圆锥曲线选择填空题-期末试题（考题猜想易错必刷7大题型）解析版

专题05因锥曲线选择填空题（考题猜想，易错必刷7大题型）

＞【题型一】圆锥曲线的定义

＞【题型二】圆锥曲线的标准方程

＞【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形

＞【题型四】椭圆、双曲线的离心率

＞【题型五】双曲线的渐近线

＞【题型六】抛物线中的距离最值问题

＞【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题

＞【题型一】圆锥曲线的定义

一、单选题

1.（23.24高二下.青海•期末）已知产为抛物线=8%的焦点，点M在。上，且|M尸=6,则点M到），

轴的距离为（）

A.6B.5C.4D.4&

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义求解.

【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线x=-2的距离为6,

所以点M到y轴的距离为6-2=4.

故选：C.

2.（23.24高二下.北京海淀•期末）已知双曲线C:£-二=1的左右焦点依次为K,K,且花用=10,若点

a~16

P在双曲线的右支上,则归用-|?用=（）

A.-6B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】根据题意，得。=4,c=5,求出/=9,根据双曲线的定义即可求出|?制-|"|的值.

【详解】

N

FJO\\r2x

由题意知，b=4,2c=10,

/.a2=c2-b2=52-42=9,

双曲线C:—―1＞

916

•.•点尸在双曲线的右支上，

由双曲线的定义得，|尸耳=

故选：B.

3.（23-24高二下•上海•期末）已知椭圆工+二=1的焦点为巴、F2,。为该椭圆上任意一点（异于长轴端

2516

点），则尸2的周长为（）

A.10B.13C.14D.16

【答案】D

【分析】根据方程可得。，儿叫结合椭圆的定义运算求解.

【详解】由题意可知：t/=5,/?=4,c=x/ci2—b2—3»

则归附+|尸闾=2=10,出用=2=6,

所以小耳人的周长为|尸用+|尸段+忻用=6

故选：D.

4.（23-24高二下•安徽亳州•期末）设用工分别是离心率为立的椭圆C:「+与=1（心力＞（））的左、右焦点,

2a2b-

过点品的直线交椭圆C于A3两点,且同=3|哂,则cos4他B=（）

A.1R板r2D3

5555

【答案】D

【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到ZA=90。，从而得到结果.

【详解】因为5=乎，所以〃=、&.设怩用=々＞0）,则|A4=3/必即=4/.

⑶尸+(2a-3/)2-(2C)29尸+(2”3/尸-2/

在AAZ玛中,cosA=

2x3/x(2a-3/)2x3/X(2£/-3Z)

(4/)2+(2a-一(2a-1)?16/+(24—3，了一(2。一/)2

在aAB尼中,

2x4rx(2a-3/)2x4rx(2a-3r)

91+(2a-31)2-2/_16/2+12L3/)2-(24T)2

整理得，3af=a2,a=3/.

2x3rx(2«-3r)2x4rx(2«-3r)

3

于是|=3,=|A娟，忸国=5t,\AB\=4r,Z4=90°,cosZ4?；B=-.

故选：D.

二、填空题

2

5.（23-24高二下.广西南宁•期末）若双曲线C:f—?=1的左、右焦点分别为K，入，P是。右支上的动

点、,则|丹讣归国的最小值为.

【答案】3

【分析】设/用卜〃7«1,+8）,由双曲线定义可得|历|=6+2,代入|丹讣「可结合二次函数性质分析求解.

【详解】由题意可知：a="=£c=V7历=2,且|叫-|明1=2,

设|PE|=/n"_〃=l,则|尸制=相+2,

可得归用・|尸周二"?（/〃+2）在41,小）上单调递增，

所以当m=l时,I刊"I刊"取得最小值3.

故答案为：3.

6.（23-24高二下•北京海淀•期末）已知抛物线f=4），的焦点为“，过F的直线/交抛物线于A、B两点,

若|A尸|=4怛■，则|AF|=.

【答案】5

【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线/的方程，与抛物线方程联立求出点A的纵坐标即可得解.

【详解】抛物线/=4），的焦点为"（0,1）,设直线/的方程），=丘+1,4（不M）,5（租必），

由;:4,消去y得4履一4=0,则中2=-4，由恒q=4|8£|，得％=-4%，

x=4y

联立解得再=4或菁=-4,因此y=4,所以|AF|=y+l=5.

