浙江省宁波市2026届高三年级上册高考模拟考试数学试题（解析版）

浙江省宁波市2026届高三上学期高考模拟考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={3,5,6,8},5={4,5,7,8},则()

A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}

C.{3,6)D,{4,7}

【答案】B

【解析】因为A={3,5,6,8},B={4,5,7,8),

所以Ac8={5,8}.

故选：B.

2.复数(7+i)(2+D的虚部为()

-1

A.-3B.3C.-3iD.3i

【答案】A

【解析】复数日曲出1=311=上*=

•••/

-1-1-r

故虚部为-3.

故选:A.

3.已知。=(一6,-8),5=(4"),若〃//〃，则方卜()

1020

A.—B.5C.—D.10

33

【答案】c

【解析】因为。=(-6,—8),力=(4/)，且4/必，则-6，二一32,解得/=

所以3=(4,争，则W=p+得JW，

故选：C.

4.在(x+y)(x-y)s的展开式中，的系数为(:

A.OB.20C.10D.-10

【答案】A

［解析］由题意得(x-yf展开式的通项公式为Tg=C%5”(―y);Z=0,1.2,3.4.5,

令k=2,q=C1"2(_y)2=1Qx3y2,

令攵=3,7；=Cjx5-3(-y)3=-10x2/,

所以dy3的系数为o.

故选:A.

5.下面四个条件中，使a>人成立的必要不充分条件是()

A.a-\>bB.a+\>bC.\a\>\b\D.>hy

【答案】B

【解析】对■于A,a-\>b=>a>b^而〃不能推出〃一12〃，例如4>3.5而4一1<3.5.

所以。一12〃是的充分不必要条件，故A不正确

对于B,4+12人不能推出，例如3.5+124,但3.5<4；而。

所以。+12人是的必要不充分条件，故B正确.

对于C,不能推出〃>〃，例如|T>[3|但>4<3；心〃不能推出1。川”，例如

2>-3,但|2|<|-3].所以MT勿是的既不充分也不必要条件，故C错误.

对于D,因为y=V是增函数，所以/>〃3oa>〃，故〃是的充要条件所以

D不正确.

故选：B.

6.大气压强〃=它的单位是“帕斯卡”(Pa),它随海拔高度〃(m)的变化规律

受力面积

可以近似的表示为〃=〃(户-"'(其中e为自然对数的底数，“。是海平面大气压强，k为常

数).已知宇波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m,大气压强为

90900Pa,宁波城区一处的海拔约为4m,大气压强为lOIOOOPa.现测得某山峰上一处的大气

压强为80800Pa,请估计该处的海拔高度(单位：m)位于以下哪个范围内？()(参

考数据：lg2ao.3010,lg3«0.4771)

A.(2900,3200)B.(2500,2800)

C.(2000,2300)D.(1600,1900)

【答案】C

【解析】设城区的压强为〃I，四明山的压强为〃2，

,o,8A

由题意得Pi=/空5=101000,p2=poe-=90900,

两式作除法可得建喘’解得

9,

1014

对于目标点，可得P（）e*=80800,由已知得=101000,

ln-

#34)=2,解得〃=4

两式作除法可得e-1014+4,

4

9

,5,5

In—,gz

则〃=—j^4()14+4=,4+4=廉备⑼4+4

,io

In-,g

9T

l-lg2-2lg21-31g2

-1014+4=-1014+4

l-21g3l-21g3

1-3x0.3010

・1014+4。2152m,在(2000,2300)内，故C正确.

1-2x0.4771

故选：C.

22

7.双曲线K:二-5一1必＞0的＞0）的左、右焦点分别为耳，鸟，点〃是以再名为直径

crb~

的圆与双曲线E的一个交点，若归耳|+归用=：忻周，则双曲线E的离心率为（）

A型B闻C-D

16477

【答案】D

【解析】如图,设尸点在y轴右侧,则|P4|一忸闾=2〃，

因为点尸在以耳鸟为直径的圆上，

所以工刊柩是直角三角形，户用2+归国2=忻用2,

即+j=4/,化简得/二乙2,

UJ(4J16

所以离心率《二£二也.

a7

故选：D.

