新七年级数学专项提升：绝对值中的四类最值模型（解析版）

专题01绝对值中的四类最值模型

最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学

生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对

值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。

绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即时=4；②。的绝对值是o,即|q=（）；③负数的绝对值是

它的相反数，即时=一。；④绝对值具有非负性，即时20。

模型l.|x—d+上一百的最小值模型

【模型解读】式子,一4+忖—4在时，取得最小值为卜―4。

【最值原理】上一4+,一4目的是在数轴上找一点X,使x到a和5的距离和的最小值:

分类情况（X的取值范围）图示工-4+X-4取值情况

k«52y——

当时无法确定

xa『

卜-一-肘一31

当aWxWZ?时—«•••A,一力士上一目的值为定值，即为,一耳

aAb

L_______________J

Xbl」

当了＞/?rrl无法确定

abA

另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。

例1.（2022秋母|东临沂•七年级统考期中）数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作1-5-0|=|-5|=5；表

示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-（-2）|=|-3|=3.也就是说，在数轴上，如果A点表示的数

记为"点表示的数记为从则人8两点间的距离就可记作

回答下列问题：

⑴数轴上表示-3和2的两点之间的距离是，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是

⑵数铀上表示“与-2的两点4和8之间的距离为5,那么x为

⑶①找出所有使得|X+1|+I4-2|=3的整数“；②求|工+3|+|/-1|的最小值.

【答案】（1）5,5（2）3,-7（3）0-l,0,1,2.②4

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代

入可得A8之间的距离为k+2|：当A8=5时，即卜+2|=5时，可求得x的值；（3）①从数轴上可以看出

只要x取T和2之间的数（包括T,2）就有|%+1|+|1-2|=3,可得这样的整数是-1,0,12；

②对x进行讨论，可得1刀+3|+|Z-1|的最小值.

【详解】（1）表示-3和2的两点之间的距离是1-3-2|=5,

表示-2和3的两点之间的距离是1-2-3|=5；故答案为：5,5：

（2）由题意可得，,+4=5,以/+2=5或x+2=-5,团x=3或x=-7；故答案为：3,-7.

（3）①从数轴上可以看出只要x取-1和2之间的数（包括-1,2）,

就有|x+l|+|x—2|=3,因此这样的整数是-1,0,1,2；

②对上进行讨论：

当-3<x<l时，|x+3|+|x—l|=x+3+l—x=4,恒成立：

当时，|x+3|+|x-l|=-x-3+l-x=-2x-2>4；

当时，|x+3|+|x-l|=x+3+x-l=2x+2N4；

综上，l%+3|+|x-l|的最小值为4.

【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键.

例2.（2022・江苏•七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合

是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式卜-2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之

间的距离：因为所以卜+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与一1所对应的点之间的

距离.（i）发现问题：代数式k+1|+k-2|的最小值是多少？

（ii）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数一1、2、x,A5=3

•••卜+1|+卜-2|的几何意义是线段以与PB的长度之和，

，当点P在线段AB上时，雨+28=3,当点尸在点4的左侧或点B的右侧时，%+P8>3

・・・k+l|+k—2|的最小值是3

APB

-4-20x123

请你根据上述自学材料，探究解注下列问题：

⑴卜―3|+卜+2|的最小值是______；⑵利用上述思想方法解不等式：|.r+3|+|x-l|>4；

(3)当a为何值时，代数式卜+4+卜-4|的最小值是2

【答案】(1)5(2)工<一3或x>l(3)-2或-6

【分析】(1)把原式转化看作是数轴上表示工的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；

(2)根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；

(3)根据原式的最小值为2,得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可.

【详解】⑴解：卜―3|+k+2|=,一斗+上一(—2)],表示P到A与到B的距离之和，

APB

.5-4-3-2-1012345

当点尸在线段山？上，PA+rn-5,

当点尸在点A的左侧或点4的右侧时，幺+尸8>5,••门-3|+|X42|的最小值是5；

(2)解:如图所示，满足|x+3|+|x-l|=|x-(-3)|+|x-l|>4,表示到-3和1距离之和大于4的范围,

当点在-3和I之间时，距离之和为4,不满足题意；

当点在-3的左边或1的右边时，距离之和大于4,则x范围为xv—3或冗>1：

II，，，4III>

-4-3-2-101234

(3)解：当“为一2或-6时，代数式上+4+卜一4|为卜一2|十打一4|或k一6|十打一4|,

,•数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2,数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为2,

因此当。为-2或-6时，原式的最小值是2.

【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题

是解题的关键.

