线段的垂直平分线（4个知识点+3个题型+巩固练习）学生版-2024八年级数学上册（沪科版）

15.2线段的垂直平分线

课程标准学习目标

①理解线段垂直平分线的概念；

1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判

②探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂

定定理，并能运用其解决相关问题；

直平分线上的点到线段两端的距离相等：反之，到

2.能够用尺规作已知线段的垂直平分线；

线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

③会尺规作线段的垂直平分线。

知识点01作线段垂直平分线

•尺规作线段的垂直平分线：如图，

步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F.

步骤2.过点E、F作直线.

则直线EF就是线段AB的垂直平分线

【即学即练1］（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为1,VA3c的

三个顶点均在格点上，直线在网格线上.

（1）画出NABC关于直线MN对称的△AB©；

⑵作线段A8的垂直平分线OE，交AB于点、D,交MN于点、E.

【即学即练2】（22-23八年级上•广东广州•期中）如图，已知VABC,尸为边上一点，请用尺规作图的方

法在AC边上求作一点£使点£到P、。两点的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

知识点02线段的垂直平分线的性质定理A/

•性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等1c

如图，证明思路：利用SAS证明APAOGAPBO/'\

几何表述：・・・MN_LAB于点O,AO=BO,P在直线MN上，APA=PB

【即学即练3］（22-23八年级上•江苏镇江•期末）如图，在VA4c中，48的垂直平分线分别'交A&BC于点

D、£连接AE,若AE=4,EC=2,则8C的长为.

【即学即练4】如图，在VAGC中，边A6的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点。，这两条垂

直平分线分别交于点。、E,已知VA。石的周长为15cm,分别连接04、OB、OC,若△OBC的周长

为28cm,则。4的长为cm.

知识点03线段的垂直平分线的判定定理

­判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上7

如图，证明思路：①SSS证明△PAQgAPBQ；②利用SAS证明APAOgAPBO/'、

几何表述：・・・PA=PB,P在直线MQ上，/.MQ±AB,AO=BO，~卜

【即学即练5】（24-25八年级上•湖南长沙•阶段练习）如图，是VA8C的角平分线[vk^ABD

和的高，连接E尸、AO交于点O.

（1）证明：..AED^AFD；

（2）证明：AD垂直平分所；

知识点04三角形三边垂直平分线的性质

•三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等

几何表述：如图，在AABC中，

：/_LA4且平分4/3,m_L8C且平分8C,〃_LAC且平分AC,

・•,/、〃?、/?交于点P,且必=PB=PC

【即学即练6]（23-24八年级上•黑龙江鸡西•阶段练习）元旦联欢会上，3名同学分别站在团A8C三个顶点

的位置上.游戏时，要求在他们中间放一个髡子，该先坐到髡子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置

的最适当的位置是在（3A8C的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中线的交点D.三边上高的交点

【即学即练7】（22-23八年级上•河北保定•期中）如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现

决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A

。、

/、

/、、、

•、、、

8（5-------?Oc

A.在AC、8c两边高线的交点处B.在AC、8c两边中线的交点处

C.在AC、8c两边垂直平分线的交点处D.在4、两内角平分线的交点处

避丸突跪

•利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题:

问题作法原理

在直线1上求作①作线段AB的中垂线与直①线段中垂线上的

一3二,点到线段两个端点

/一点P.使|BP-AP|：线1的交点即为P；2将点

1最小；2最大''式A关于直线1对称到点A；的距离相等；②

•B连接BA，并延长与直线1的|BP-AP|=BA'

交点即为点P

麴型曙析

【题型一：利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长1_____________________

例1.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图，在V4BC中，线段A8的垂直平分线与AC相交于点Q,连接

的周长为20cm,边AB的长为7cm,则△AC。的周长为（）

变式1-1・（23-24八年级下•安徽宿州•期木）如图，在VA6C中，。上是AC的垂直平分线，交8c于。点

交AC于E点，△A3。的周长为35cm,AE=12cm,则VABC周长为（）

变式12（2024•安徽安庆•一模）如图，在V/WC中，以点A为圆心，4c的长为半径作圆弧交于点Q,

再分别以点B和点。为圆心，大于;助的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN交48于

点E.若VAOE的周长为15,45=10,则AC的长为.

NX

例2.如图，在VABC中，边的垂直平分线交4c边于点。，连接

（1）如图CE=4,AQC的周长为19,求8。的长.

⑵求N/UW=60。，ZA/3D=2（r,求NA的度数.