8.已知函数/(x)=sin(〃犹+。)(。＞0),若对任意的xwR,、f(x+兀)=/(x)恒成立,

且当不二^时，/(x)取到最大值，则/(g］的所有可能取值构成的集合为()

6\37

口用

【答案】c

【解析】vf(x+Ji)=fM,对任意的xwR恒成立,

二・函数周期7满足元=〃7(〃eN*),

,/T=—(<y>0),

CD

:.co=2n，

•.•当x=Z时，/(»取到最大值，，*in〃>与+。］=1,

6I6J

Tt7t...„711171_,

二.e—+0=—+2E,kwZ,BP69=------+2E,

6223

.兀277717imt\.7inn〃兀

sin(o—+(p=sin-----+----------+2KTI=sin—d-------=cos

<3323)(23)

r,1〃兀

•・•nGN*,则cos(§的可能值为:

当〃=1时，cos?=:；当〃=2时，COS—2兀=।;当〃=3时、COS7T=-1;

3232

当〃=4时，cos—=—；当〃=5时，cos—=—；当，=6时，cos2兀=1；

3232

.・・当〃27时，值循环出现.

f—=cosf］的所有可能取值集合为：,一1，一3'3'1''故选：c

15yziJ/ZZ

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知等比数列｛q｝,满足《生=1，则下面说法正确的是（）

A.若则数列｛%｝是递减数列

B.若Ovq<l,则数列况｝是递减数列

C.若一1<勺<0,则数列｛4｝是递增数列

D.若4<-1,则数列｛qj是递增数列

【答案】AD

1

【解析】由等比数列44=1，则公比4二二，

a\

对于选项A,若q>1,则公比4二­£（0，1）,故"二^£（0,1）,

Cl\an

又4>1,••.数列｛〃”｝是递减数列，故选项A正确.

对于选项B,若0cqvl,则公比4=3£（1，+8）,

a\

又.•.数列｛qj是递增数列，故选项B错误.

对于选项C,若-l<q<0,则公比4二二£（1，+8）,故也二夕^。,”），

a\an

乂-1<4<0,.•.数列｛〃”｝是递减数列，故选项C错误.

对于选项D,若4<-1,则公比4二二£（。/），故也="£（0,1）,

a\Gn

又4<-1,.•.数列｛为｝是递增数列，故选项D正确.

故选：AD.

10.在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5,6,7,8,9,10这

六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分

（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六

个有效得分进行统计，发现其平均值为”.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定

2

能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（）

A.仅出现一个分数是5B.极差为4

C.众数为7D.方差不超过3

【答案】ACD

【解析】因为平均数为纹，所以六个数据的总和为"x6=45,

22

六个有效得分的中位数如果超过8,则六个数据从小到大排列后的第三、第四个数据只能为

8,9或9,9或9,10或10,10,以下分四种情况讨论:

(1)若为8,9,因为只能从5,6,7,8,9,10中取，则前两个数据的和最小为5+5=10,

此时四个数据的和为5+5+8+9=27,则剩下的两个数据和为45—27=18,

所以这组数据只能为5,5,8,9,9,9；

(2)若为9,9,因为只能从5,6,7,8,9,10中取，则前两个数据的和最小为5+5=10,

此时四个数据的和为5+5+9+9=28,则剩下的两个数据和为45—28=17,

因为后两个数据不小于9,因此不存在第三、第四个分数为9,9的有效得分；

(3)若为9,10,因为只能从5,6,7,8,9,10中取,则前两个数据的和最小为5+5=10,

此时这六个数据为5,5,9,10,10,10,和为5+5+9+10+10+10=49>45,

因此不存在第三、第四个数据为9,10的有效得分；

(4)若为10,10,因为只能从5,6,7,8,9,10中取,则前两个数据的和最小为5+5=10,

此时这六个数据为5,5,10,10,10,10,和为5+5+10+10+10+10=50>45,

因此不存在第三、第四个数据为10,10的有效得分；

综上所述，要使得中位数超过8,则这六个有效得分只能是5,5,8,9,9,9,中位数为

-------=«.5>8

2

因此，只要不是这组数据，即可保证中位数不超过8,

这组数据中有2个5,极差为9一5二4,众数为9,

方差为

=3.25>3

6

所以仅出现一个分数是5的数据中位数不会超过8,A正确；

极差为4的数据可以是5,5,8,9,9,9,中位数8.5>8,B错误;

众数是7的数据中位数不会超过8,C正确；

方差不超过3的数据中位数不会超过8,D止确；

故选：ACD.

