7,9,则下列说法缱用的是（）

A.这组数据的极差为6B.这组数据的众数为3

C.这组数据的平均数为6D.这组数据的方差为323

4

【答案】B

【详解】由数据3,3,4,5,7,8,9,9得，极差为6,众数为3,9,所以A正确,B错误.

-i-ij皿—3+3+4+5+7+8+9+9,--i-”

数据的平均数x=---------------------=6,所以C正确.

8

数据的方差$2=1［（3-6）2+（3-6）2+（4-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（8-6）2+（9-6）2+（9-6）［=?，所以D正

确.

故选：B.

例4.（202425高三上•广东广州・期末）设一组样本数据知几的平均数为3,方差为4,则数据小士,卬5，

2x（+l,2巧+1,2占+1,2匕+1的平均数和方差分别为（）

A.4,14B,4,16C.5,14D.5,16

【答案】C

I4］4

【详解】由样本数据用，8供，々的平均数为3,方差为4,得3尸=4,

4f=l4r=l

则EG=12,Z（K-3）2=16,

因此数据大,占户3，工4，2百+1,2X,-1,2X3+1,2X4+1的平均数为

+£（2七+1）］=（（3次七+4）=5,

b；=|/=|O1=|

144144

方差为金必（七一5厂+Z（2%+1-5）］=［［Z（Z-3-2尸+Z（2七一6+2厂］

8=fii=i3i=i/=i

14C414

=Z［（x,32）2I（2x.6|2尸］=：%（七3尸IZ（*3）i4=14.

8i=i3/=i2j=|

故选：c

练习1.（202425高三下•广东深圳•期末）已知一组数据4,2a,3-45,6的平均数为3,则"=（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

4+2。+3—a+5+6

【详解】因为数据4,243-。,5,6的平均数为3,可得=3,解得a=—3.

故选:A.

练习2.（202425高三上•广东广州•阶段练习）样本数据6,12,18,14,16,30去掉一个最低分的平均数

为（）

【答案】D

12+18+14+16+3。=”

【详解】去掉一个最低分6,剩余数据的平均数为

故选：D

练习3.（2024.25高三上•广东广州•期中）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数,

并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（）

4人敏

7580KS9095分救

A.众数是85B.中位数是80

C.众数是21D,中位数是12

【答案】A

【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85；

把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，

ifu5+12<30<31<5+12+21,故中位数是1(85+85)=85；

2

故只有选项A正确；

故选:A.

练习4.（2025•广东广州•模拟预测）对某商店一个月内每大的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如

图所示），则该样本的中位数、众数分别是（）

125

20233

3124489

455577889

50011479

6178

A.45,45B.45,46

C.46,45D.47,45

【答案】C

【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值:

气45+卫47二46,众数为出现最多的数，为45.

故选：C.

考点三频率分布直方图

解题策略

（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为7频：高率，因此涉及纵坐标中含参数的问题，应根据频率之和为1列式

组距

求解：

（2）根据频率分布直方图（表）求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和，

而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；

（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点，可以利用“比例法”求解.

例5.（2024•广东佛山.模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：kW-h）调查，将

得到的数据按[50,100）,[100,150）,[150,200）,[200,250）,[250,300b[300,350]分为6组，画出的频率分布直方图

如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在［200,350］内的户数为()

A.35B.40C.42D.45

【答案】B

【详解】易知(2〃z+3"?+56+0.0044+2〃?+"?)x50=l,所以13〃;=0.02—0.0044=0.0156,

即m=0.0012,

而月用电量落在［200.350］内的户数为(0.0044+2〃?+〃?)x50x100=40.

故选：B

例6.(2024.25高三上•广东江门,阶段练习)某中学举行了一次‘网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名

学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间［75,80)内的学生有()

。657075X0859095分数

A.80名B.10()名C.120名D.140名

【答案】B

【详解】由频率分布直方图可知(0.05+0.06+0.03+a+0.01+00)x5=l,解得〃=0.04,

所以成绩在区间［75,80)内的学生有500x0.04x5=100名.

故选：B.

练习I.(202425高三上•广东潮州•期中)某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户

居民，得到他们的月均用水量全部介于1/至21，之间，将结果按如下方式分成八组：第一组［1,3.5),第二

组［3.5,6),…，第八组［18.5,21］,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4

户居民，则第七组的频率为（

0.06D.0.07

【答案】C

4

【详解】第六组的频率为母=（）♦（）«,所以第七组的频率为1-0.08-2.5X

(0.016x2+0.032+0.08x2+0.12)=0.06.

故选：C

练习2.（2025・26高三上.广东梅州•期中）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市

随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小

于1.5立方米的用户数为（）

D.60

【答案】C

【详解】根据直方图可得川水量小于1.5立方米的用户数为200x（0.3+0.2）x0.5=50.

故答案为：C.

练习3.（202526高三上•广东•阶段练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机

抽取了80名学生的成绩,并进行分组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],绘制成如下频率分布直方

图，则频率分布直方图中。的值是

【详解】由图可知，10x(0010+4+0.030+0.025+0.015)=1,解得。=0.020.