故答案为：5

＞【题型二】圆锥曲线的标准方程

一、单选题

22

1.（23-24高二上.江苏南京.期末）已知方程工+工=1表示椭圆，则实数机的取值范围是（）

2-min

A.（0.2）B.（0,1）C.（2,+a））D.（0,l）U（l,2）

【答案】D

【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围.

2-m＞0

【详解】依题意，机＞0,解得Ovmvl或

2一〃?工m

故选：D

2.（23-24高二下•湖南益阳・期末）已知函数y=log2（A-«）过定点P（5.0）,则抛物线y=水?的准线方程是（）

A.x=-\B.y=-1C.x=--D.y=---

1616

【答案】D

【分析】由对数的运算求得由抛物线的准线方程，可得所求.

【详解】解，由函数尸1。历（”〃）过定点P（5Q）,可得log式5-a）=0,

解得：。二4,

则抛物线y=4.r,

即f=｝的准线方程是），=_]

416

故选：D.

3.⑵-24高二上・河北石家庄・期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线9A的图象的.部分，

当拱顶M到水面的距离为白米时，水面宽AB为2"米，则此双曲线的虚轴长为（）

【答案】D

【分析】由题得出以小,-40），代入求得〃?=9,得到双曲线标准方程即可得出答案.

【详解】由题意得仞（0,—36）,仅户,-46，代入得崇\=1，解得m

即力=3,因此虚轴长为"=6,

故选：D.

1＞

4.（23-24高二上•江苏宿迁•期末）“川〉4”是“方程上;=1表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】方程1二十二=1表示双曲线，则（4一㈤方-2）＜0,解得加＜2或机＞4,

当加＞4时，方程/-+上;=1表示双曲线，

4-mm-2

所以“〃A4”是“方程J+—=1表示双曲线”的充分不必要条件.

4-mni-2

故选：A

5.（23-24高二上.陕西西安・期末）已知椭圆+/=的左焦点为产（一1,0）,且椭圆C上的点

与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为6a,则椭圆C的方程为（）

【答案】A

【分析】根据题意列式求ab，c,即可得方程.

【详解】因为椭圆。的左焦点为广所以c=l.

又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为6夜，

所以;x2。x/?=(而=6\/2,

结合/+。2=尸+1,可得4=3,8=2夜,

故椭圆C的方程为焉+/1.

故选：A.

6.(23-24高二下•内蒙古•期末)已知尸是抛物线。：)，2=2度(〃>0)的焦点，点加(1,4)在(7上，则()

A.以“尸为直径的圆与y轴相切，切点为9,1)

B.以为直径的圆与y轴相切，切点为(0,2)

C.以桥为直径的圆与C的准线相切，切点为g,l)

D.以M"为直径的圆与C的准线相切，切点为(5,2)

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，以为直径的圆的圆心坐标及半径，再逐项分析判断即可.

2

【详解】由点M(L4)在C：y=2pxt得4=2〃，解得〃=8,则抛物线)，？=I6x的焦点F(4,0),

以M/为直径的圆的圆心反：,2),半径,・=尸|=((1+4)=:，

2222

圆心七到V轴的距离d=；5=r,圆心E到抛物线准线x=T的距离"'=]13>>

因此以为直径的圆与V轴相切，切点为似2),A错误，B正确；

以历歹为直径的圆与。的准线相离，CD错误.

故选：B

>【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形

一、单选题

1.(23-24高二上•贵州安顺・期末)已知双曲线C:]-2=1的左焦点为广，点P在双曲线C的右支上，M为

916

线段尸尸的中点，若M到坐标原点的距离为7,则归曰=()

A.8或20R.20C.6或22D.22

【答案】B

【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求归口.

【详解】由双曲线方程可知，/=9,a=3,设双曲线的右焦点为9，

△PFF中,点M，。分别是夕产，"'的中点，所以|Ma二g|PP'|=7,

则|PF|=14,又因为归耳=归尸［+勿=14+6=20.