11.在圆台OQ中，001=2,AB,C。分别为上、下底面的直径，AB1CD,且CO二

2A3=4，动点P、Q分别在线段AC和上运动(含端点)，满足PQ1OO{,则()

14兀

A.圆台OQ的体积为——

3

AS

B.四面体A-BC。外接球的表面积为一兀

4

C.射线PQ交圆台0a侧面于点M,则PM的最小值为U

5

2

D.射线QP交圆台0Q侧面于点N,则PN的最大值为《

【答案】ABD

【解析】对于A,由己知（兀•/+兀.2?+而■）.2=—,

故A正确;

对于B,由对称性可知球心S在。01直线上，设半径为〃

则2=°a=CS+S«=｛户一4+d户一1，解得

故四面体A—BCD外接球的表面积为4兀产=—7T,故B正确：

对于C,如图圆。所在平面平行于底面，则尸Qu圆Q所在平面,

如图建立空间直角坐标系，

图2

则4(1,0,2),C(0,-2,0),a(0,0,2),

设CP=4C4(0W/lWl),

则C4=(l,2,2),CP=/lC4nP(Z2/l-2,2/l),

因为PQJ_Oa，OQ=(0,0,2),设Q(0,0,z),

所以PQ=(―42-22,z-22),PQg=0,则Q(0,0,22),

由相似可得圆Q的半径R=QM=QN=2-九,

PQ=/2+(2—22)2=、5九2—8/1+4,则PM=R+QQ=2—/l+j5=2-8/l+4,

令)(4)=2—4+15/12一8/1+4,

则/'(%)=54右W0n/(2)在440』]上单调递减，

所以/(几入血=/0)=2,则尸M的最小值为2,故C错误；

对于D,由C,同理可得|PN|二R—|PQ|=2_——j5/l2—84+4,

令〃(4=2—4一15万一8/1+4,则/(力=-5"+4—>/5储一8-+4,

V522-82+4

当4£(0,|卜j,/(/1)>0,力(/1)单调递增，

当;时，"(#<(),〃(为单调递减，

所以〃(勾max=〃(1)=[,则尸N的最大值为故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点A(l,2)在抛物线C：y2=2内上，则A到C的焦点的距离为__________.

【答案】2

【解析】由题意知，将点4。,2)代入抛物线(？：)，2=2/状，可得〃=2,

••・抛物线C：V=4x,可知抛物线的准线方程：x=-l,

结合抛物线的性质：抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即4=1-(-1)=2.

故答案为：2.

13.已知函数/(x)=xc、-分。有两个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】(0,+8)

【解析】:函数/(幻二比"一火一。有两个零点，

/.xe'=ov+a有两个不同的根，

当工二一1时，左边为—e-,右边为0,左边不等于右边，故工二一1不是方程的解;

当工工一1时，a=-^―,

x+1

Xex(x2+x+l)

令求导得短3=:乙

x+\(X+1)

*/e'>0,x2+x4~l=++—>0♦

ex(x2+x+\]

••・g'(x)=-—^->(b

(x+1)

.•.g(x)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,40。)上单调递增，

.•.当X->-8时，g(x)f0,且g(x)>0,

当xf-r时，g(x)->y°，

当时，g(x)f―，当Kf+8时，g(x)->+oo,g⑼=(),

函数图像如下图所示，

...要使y=a与g(x)的图像有两个交点，

则需满足〃>0,此时丁二。与g")在和(T”)上各有一个交点.

「•实数。的取值范围为(0,十2)，

故答案为：(0,+8).

14.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同

的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，

则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是.

【答案】-

3

【解析】设事件A表示“第一次摸到红球“，事件B表示“第二次摸到红球”.

设事件G表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”，

1317

且尸(0=尸(。2)二「，P(A|C,)=-=-,p(A|c)=-,

2625

根据全概率公式，得P(A)=尸(G)尸(A|G)十尸(G)P(A|C2)=ixl+lx|=^,

在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球，

321

所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率P(A8|G)=:x===,

655

在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，

211

所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率P(AB\C2)=-x-=—f

51()

根据全概率公式，得P(AB)=P(Ci)P(AB\Ci)+P(C2)P(ABIC2)

11113

=—x—+—x——=——,

2521020

所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为

3

z同

\(--290

一3,

20

故答案为：7-

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知凡Ac分别为V48C三个内角A8,C的对边，且

acosC+Kasin=0.

