圆的方程（原卷版）-2025-2026学年高二数学复习专项突破（人教A版选择性必修第一册）

2.4：圆的方程

【知识梳理】

【知识梳理】

知识点一圆的标准方程

(1)条件：圆心为C(m半径长为匚

(2)方程：(x—a)2+(y—b)2=i2.

(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为，•的圆的方程是户.

知识点二圆的一般方程

1.圆的一般方程

当。2+£2—4广＞0时，二元二次方程/+产+。k+&+尸=()称为圆的一般方程.

2.方程/+炉+力丫+⑶+尸=。表示的图形

条件图形

Z)2+£^-4F<0不表示任何图形

表示一个点(2,2)

£>2+£2-4F=0

-E]。2+炉_4尸

。2+炉—4。0表示以122J为圆心，以"十,％为半径的圆

2

1

知识点三点与圆的位置关系

点"(xq,泗)与圆C：(X-4)2+6-b)2=/的位置关系及判断方法

位置关系利用距离判断利用方程判断

点M在圆上\CM\=r。0—4)2+。，0—〃产=户

点M在圆外|GW|>r(刈一疗+,一力2》产

点M在圆内|GW|<r(何一编2+0,0—力)2〈户

【例题详解】

题型一、求圆的标准方程

【例1】.(25-26高二上•陕西渭南•阶段练习)根据下列条件，求圆的标准方程：

⑴过点(0,1)和点(2,1),半径为石；

⑵过三点0(0,0),%(-1,3),%(-3,7).

【变式(25-26高二上•全国•课堂例题)根据下列条件，求圆的标准方程：

⑴圆心在点C(—2,1),且过点力(2,—2)：

⑵过点(0,1)和点(2,1),半径为6；

⑶过三点。(。⑼,％(T3),%(-3,-1).

【变式2].(24-25高二上•广东深圳的中)求满足下列条件的圆的标准方程.

⑴圆心为(2,3),经过点为-1)；

⑵圆心在直线x=-I上，且与y轴交干点4(0,4),5(0,2).

题型二，圆的一般方程的求圆心与半径

【例2】.(24-25高二上•浙江杭州•期末)已知。。:/+)，2+2》-亚\/；=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为()

夜

-

2

&在

-

22

【变式1].(24-25高二上•湖南永州•阶段练习)圆。:/+/+2》-4y+l=0的圆心坐标为()

A.(1,2)B.(1,-2)C.(T-2)D.(—1,2)

2

【变式2].(24-25高二上•广东湛江•朗中)圆/+/+入-4)，+3=0的圆心和半径分别为()

A.(-1,2),V2B.(-1,2),>/3

C.(1,-2),后D.(1,-2),^

题型三：求圆的一般方程

【例3】.(23-24高二上•新疆喀什•期中)已知三角形川纥的三个顶点为力8(-4,0),C(4,-4),

⑴求三角形ABC外接圆Q的方程；

⑵判断点M(3,-1),切2(2,-3)是否在这个圆上.

【变式1】.(23-24高二上•新疆塔城•期中)已知。三个顶点的坐标分别为力(0,4),5(-3,-1).C(-2,2).

⑴求A3边中线所在直线的方程：

⑵求△,43C'外接圆的一般方程.

【变式2].(24-25高二上•上海•期中)若圆C过点0(0,0),力(4,0),8(2,2).

⑴求圆C的一般方程；

(2)求圆C关于直线八y=2x+3对称的圆C的标准方程.

题型四：二元二次方程表示圆的参数问题

【例4】.(25・26高二上•陕西渭南•阶段练习)已知方程j+产―2(f3)x+2(l—犷卜+1小+9=0表示一个圆.

⑴求/的取值范围：

⑵求这个圆的圆心和半径；

【变式1].(24-25高二上•河南许昌・期中)若方程为2(〃-1)》+/町，+〃/-2=0表示圆河.点4(1,-2),

8(—1,4)在圆N上，

⑴求实数〃?的取值范围.

(2)求出圆M的圆心坐标和半径,并求当小=1时圆M的方程.

⑶求过点A,B且圆心在直线2x-尸4=0上的圆N的方程.

3

【变式2].（22-23高二上•重庆渝中•阶段练习）已知圆。的方程为：/-2（"1）、+/-2+2/=0（”。）

⑴求实数。的取值范闱.

⑵当圆C半径最大时，点。在圆C上，点。在直线4=0上，求|尸0的最小值.

题型五：圆的定点问题

【例5】.（23-24高二上•湖北荆州•期末）圆+V+G—2a."5=0恒过的定点为（）

A.（-2,1）,（2,-1）B.（-1,-2）,（2,1）

C.（-1,-2）,（1,2）D.（-2,-1）,（2,1）

【变式1】.（2024高二•全国•专题练习）已知曲线。：（1+。）/+（1+。）_/-4工+8抄=0.

⑴当。取何值时，方程表示圆？

⑵求证：不论。为何值，曲线C必过两定点.

【变式2].（21-22高二上•安徽•阶段练习）若圆Cr+/—（加―2）x+（〃?-2）y+/-3加+2=0过坐标原点，则实

数w的值为（）

A.1B.2C.2或1D.-2或一1

【变式3].（25-26高二上•湖北武汉•阶段练习）对任意实数。工-2,动圆5+2）/+5+2）/一4Y-2〃=0恒过两个

定点，请写出一个定点坐标.

题型六：圆的方程综合问题

【例6】.（25-26高二上•宁夏银川•阶段练习）已知圆。经过点4-1,1）,3（夏）,且圆心C在直线y=-3x上.

⑴求圆。的方程；

⑵若点P（x»）在圆C上，求/+/的最大值与最小值.