故选：B

2.（23-24高二下.安徽芜湖,期末）已知0鸟是椭圆。:片+==1的两个焦点，点2在C上，且|P国=3,

1612

则乙尸片乙的面积为（）

A.3B.4C.6D.10

【答案】C

【分析】由椭圆定义和归段=3得到|P制=8-3=5,结合苗用=4,由余弦定理得cos/£Pg=］,进而得

到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.

【详解】由椭圆定义可得|尸用+|P周=2a=8,

故仍制=8-3=5,

又出工|=2c=2jl6-12=4,

归用R"『一忻可_25+9-16_3

则由余弦定理得cos6=

2|尸用忖周2x5x3-S'

4

故£也〃也=

5

故%娟忖用sinN£P6=；x5x3x：=6.

故选：C

3.（23.24高二上•四川德阳・期末）设K、鸟是椭圆C：=+）/=［的两个焦点，点。在。上，若APFE为

直角三角形，则△PEK的面积为（）

A•乎B."C.6或ID.1或4

【答案】D

【分析】分析APGG确定直角顶点后位置，当焦点K（或鸟）为直角，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】由已知〃=22=l,c=G，若居是直角三角形，则直角顶点可能是点P,

•••"P月=今恒目+|尸用=4,恒用+|尸马2=比周2=]2,

•••（怩”+归用）2=忻可+|”「+2恒川夕国二16,「.旧制夕闾=2

••.5"=新叩图=1；

若&P66是直角三角形，则直角顶点可能是焦点入（或入）为直角顶点，

此时I呐（或|P图=1）,S.PRR=$2c《=；x2&；=与.

故选：D.

【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可；

4.（23-24高二上.河南南阳.期末）若椭圆二+二=1和双曲线:-£=1的共同焦点为6，F、,。是两曲

251681

线的一个交点，则△0"人的面积值为（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】A

【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出|尸耳|+|尸段,|地|一|尸国,怩用，进而可求出|依「+归周2,|p3P段,

利用余弦定理求出cos/£P6，进而可得sinNEP入，最后利用面积公式计算即可.

【详解】不妨设£为左焦点，鸟为右焦点，P为两曲线在第一象限的交点,

|P用+|P周=10

则由已知得“WHP周=4&，

恒周=6

贝叱间呜=（附|+|明）泊|叫一依I）?=100132=66,

|尸刷桃|一（1所出年『—（IWHP周丫四』7,

4

|P制?+|P研-忻用166-36J5

cosZFPF=

l22仍用忸居|—2x17-17

则sin4F晔=-cos?/上尸鸟=-司吟,

11Q

所以2叼广不归耳疗用血/"勿；=5'17'石=4.

«41t

故选：A.

22

5.（23・24高二下.贵州黔南.期末）如图，已知椭圆七:二+3=13>〃>0）的左、右焦点分别为片,入，过点

a~b~

尸2的直线与椭圆E交于点A,B.直线/为椭圆E在点A处的切线，点B关于/的对称点为M.由椭圆的光

学性质知，"],A,M三点共线.若H同=©，/=：，则（

）

1「2厂9

A.—B.—C.—

91111

【答案】B

洽篇.求出防=瞑则

【分析】先得到14Ml=|4叫，根据椭圆定义得到|4制十|附|=3%经

网喈，网卷,求出需奈

【详解】如图.因为点B关于1的对称点为M,则|AM|=|A3].

盛岁

因为|A用+|明+阿|=（|M|+|A段）+（|%|+|愿|）=4M

且[45|=*所以|A£|+忸制=3%

所以忸用.忸用.|附二4

加以用制+M用a+3a-\BF]5,

可得忸制=丁，则|A£|=3a-1期|=可，

所以网=2々一网咚,故陶■

故选：B.

6.（23-24高二下.福建福州,期末）已知”,入分别为双曲线C:£-£=1（。＞（）力＞0）的左、右焦点，过K的

a'b'

直线与双曲线C的左支交于AB两点,若|A用=2忻却=4,|A8卜忸周，则双曲线C的焦距为（）

A.空IB.迪IC.-D.2石

332

【答案】B

【分析】利用双曲线定义、己知条件求出〃、|^|,设（.="三»,由余弦定理、cosN8GK+8s/A£g=0

求出c可得答案.