(1)求A；

(2)若cos(B+；)=；U，且丫48。的面积为8+2石，求〃的值.

解：(1)由题可得siiL4cosC+GsinAsinC-sin3-sinC=0，

又sin8=sin(A+C)=sirL4cosC+cosAsinC,所以瓜in人sinC-cosAsinC-sinC=(),

又CW(0,JI),则sinCwO,所以1=GsinA-cosA=2sin(A-却，

得到=又A-gwj-g，等］所以A—2=乌，解得A=2.

I6j2666J663

(2)因为8c(),3•］,则8+：W兀1171

I3)44，-|T

V2

因为cosB+—

410

,71TC、［五ee立3

所以sin8=sinBT--------=---------X--------------------X--------=一，

44)1021025

八f7C71x/2V27>/2>/24

cosn=cosB+---=----x----1----x---=—

I441021025

1百4133+46

所以sinC=sin(4+3)=sin—+B=——X—+—X—=----------

<3252510

又面积5=-«Z?sinC=2R‘sid4sin6sinC==8+2养，其中氏为NABC

250

外接圆的半径,

解得R=W,所以b=2Rsin8=4.

3

16.记S〃为正项数列｛对｝的前〃项和，已知4s“=d+2%-3.

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

(2)若数列也｝满足4=1，求证：4+4+&+一+H<"

M+22

(1)解：当〃=1时，可得q=3,

当〃22时，4S〃_|=4；_|+2,*-3,45,=。：+2。〃-3・

作差可得2)(%+%)=。,

因为是正项数列，所以为-。,-=2,即数列｛q,｝为等差数列,

所以4”=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)证明：由题可得芋=/J,

b.q,+2

所以去优4.24.3o,q40,15

——=-------=,又A=1,

4〃30向％(2〃+1)(2〃+3)

1515111

所以a=(2〃+1)(2〃+3)212〃+1

2〃+3

又4二1也满足上式,

,15/11111115f11

所以，4+区+4++〃=一———+———++一

〃235572/1+12〃+32132〃+3

5155

-2-2(2/7+3)2,

17.如图，在四棱锥尸一48CD中，平面0A3_L平面A3CD,底面A3co是直角梯形,

AD//BC,ABLAD.LPA=AD=2BC，石为C。的中点，产为线段上的点，

(1)证明：E/〃平面PA5；

(2)若PB=y^BC=y^AB，点M是AB的中点,求平面ME厂与平面包尸夹角的余

弦值.

(1)证明：在线段雨上取N,使得AN=!A尸，取线段A8的中点M，连接

4

EM,MN,NF,

PNPF3NFPF333

则=t=二，NF；/AD,-=—=NF=-AD=-BC,

PAPD4ADPD442

3

在梯形A8CD中，AD//BC,AD=2BC,£为CO的中点,则ME//A£>,ME=-8C,

2

因此ME//NF、ME=NF,四边形FNME为平行四边形,EF/1MN,

而所二平面MVu平面Q48，所以所〃平面F4a

(2)解：由平面Q481.平面A3CD，平面248c平面A3CD=A3,

AB1AD,AQu平面ABC。，则AO_L平面Q44,

因为左=AO=28C,PB=4^BC=4^AB，

则「+贝!即直线A3,A。,AP两两垂直,

以A为坐标原点，直线AB,AO,A尸分别为轴建立空间直角坐标系,

不妨设AB=2,则P(0,0,4),M(l,0,0),E(l,3,0),尸(0,3,1),

则PF=(0,3,-3),EF=(-l,0,l),ME=(0,3,0),

设平面ME/7的法向量为〃=,

n-EF=一。+c=0

则《,取a=l,得〃=(1,0,1),

n•ME=3Z>=0

设平面PEF的法向量为用=(x,Fz),

m-PF-3y-3z=0

则»取Z=l，得〃？=(1,L1)，

m•EF=-x+z=0

|m|_2_V6

则|COS1=

\m\-\n\6♦近3

所以平面M石尸与平面产石尸夹角的余弦值为亚

3

是。上的点.