4

【变式1].(25-26高二上•河南南阳•开学考试)根据下列条件，求圆的方程.

⑴圆心是(4,0),且过点(2,2)；

⑵经过点力(-4,-5),8(6,-1),且以线段为直径的圆的方程；

⑶已知VABC的三个顶点为力(1,4),川-2,3)((4,-5),求VABC的外接圆方程.

【变式1].(22-23高二上•江苏•期末)已知圆。的圆心在x轴上，并且过4(1,3),8(3,3)两点.

⑴求圆。的方程；

(2)若尸为圆C上任意一点，定点"(8,0)，点。满足丽=3丽，求点。的轨迹.

【高分演练】

一、单选题

1.(25-26高二上•江苏•阶段练习)若方程/+『+4〃岚一2歹+4〃?2一〃,=0表示一个圆，则实数小的取值范围是()

A.m<-\B.W1C.m>-1D.〃仑一1

2.(25-26高二上•浙江舟山•阶段练习)已知圆的方程为x2+j,2-2x+6y+l=0,则该圆的半径为()

A.73B.3C.710D.9

3.(25-26高二上•黑龙江大庆•阶段练习)已知直线/:依-y-必+1=0恒过定点P,则以P为圆心，2为直径的圆的

方程为()

A.(x-4)2+(y-l)2=4B.(x+4)2+(y+1)2=4

C.(x-4/+(y-l)2=lD.(X+4)2+(^+1)2=I

4.(25.26高二上.湖南长沙.阶段练习)圆时：(.丫-3)2+()，+4)2=1关于直线》―—2=0对称的圆心的方程是()

A.(X+2)2+&+1)2=1B.(,r-2)2+(y-l)2=l

C.(X-2)2+(.F+1)2=1D.(X+2)2+(^-1)2=1

5.(25-26高二上•重庆•开学考试)点P在圆W+炉=36上运动，它与点0(4,0)所连线段中点为M,则点M轨迹方

程为()

A.(X-2)2+/=9B.(X+2)2+/=9C.x2+(y-2)2=9D.A-2+(y+2)2=9

5

6.（2425高二下•甘肃白银•期末）圆心在直线N=x上，且经过点尸（3,1）,的圆的方程为（）

A.x2+y2-2x-2y-2=0B.x2+y2-4x--2=0

C.x2+y2-2x--1=0D.x2+-4x-47-1=0

7.（2025•江苏连云港•模拟预测）已知线段"的端点8的坐标是（5,3）,端点彳在圆/+产=4上运动，则线段月台的

中点〃的轨迹方程为（）

8.（24-25高二下•上海宝山•期中）已知圆G：（x—3『+（y-2『=l,圆6：（."6）'+（），-5丫=4,M、N分别是圆£、

G上的动点，P为N轴上的动点，则1PM+|PN|的最小值为（）

A.3近B.1C.3厢-3D.575

二、多选题

9.（25-26高二上・江苏镇江•阶段练习）已知/+/+4.・2."7=0表示圆，则下列结论正确的是（）.

A.圆心坐标为（-2,1）B.圆心坐标为（2,-1）

C.半径尸=12D.半径/=2上

已知实数XJ满足圆的方程（x-l）2+/=:,则（

10.（25・26高二上•山东莉泽•阶段练习）)

3

A.圆心（-1,0）,半径为:B.x的最大值为1

T.

C.J/+（y-l）2的最大值为拉+；D.工-丁的最大值为:

11.（2526高二上•全国・单元测试〉已知圆。:工2|产4x-14y+45-0及点。（-2,3）,则下列说法口正确的是（）

A.圆心C的坐标为（-2,-7）

B.点。在圆。外

C.若点尸（所,机+1）在圆C上，则直线尸。的斜率为g

D.若M是圆C上任一点，则I"0I的取值范围为［2及,6夜］

6

12.（2025高三•全国•专题练习）已知圆C的方程为/+/-8.t+12=0,点P（%,九）是圆。上任意一点，。为坐标原

点，则下列结论中正确的是（）

A.圆C的半径为4

B.满足|。?|=5的点。有两个

C.%+2总的最大值为4+26

D.若点“在五轴上，则满足归。=2归闸的点M有两个

13.（24-25高三下•全国•开学考试）已知圆C经过点（3,0）和（0,1）,且圆。被x轴,歹轴截得的弦长相等，则圆。的

方程可以是（）

A.（x+l『+（y+7）2=65B.（x-2）'+（y-2）2=5

C.（X-1）2+（V+1）2=5D.（r-3）2+（.y-5）2=25

14.（24-25高二上•海南•期中）已知圆砂+5/+a-6=0,则下列说法正确的是（）

A.圆C的半径为6-〃

B.圆。关于直线y=2x对称

C.若。=1,则圆C过坐标原点

D.若圆。的圆心到，轴的距离等于圆。的半径，则。=2或-3

三、填空题

15.（25-26高二上•江苏无锡•阶段练工）已知圆。过点〃（0,-2）,N（3,l）,且圆心C在直线/：3x-y-6=0上，则

圆C的标准方程为.

16.（25-26高二上•山东泰安•阶段练习）已知两点力（-2,0）,8（2,2）,则以彳8为直径的圆的标准方程为.

17.（25-26高二上•河北邢台•阶段练工）已知力（3,1）,圆C:（x+l）2+（y-2）2=l,8是圆。上的动点，P是x轴上的动

点，则|。力|十|必|的最小值是.

18.（25-26高二上•天津•阶段练习）已知点~是圆。：/+/=4上的动点，点力（4,2）,则线段3中点"的轨迹方

程为.

19.（24-25高二上•北京房山•期中）已知点力（0,0），8（0,2）,C（3,-l）,0（4,2）在同一个圆上，则这个圆的方程

为.