【题型二：利用线段垂直平分线的性质求最值】

椀3.72624;妾裙嘘疥二襁丁加西「牙\/方己不，AB=AC,AC的垂直平分线交4c于点F,交AB于点E,

连接EC,AB=\O,V8EC的周长为18.若点尸在直线“'上，连接E4,PB,则|"-P周的最大值为（）

变式3.如图，在VABC中，A8=2.5,AC=6,CB=6.5,即垂直平分AC,点/＞为形线上一动点,

则.A8P周长的最小值是（）

【题型三：线段的垂直平分线与全等三角形综合】

例一匚食黄4穴军级上：安徽蚌埠脐段绦可丁如图丁和西达形方而不二而二布「立二灰丁赛布施冠种

两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形〃.

⑴求证：AABgAAOC；

⑵直线AC是线段80的垂直平分线吗？请说明理由.

变式4.（23・24八年级上•北京西城•期中）如图，四边形ABC。中，AB=AD,BC=DC,我们把这种两组

邻边分别相等的四边形叫做"筝形

⑴求证：AAS&AADC；

⑵测量0B与O。、N8O4与你有何猜想？证明你的猜想.

例5.（22-23八年级上•福建龙岩•开学考试）如图，“8。中，。是8c的中点，过。点的直线G/交AC于

F,交AC的平行线3G于G点，DELDF,交A8于点E,连接EG、EF.

（1）求证：BG二CF；

⑵请你判断BE+CF与£小的大小关系，并说明理由.

基础过关

一、选择题

1.（24-25八年级上•全国•期末）二列条件中，不能判定直线MN是线段4?（M,N不在A3上）的垂直平

分线的是（）

A.MA=MB,NA=NBB.MA=MB,MNJ.AB

C.MA=NA,MB=NBD.MA=MB,MN平分A3

2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的

位置是（）

A.VABC的三条中线的交点B.VABC三条角平分线的交点

C.VA8C三边的垂直平分线的交点D.VA3C三条高所在直线的交点

3.（23-24七年级下•全国•期末）如图，已知直线/是线段尸。的垂直平分线，垂足为。，M,N是直线/上两

点.下列结论错误的是（）

A.一MPN0-MQNB.MO=NO

C.OP=OQD.4MPN=4MQN

4.（20-21八年级.匕黑龙江哈尔滨•期中）到三角形的三个顶点距离相等的点是（）

A.三条角平分线的交点R.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点

5.（22-23八年级上•安徽合肥•期末）下列说法正确的是（）

A.三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部

B.三角形三条中线的交点称为三角形的重心

C.三角形的一个外角等于两个内角的和

D.三角形三边的垂直平分线交于•点，这点到三边的距离相等

6.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图，在VA6c中，线段A8的垂直平分线与AC•相交于点。，连接

8Q/ABC的周长为20cm,边A8的长为7cm,则△38的周长为（)

7.如图，OE是VABC中AC边上的垂直平分线，如果8C=8cm,A8=10cm,则dC的周长为（）

A.16cmB.18cmC.26cmD.28cm

8.（15-16八年级上•天津河西•期末）如图，地面上有三个洞口人、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,

猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、8、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）

A.VA8C三边垂直平分线的交点B.VA3c三条角平分线的交点

C.VABC三条高所在直线的交点D.VABC三条中线的交点

二、填空题

9.（20-21八年级上•山东济宁•期口）如图，AD垂直平分8c于点。，砂垂直平分A8于点凡点后在AC

上，BE+CE=20cm,则A8=.

10.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图,在VABC中,AB=ACfBC=3cm,分别以点4C为圆心,

以大于;AC为半径作弧，两弧分别交于点M,N,过点M,N作直线交A8于点P,连接CP.若VA8C

的周长比二8cp的周长大5cm,则A?CP的周长为cm.

11.如图，在VA3C中，AC的垂直平分线分别交8C,AC于。，E,若AE=3cm,△A4Q的周长为13cm,

则VA8C的周长等于cm.

A

fE

BC

三、解答题

12.如图，在VABC中，AC的垂直平分线交AC于E,交于。，△A3。的周长为20cm,AE=5cm,

求VA8C的周长.

13.（24-25八年级上•广东肇庆•期中）如图，已知：在V4BC中，Z4=30°,ZB=60°,

⑴作8C的垂直平分线，分别交AB、3c于点E、F.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）

（2）求证：E是45中点.

14.如图.ABC中，贴=团。，点P、Q、R分别在A&BC、AC上，且P8=QC,QB=RC.求证：点。在PR

的垂直平分线上.

15.（22-23八年级上•广西河池•期末）如图，在VA8c中，边AB,4c的垂直平分线交于点P.

A

(1)求证：PA=PB=PC；

⑵求证：点P在线段AC的垂直平分线上.

能力提升

15.(22-23八年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图，在VABC中，Z/MC>90°,A8的垂直平分线分别交A3,

BC于点、E,F,4c的垂直平分线分别交AC,BC于点、M,N,直线石产，MN交于点P.

⑴求