2，

(1)求椭圆C的方程;

(2)过7(1,0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆。在x轴上方部分于。，£两点.

(i)求_O7E面积的最大值;

(ii)过力4延长线上的点。作椭圆C的两条切线4，4,若7D与4交于点M，TE与k

交于点N,求证：直线A1N过定点.

(1)解：已知椭圆C:与+?=1(〃＞人＞0)的离心率为乎,

是。上的点.

解得。=2,b=l,c=V3»

所以椭圆C的方程为—+/=1；

4.

(2)(i)解：显然当。石与y轴垂直时，TO,7H的倾斜角不互补,

设。E的方程为：*="少+〃(〃2工0),设力(％,)[),后(工2，%)，

x=my+n

22

联立2，消x得:(>+4)y+2nmy+n-4=(),

—+y2=l

4'

2〃"？n2-4

所以凹+兄=一'J'M=

nf+4m2+4

则%+勉一=上+上=AL+AL

X1-1x2-1my{+〃-1my2+n-\

所以2殴斗+(〃T)()'i+%)=°，

代入得：2m(/一4)一2加〃(〃-1)=2mti-Sm=0,

所以〃=4,即直线QE过定点(4,0).

8机12

所以)'1+必=-^―=—5—7

m~+4tn+4

2

所以|DE\=\lm+1Jy,-y2\=+1-，

「3

又T到DE的距离为d=/,,

J〃『+J

s=L\DE\,d=^m=___________________<3

所以°211拉2+4/216-4>当，〃2=28时取等号.

m'12+I4_]2

即」O7E面积的最大值为』；

4

(ii)证明：设P(I,〃)，设过点〃的椭圆。的两条切线为4：y=勺(x—1)+〃，/=1,2,

y=4(xT)+〃

联立S2,

[a-b"

得+/?2卜2+2〃%(〃一+-%24〃+42P2一〃2。2=0,

由相切得/=0,化简得36+2/的+1-〃2=0,

_21-n~

所以4+&,=-二"〃・k、k、=----♦

一3123

y=kx+tp-t-k.

设MV:y=kY+f,联立，k网/_])+〃，解得/二H

y=kx+tp-t-k^

联立《y=&(l)+p'解得/=E]

则%+小六十年^管于是十。，化简得：4E"

19.已知函数/Cr)=aln(x+1)—2sinx.

(1)若曲线y=/(x)在点(。,/(0))处的切线方程为)'二冗，求实数〃的值;

(2)若/")>0对小£(0,兀)恒成立，求整数。的最小值；

(3)当ae(0,l)时，证明：/(X)在。兀)上存在唯一零点々和唯一极小值点看，且

x}<x2<2x].

(1)解：由函数/(x)=Qln(x+l)-2sin戈，可得/'(x)=——2cosx,

因为曲线y=fM在点(0,/(0))处的切线方程为y=七

所以/'(0)=。-2=1,解得。=3.

(2)解：由/(0)=0,且/'(x)=-2--2cosx,

x+1

由/'(0)=〃-220,可得〃22,

当a=2时，/(x)=21n(x+l)-2sinx,=2In^y+lj-2<0,不符合，故

«>3,

法一：当。=3时成立，此时/(x)=31n(x+l)-2sinx,

当0<x<1时，fM=31n(x4-1)-2sin>3ln(x+1)-2JV,

3I_7r

令g*)=31n(x+l)-2.j可得一一2=三±，

''JC+1x+l

(1A「1一

所以g(x)在0,-递增，在-J递减，

又g(0)=0,g(l)=31n2-2>0,所以g(x)>0,f(x)>0.

当1cx<兀时;可得31n(x+l)>31n2>2N2sinx,所以/(x)>0.

所以当a=3时，均有/(、)=31。。+1)-25皿%>(^']^龙£(0,兀)恒成立，

综上所述，整数。的最小直为3.

法二：当。=3时成立，此时/(x)=31n(x+l)-2sinx,

当。〈工工]时，/z(x)=—j--2cosx,令机(x)=/f(x)=—j--2cosx,

3

可得"z'(x)=2sinX-------在（0,］上递增,

一(x+1)

因为〃2'(0)<0,mr—>0,

、2,