故答案为：().020

练习4.(202425高三下•安徽合肥・期末)某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的

分数，将数据分成6组：[40,50)"50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率

分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据

【答案】0.01

【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间[40.50),60.60),由于学生中随机抽取了100名,

因此分数在[40,50),[50,60)的频数为15,因此这两个区间内的频率和为芸=0.15,

10()

x+IO«=O.I5.，八

设区间[40,50)的频率为工，则，x+10a+0.25+0.3+0.2+l0a=l'解得a=0.01.

故答案为：0.0L

考点四频率分布直方图的数字特征

解题策略

用频率分布直方图估计总体数字特征的方法：

(1)众数：最高小长方形底边中点的横坐标：

(2)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标:

(3)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

I

i

例7.(202425高三上•广东惠州,期中)某城市户居民的月平均用电量(单位：度)，以

[⑹,180),080,200),[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.则下

列说法馋族的是()

A.直方图中x=0.0075

B.图中所有矩形面枳之和为1

C.月平均用电量的中位数为225

D.在月平均用电量为[220,240),[240,26()),[260,280),(280,3(刈的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

11户居民，月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取5户.

【答案】C

【详解】因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1,

则(0.002+0.0025+0.005+X+0.0095+0.011+0.0125)x20=1,

得了=0.(X)75,A正确；

由频率分布直方图性质所有矩形面积和为1,B正确，

因3个矩形面积之和为(0.(X)2+0.(X)95+0.011)x20=().45<().5.

前4个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.01l+0.0125)x20-0.7>0.5.

则中位数在[220,240)内，设为儿则()，-220)x0.0125=05-0.45,得)，=224,即中位数为224,C错误;

月平均用电量为【220.240)的居民对应的频率为：0.0125x20=0.25.

月平均用电量为[220,240)4240,260),[260,280),[28OJOO)的四组居民对应频率之和为：1-0.45=0.55.

则应抽取居民的户数为：11、葭=5,D正确.

*7•

故选：C.

例8.（2024.25高三上•广东揭阳•阶段练习）某班全体学生参加物理测试成绩（单位:分）的频率分布直方图如

图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（）分

C.70,68,70D.68,70,70

【答案】B

【详解】解：由题意知众数为"言二70

因为0.005x20+0.0l0x20=0.3<0.5,

(0.005+0.010+0.020)x20=0.7>0.5,

所以中位数位于[60,80],

设中位数为x,则（0.005+0.010）x20+（.¥-60）x20=0.5,

解得x=70,

平均数为30x0.01+50x0.2+70xG.4+90x0.3=68.

故选:B.

练习1.（2025・广东中山•模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的

第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.在杂交水稻

试验田中随机抽取/100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同

一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（）

频率

B.这100株水稻的稻穗数的众数约为250

C.这100株水稻的稻穗数的平均数约为256

D.这100株水稻的稻穗数的中位数约为252

【答案】D

【详解】对于选项A:由频率直方图可知组距为20,则

(0.00510.0075I0.0175IaI0.0075i0.005I0.0025)x20-0.05+0.1+0.15+().35+20a+0.15-1.

化简得0.8+204=1,0.01.因此选项A是止确的.

对干选项B：从图中可以看出，频率最高的矩形对应的区间是[240,260L

其中点为240；260=25(),即选项B是正确的.

对「选项C：易知|(21OxO.OO5+23OxO.OO75+25OxO.O175+27OxO.Ol+29OxO.OO75+31OxO.OO25)x2O

=(1.05+1.725+4.375+2.7+2.175+0.775)x20=256,可得C是正确的.

对干选项D：从图中可以看出，前两个区间的累计频率为(0.005+0.0075)x20=0.25,

前三个区间的累计频率为(0.005+0.0075+0.0175)x20=0.6,

因此中位数位于第三个区间，设中位数为x,

则可得0.25+(x-240)x0.0175=0.5,

解得x=254,即选项D是错误的.

故选：D.

练习2.(202425高三上•广东广州•阶段练习)我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节

水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t),将数

据按照口1),1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数

据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为()

A.2.45B.2.46C.2.47D.2.48

【答案】B

【详解】0.12+0.22+0.36+a+0.12=1,解得。=0.18,

0.5x0.12+1.5x0.22+2.5x0.36+3.5x0.18+4.5x0.12=2.46.

估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46

故选：B

练习3.(2024.25高三上•广东江门・期中)某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞

赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[50,100]内，按分数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100],得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论不止项的是()

八频率/组距

0.03-------------

0.02------------------

0.01---1-

Ly_________________

O5060708090100成绩份

A.成绩在[80,90)上的人数最多B,成绩不低于70分的学生所占比例为70%

C.50名学生成绩的平均分小了•中位数D.50名学生成绩的极差为50

【答案】D

【详解】设[70,80)组的频率为“，则由各组频率之和为1可得

10x(0.01+0.02+0.03+0.02)+a=0.8+a=1,解得a=0.2；

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]各组频率依次为:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

0.1,0.2,0.2,03,0.2：

对于A,[80,90)组频率最大，即成绩在[80,90)上的人数最多，放A正确；

对于B,成绩低于70分的学生频率为0.1+0.2=03,即不低于70分的学生频率为1-03=0.7,

所以成绩不低于70分的学生所占比例为70%,故B正确；

对于C,根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是

55x0.1+65x0.2+75x0.2+85x0.34-95x0.2=78,

lh0.1+0.2+0.2=0.5,故50名学生成绩的中位数为80,

所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确:

对于D,极差为数据中最大值与最小值的差，已知50名学生的成绩都在区间［50,100］内，但成绩的最大

值不一定是100,最小值也不一定是50,故极差小于等于50,

但不一定等于50,故D错误.