【详解】如图，由于|*|=2|耳目=4,|明=|明

有2〃=忸刈-忸用=6-2=4,可得。=2,

又由|4段二|A间+%，可得|A周=8,设c=万,

4+4/-364c2-32c2-S

在中，由余弦定理有cos/8G6=

2x2x2c

16+4c?-64_4d-48_/-12

在△Af；心中,由余弦定理有cos/A"5=

2x4x2c16c4c

又由/明鸟+乙4”鸟=兀，有cos/B片F2+cosNA^6=0,

可得《二十。^=（）,解得°=坐，所以双曲线。的焦距为逆I.

2c4c33

故选：B.

>【题型四】椭圆、双曲线的离心率

一、单选题

22

1.（23-24高二上.浙江台州.期末）若双曲线的离心率为2,则实数〃?=（）

A.2B.2aC.4D.16

【答案】A

【分析】根据离心率表示出方程之上=4,计算即可求解.

rn-

【详解】由题意得,/=£.=*2=4,解得病=4.

a'm~

又加>0,则〃?=2.

故选:A.

2.（23-24高二上.贵州黔东南.期末）若直线y=2x与双曲线，太=1（〃>0力>0）有公共点，则双曲线离心

率的取值范围为（）

A.（1,75）B.0,6]C.[氐+@D.（6,+引

【答案】D

【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围.

【详解】由题意：y=2x的斜率要小于双曲线渐近线），=2人.的斜率，

所以2>2=从>4/=/一/>4/=:>5=C=£>逐.

aa~a

故选:：D

3.（23-24高二卜••河南商丘・期末）己知双曲线E的顶点为椭圆。:工+工=1的焦点，E1的离心率与。的离

43

心率之积为1,则E的方程为（）

A.W_21=]B.丁_21=]c.—-V2=1D.--/=1

433'4,

【答案】B

【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线E的a、b,即可求解.

【详解】由题意知，对于椭圆。:工+亡=1,

43

焦点为（-1，0）和。，0）,离心率为e=

22

设双曲线E的标准方程为=-与=1（。>0力>0）,

a'b'

又双曲线E的离心率与椭圆。的离心率之积为1,

所以双曲线E的离心率为2,即工=2,

a

又〃=I,所以。=2,b2=c2-a2=31

所以双曲线E的标准方程为/-=1.

3

故选：B

4.（23-24高二上•天津•期末）已知匕，尸2是椭圆C：/营”〉/,〉。）的左、右焦点，以弘为直径的

圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（）

A.1B.-C.巫D.近

3222

【答案】C

【分析】由圆/+>2=02与椭圆有交点得C之〃，即C22/=/一/,可得/之；，即可求解.

【详解】由题意知，以忻号为直径的圆的方程为/+丁=/,

要使得圆f+），2=/与椭圆有交点，需cNb,

即从=/一°2,得2c2、/,即/Ng,

由0<e<1,解得巫Ke<l,

2

所以椭圆的离心率的最小值为g.

2

故选：C

5.（23-24高二上•江苏南京.期末）已知双曲线C二一马二1（。>0">0）的左、右焦点分别为斗鸟，焦距

为2c（c>0）.若双曲线C右支上存在点P,使得|P周二4〃，且S“g=12/,则双曲线C的离心率0=（）.

A.x/5B.C.y/6+1D.>/1~3

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到石鸟为直角三角形，进而由勾股定理可以求解.

【详解】由双曲线的定义可知得\PF}\-\PF2\=2a

因为|P段=4%.•.归国=6%

设/耳P6=0,则S^=—xlp/^|x|P/^|xsin^=—x6«x4fzxsin^=\2a2s\nO=\2a2,

PFK22

.7t

:・8=一,

2

・•.△PZK为直角三角形

,用2+归用2二,6匕

36a2+16a2=4c2,即52a2=4c",

二="=I3,

a24

.,.e=>/\3

故选：D

6.（23-24高二下•海南海口.期末）已知片，尸2是椭圆C的两个焦点，P是。上的一点，比•强=0,

NP丹用=2,则C的离心率为（）

6

A.立B.正二1C.V3-1D.73

32

【答案】A

【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可.

【详解】

因为P鸟书鸟=0,所以Pg上巴巴,

=2,忻居|二2ctan/PGK==立,

在RIAP"鸟中,/P片片

611J内身3

所以阀|=半，附|2=归用『+电『=苧+4/=岁,

所以|尸凰=半,2。=归用+|尸用=警+牛=2小，

所以£2c•=2c

--

a2^2X/3CT

故选：A.

7.（23-24高二下•甘肃•期末）过双曲线。:二-1=IS>0/>0）的左焦点工作斜率为2的直线/交C于M,N

a2b~

两点.若M£=3F；M,则双曲线的离心率为（）

A.3B.2C.V2口.手

【答案】D

【分析】设M（*，X）,N（XQ，2）,由函=3而，得凹=-3%，设直线/的方程为x=gy-c,代入双曲线

方程化简，利用根与系数的关系，再结合）1=-3%可得到关于•的式子，化简后可求得离心率.

【详解】设M（X],y）,N（X2，），2），由M1=3病，得y=-3%,

设直线/的方程为x=g）-c,

由丁消去x,得少田），,以』，

x=-y-c,、/

cb2b~c2-a2b2

由根与系数的关系，得,+必=后~?%%=下~

-----a~-----a~

44

rcb~.2b~c--a~h~

所以—==产2,

-----Cl-----Q

/\2

所以一3x1=叱-。”,化简得

4b2b244

-----a2------a~2

4J4

所以一3c2=。2-1-4/,得4c2=54,

【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意

设出直线/的方程为x=c,代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难

题.

8.（23-24高二上•浙江绍兴•期末）设椭圆C的两个焦点是匕,人.过点K的直线与C交于点只。，若

I尸闾=16闾,且3闸=4|四,则椭圆C的离心率（）

5

A&R一D2

A.D.-L..—U.—

2747

【答案】B

【分析】由|。段=内周=勿，结合椭圆定义依次得|P娟,|。制,|0周的表达式，进一步分别在

△2年死山尸。行中运用由两次余弦定理，结合离心率公式即可求解.

因为归闾=|百玛|=2,所以归国二2〃—|P周=2〃-2。,

4377

又3附|=4廖所以|Q"|二R—f,俨。=力一

IQ

所以|Q周=2a-|QG|=y+3C,

(2a-2c)2+(2c)2-(2c)-

如图所示，由余弦定理知:cosZ.FPF=

i22.(2a-2c).2c

整理得7/—12ac+5a2=0,又e=3<\.

a

解得：离心率e=£c=25.

a7

故选：B.

【点睛】关键点睛：画出图形，通过椭圆定义把各边长度求出来，由此即可顺利得解.

＞【题型五】双曲线的渐近线

一、单选题

1.（23・24高二上•浙江湖州♦期末）双曲线/-2），2=1的渐近线方程是（）

L/1

A.y=±V2xB.y=±^-xC.y=±-xD.y=±2x

【答案】B

【分析】令丁-2），2=0,化简整理即得渐近线方程.

【详解】由双曲线42一2》2=],令/-2/=0,解得产土冬V,

所以渐近线方程为,=±等;v.

故选：B.

22

2.（23-24高二上.广东•期末）已知），=3x为双曲线C：E-£=1的一条渐近线，贝打"=（）

m3

1

c

B.9-D.27

【答案】A

【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得解.

【详解】因为双曲线=l的渐近线为y=±®,

所以匹3,解得加4

Vm3

故选：A.

3.（23-24高二上•河南激可.期末）双曲线0-《=1（。＞0力＞0）的一条渐近线为y=则其离心率为

crb~2

（）

A.&B.叵C.@或6D.巫或指

2222

【答案】B

【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到2=?，再由离心率公式计算可得.

a2

【详解】双曲线鸟-1=1（。＞0力＞。）的渐近线为丁=±2孙

ab~a

依题意可得3=；,则双曲线的离心率e=/===乎.

故选：B

4.（23-24高二上.四川成都•期末）已知双曲线C:工-工=1的左、右焦点分别为G，6，过百作其中一条

24

渐近线的垂线，垂足为P，则1「&1为（）

A.73B.2GC.2D.4

【答案】B

【分析】由双曲线方程求得得焦点坐标和渐近线方程，设出。点坐标，由垂直求得参数得P点坐标,

再由两点间距离公式计算.