故选:D.

练习4.（202425高三上•广东江门•期末）对一批底部周长（单位：cm）在［80,130］内的树木进行研究，从

中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长

cm.

【详解】由题图知，底部周长的众数是10°；11°=105（cm）；

因为前两组的频率之和为10（0.015+0.025）=0.4<0.5,

前三组的频率之和为10(0.015+0.025+003)=0.7＞。5,

所以中位数在［100,110）内，设为工，则0.15+0.25+0.03（x700）=0.5,

解得x=§+100=q一(cm)；

平均数是。15x85+0.25x95+0.3x105+0.2x115+0.1x125=103.5(cm).

310

故答案为；105；—；103.5.

考点五百分位数的估计

解题策略

（I）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列；

I

-（2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方

法淇次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法及比例法设出百分位数，利用比例列方程求解.

例9.（202425高三上•广东貂关阶段练习）数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第60百分

位数是（）.

A.19B.21C.23D.23.5

【答案】B

【详解】数据按从小到大排列为：12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,共10个数,

因为10x60%=6,

所以第60百分位数是1三9+二23=21.

故选：B

例10.（2025-26高三上•广东佛山•阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率

分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为分.

频率

【答案】86.25

【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为（0.004+0.006+0.020+0.030）xl0=0.6<0.75,

前五个小矩形的面积之和为Q6+0.024X10=0.84>0.75,

因此75%分位数位于［80,90）内，双）+1（）x察笑=86.25,

0.84-0.6

所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分.

故答案为：86.25

练习1.（2025•广东佛山三模）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不

含中国香港、中国台湾）：26,28,32,38,38,40,48,则这组数据的70%分位数为（）

A.26B.32C.35D.38

【答案】D

【详解】由于7x70%=4.9,这组数据的70%分位数为第5个数38,

故选：D

练习2.（202526高三上•广东惠州•阶段练习）已知样本数据5,6,6,6,8,9,10,II,则该组数据的

第60百分位数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】因为：8x60%=4.8,

所以样本数据5,6.6.6.8.9,10.11的第60百分位数是第5个数为8.

故选：C

练习3.（202425高三下•广东深圳•阶段练习）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40,40,

20,18,16,15,14,13,则这组数据的上四分位数为（）

A.40B.30C.15D.14.5

【答案】B

【详解】由题设,数据从小到大为13,14,15,16,18,20,40.40,且8x75%=6,

所以数据的上四分位数为型=4=30.

故选：B

练习4.（202425高三上•广东佛山•阶段练习）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用

人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如卜频率分布直方

图，则图中〃=一,根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为.

【详解】由频率分布直方图可得（0.01+0.015+0.035+〃+0.01）xl0=l,可得〃=0.03；

前三组的频率之和为0.1+0.15+（）35=0.6<（）.75,

前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75,所以满意度计分的第三四分位数〃?480,90）,

所以m=80+舞罢xl0=85,即满意度计分的第三四分位数约为85.

0.9-0.O

故答案为：0.03；85.

考点六古典概型的计算

解题策略

（1）判断是否为占典概型，关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性；

（2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数4;

③代入公式求出概率尸（A）.

例II.（202425高三上•广・东深圳•期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2

张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（）

I373

A.—B.—C.—D.-

1010105

【答案】B

【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B,3张没有奖品的抽奖券记为mhfc,

则5张抽奖券中，抽取2张有:（4⑸,共10种口J能,

小李不能获得奖品的情况：3,b）,（a,c）,S,c）,共有3种可能,

3

所以小李不能获得奖品的概率用言

故选：B

例12.（2025・26高三上•广东深圳•开学考试）已知甲袋中有4个白球、上个红球，乙袋中有2个白球、4个红

球，各个球的大小与质地相同.现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色

不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则工=.

【答案】2或6

【详解】设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件8为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相

同”，

则P玲（/人八卜0+4.司v+仁X?+^^_川24=4一x2+^-&=不，

8A8

依题意（x+4）（x+3）=正解得*=2或x=6.

故答案为：2或6.

练习1.（202526高三上•广东•阶段练习）某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为

55,58,61,63,65,68,70,73,75,78,80,82,83,85,86,88,90,92,93,95.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分

位数为〃?，这20名学生中此次物理测验成绩不低于，”分的学生有。人，现从这。人中随机抽取2人，则这

2人中恰有1人此次物理测验成绩高于9