【详解】由己知a=b=21c=j2+4=瓜,耳（―7^（V6,O）,

2

如图，一条渐近线/的方程为.V=-&X,即），=-瓜，

PF则/V；的斜率为日，设PQ小一庭,〃），

由二绊=考得〃?=—逅，所以P（_立,诬），

m+\j62333

附|=J（-'-厢2+（^^）2=2&，

YJJ

故选：B.

5.（23-24高二下.河南驻马店•期末）已知双曲线E:=-二=1（。＞0力＞0）的右焦点为立以尸为圆心,

a~b-

为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A,B两点,若丽=3则双曲线E的离心率为（）

A.正B.6C.75D.3

2

【答案】A

【分析】求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得c=V5b,a=

2b,即可求出离心率.

221

【详解】令点尸（。,0）,双曲线E:二一二=1（。＞0力＞0）的渐近线方程为），=±24,

a~b~a

由对称性不妨取直线AB:bx-ay=0,取48中点C,连接则fC_LA8,

IFCI=岛i=b，而|AB|=2J(«b)2-b2=2b，

由丽=3嬴，得|0C|=|AB|=2b,在RtZXOC/中，c2=(2b)?+b2=5b?,

则a?=c2-b2=4b2,解得c=V5b,a=2b,

所以双曲线E的离心率。=£=正.

a2

6.（23・24高二下•江苏南京•期末）已知双曲线C：〃>0）的左、右焦点分别耳，居.A

a~b~

是C上一点（在第一象限），直线从入与轴）'交于点8,若AZ，/,且引入周=2优同，则C的渐近线方程

为（）

A.y=±^^-xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±45x

525

【答案】A

【分析】设忸制=〃?，用〃?，。表示△人班的各边长，利用勾股定理确定，〃，”的关系,再探求NA/M与NOm

的关系，利用余弦定理和直角三角形的边角关系，列出等式，再由双曲线中。力，。的关系，求出2即可.

a

【详解】如图：

设怛制="?,则忸周=〃7,因为3A国=2优8],所以|4月=：心，根据双曲线的定义：\AF]=jfn+2at

因为由勾股定理得：（|〃?+2aJ+病3。）（加+。）=0,所以〃?=30

所以：忸制=3%\AF2\=2at\AF]=^.

川『+区段2TA周23a2+c2

在△A6^中,cos/%外

2MM周4ac

在中，cosNO*:’如一c

13a

因为NA£K+N3/・；O=90。，/86。+/08£=90。，所以4£鸟=/。8£,

从而cosZAFXF2=COSZ.OBF,,即=-c[=/9^_5?V=o=>9a2=5c2,

4ac3a'

所以9/=51/+灯n匕，

a"5a5

所以双曲线渐近线的方程为：、,=土巫x.

5

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得到乙%尸2=/。地，利用3/4//=*/0电得到关于〃也0的

关系，整理过程运算量较大，要足够细心和耐心.

>【题型六】抛物线中的距离最值问题

一、单选题

1.123-24高二下.内蒙古赤峰.期末）已知点4（2,5）,且小是抛物线C:Y=4），的焦点，尸为C上任意一点，

贝“酬+|。目的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】求出抛物线的焦点/，准线/,过产作P8JJ于4,则|冏=|尸产|,将问题转化为求|叫+归阳，由

图可知当4Pl三点共线时最小.

【详解】抛物线。=4），的焦点为“（0.1）,准线/为5=-1,

当工=2时，）=1,因为5>1,所以A（2,5）在抛物线内，

过P作P于8,则|因=|明,

所以|到+|尸耳=|川+1尸M，

由图可知当AP）三点共线时，|B4|+|P8|最小，则最小值为5+1=6.

故选：D

2.（23-24高二上•广东深圳•期末）已知抛物线C丁=4”上一点。（即,），0）,点43,5/元），则曰•+2|PA|的

最小值是（）

A.4B.6C.8D.1（）

【答案】C

【分析】利用抛物线定义将J+2IPAI转化为2（|PF|+|/训）-2,数形结合根据线段和的几何意义求得

\PF\+\PA\的最小值，即可求得答案.

【详解】在抛物线C：=4%中，P（x0,y0）,

?

jo=4K（）,「•咚=x0,

4

又（⑨尸>4x3,故43,百）在抛物线C:/=4x的外部，

・・・?+21PAi=2.+|尸山卜2(天+|尸山)=2(/+[+|融])一2,

・・•抛物线C:y2=4x的焦点为尸(L0),准线方程为x=-l,

2

・・・|P尸|=$+1,A+2|P4|=2(^+l+|PA|)-2=2(|PF|+|PA|)-2,

V|PF|+|E4|>|AF|,当AP,尸三点共线（P在A尸之间）时,

|叩+照取到最小值I人丁|=5（3-1）2+（夜1）2=5,

/.A+2|PA|=2（|PF|+|PA|）-2的最小值为2x5—2=8,

故选:C

二、填空题

3.（23-24高二下•广东洪江•期末）已知43,2）,抛物线C:V="的焦点为F.P是抛物线C上任意一点,

则AQA厂周长的最小值为.

【答案】5+石

【分析】过点P作P"垂直于准线，易知当AP,”三点共线时，尸的周长最小，即可求解.

【详解】抛物线的准线x=-2,F（2,0）,过点P作PH垂直于准线，

由题可知，的周长为|4丹-|%+|尸目=,目+|酬+|?”|，

又|AF|=J（3_2）+22=逐,

易知当AR"三点共线时，△以产的周长最小，且最小值为5+石.

故答案为：5+75

4.（23-24高二上・吉林・期末）己知A,8是抛物线C：V=x上的两点，A与8关于x轴对称，0（3,0）,则

\AB\2+\AD|2的最小值为.

35

【答案】v

4

【分析】设义…），则y"，gf）,利用两点距离公式求得|幽2+“。|2=［劣+日，结合

二次函数的性质即可求解.

【详解】设A（%,y）,则y：=E，6（百

所以IAB『+1A。『=(2y)2+(%-3)2+y；

(1Y35

=M—6X[+9+5y；=x；-6芭+9+5芭=x：_%+9=/+—.

因为网>0,所以当芭=3I时，”F+|/IO|2取得最小值，且最小值为53s.

35

故答案为：v

4

5.(23-24高二下.上海宝山・期末)抛物线C：V=8.r的焦点为/，准线为/,点P是准线,上的动点，若点A

在抛物线C上，且|A「[=10,则|R4|+|P0|(。为坐标原点)的最小值为.

【答案】4Vl3

【分析】由题意结合抛物线的定义求出4&8),设点。关于直线x=-2对称点为"T。，则

附|照=附i\PD\>\AD\,从而可求出归人|“叫的最小值.

【详解】由C：V=8x,得〃=4,所以尸(2,0),准线/为x=—2,

不妨设点A在第一象限，过A作48_1/于小，则|AF|=|A@=s+2=10,得5=8,

则£=8x8,得以=8,所以4(8.8),

设点。关于直线工=-2对称点为5T0),则归。=|叫，

所以|R4|+|PO|=|PA|+|PD|>\AD\=J(8+4)2+8?=7208=4而，

当且仅当AP,。三点共线时取等号，

所以|%|十归。的最小值为4J万，

故答案为：4而

>【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题

一、单选题

1.(23-24高二上•北京延庆•期末)到定点尸。,0)的距离比到V轴的距离大I的动点且动点不在1轴的负半轴

的轨迹方程是()

A.y2=8xB.y2=4JC.y2=2xD.y2=x

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义即可得解.

【详解】因为动点到定点户(L0)的距离比到V轴的距离大1,

所以动点到定点产(1.0)的距离等于到X=T的距离，

所以动点的轨迹是以尸。・。)为焦点，x=-l为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是)，2=4X.

故选：B.

2.(23-24高二上•云南迪庆.期末)已知点贝-2底0),N(2底())，动点?满足条件归叫-|叫=4.则动点

P的轨迹方程为()

2722

A.—-^-=l(x>2)B.—-^-=l(x<-2)

416v7416v7

C.—-^-=l(x>4)D.—-^-=l(x<-4)

164v7164v7

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义可得答案.

【详解】|MN|=46,由归M-归凶=4<46

结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以"(-26,0),N(2石,())为焦点的双曲线右支，

在双曲线中为=4,2c=46，可得a=2,c=20，

所以〃2=