变式1.(2022•浙江•七年级专题练习)阅读下面的材料：

点A、8在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为IABI,当A、8两点中有一点在原点

时，不妨设点A在原点，如图1,\AB\=\OB\=\b\=\a-b\；当A、8两点都不在原点时：

。(4)p、Qd°BAOBOA

0b0abba0b0a

图1图2图3图4

①如图2,点八、B都在原点的右边；IAB|=|ON|-|04|=|人|-|a|=b-a=Ia-b\；

②如图3,点A、B都在原点的左边：\AB\=\OB\-\0A\=\b\-\a\=-b-（-a）=\a-b\；

③如图4,点A、B在原点的两边：\AB\=\0A\+\OB\=\a\+\b\=a+（-Z?）=Ia-bI,

综上，数轴上A、B两点之间的距离\AB\=\a-b\.

回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离

是,数轴上表示I和-3的两点之间的距离是___________；

⑵数轴上表示x和-1的两点A和8之间的距离是________,如果|/W|=2,那么工为.

（3）当代数式Z+lI+Ix-2|取最小值时•，相应的x的取值范围是__________.

【答案】（1）3,3,4（2）卜+1|,1或/3）-14彳42

【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离，紧紧抓住在数轴上A、3两点之间的

距离IAB|=Ia-b|解题即可.（2）根据数轴上两点之间的距离得到卜-（-1）|=2,然后根据绝对值的意义

求出x的值.（3）把原题看成点k到点-1和点2的距离之和，即可得到答案.

【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为|5-2|=3,

数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为卜2-（-5）|=3,

数轴上表示1和-3的两点之间的距离为-3）|=4；故答案为：3,3,4；

（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和8之间的距离是卜-（一1）|=卜+1|,

根据题意得|%+1|=2,即x+l=±2,所以尸1或-3,故答案为卜+1|,1或-3；

（3）解：代数式Ix+lI+|x-2I可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3,所

以J的取值为-14x42,故答案为：-1WXW2.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义

是解题的关键.

变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5-（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5

与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5-（-2）|=.（2）找出所有符合条件

的整数工，使得仅+5|+卜-2|=7成立的整数是.（3）由以上探索猜想，对于任何有理数M|x

-3|+k-6|是否有最小值？如果有，写出最小值：如果没有，说明理由.

【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.（2）要x的整数值可以进行分段计

算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算:，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3

种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.

【解答】解：(1)原式=|5+2|=7故答案为：7：

(2)令x+5=()或x-2=0时，贝Ux=-5或x=2

当工V-5时,J-(x+5)-(x-2)=7,

-x-5-x+2=7,x=5(范围内不成立)

当-5V%V2时,:.(x+5)-(A-2)=7,x+5・x+2=7,7=7,

••x=~4,-3,-2,-1,0,1

当i>2H寸，:.(x+5)+(x-2)=7,x+5+x-2=7,2V=4,X=2,X=2(范围内不成立)

，综上所述，符合条件的整数x有：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2；

故答案为：-5,-4,-3,-2,-1,(),1>2；

(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|有最小值为3.

【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运

用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性.

模型2.\x-a\-\x-k\的最小值和最大值模型

【模型解读】式子,一汗一门一^在xWa时，取得最小值为一,一小在工2〃时，取得最大值小一小

【最值原理】人―《一,一目目的是在数轴上找•点心使”到。和。的距离差的最大值和最小值:

分类情况(X的取值范围)图示4Tx-q取值情况

k-flj

当XV4时卜一《一卜一母的值为定值，即为一卜_4

wa『

当时rq

aKb

k.TJ

当x>b卜-一b|J卜_《一卜一4的值为定值,即为

abX

例1.(2022•浙江・温州七年级月考)代数式仇・1|・|x+2|的最大值为〃，最小值为从下列说法正确的是()

A.。=3,b=0B.a=0,b=-3C.a=3,b=・3D.a=3,b不存在

【答案】c

【分析】分三种情况：当XN1时；当-2VxVl时；当烂-2时；进行讨论可求代数式|x-lHx+2|的值，即可求

出a与b的值.

【详解】解：当x>l时，|x-l|-|x+2|=x-1-x-2=-3；

当-2<x<l时,|x・l|・|x+2|=-(x-I)-(x+2)=-2x-1；

当xg-2时，|x-1|-|x+2|=-(K-1)+(x+2)=3.

•・•代数式1x7卜|x+2|的最大值为a,最小值为b,1.a=3,b=-3.故选：C.

【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a

是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数・a；③当a是零时，

a的绝对值是零.注意分类思想的运用.

例2.(2022・重庆•七年级期末)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作时.数轴上表示

数a的点与表示数b的点的距离记作如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，

|3+5|=|3-(-5)|表示数轴上表示数3的点与表示数一5的点的距离，|。-3|表示数轴上表示数a的点与表示

数3的点的距离.

II11IIIII.

-4-3-2-1~~0~~1~~2~~3~~4^

根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程)

(1)若,―2|=k+2|,则1=,若k—3|=|x+l|,则彳=；

(2)若卜―3|+卜+1|=4,则x能取到的最小值是_______；最大值是；

(3)若卜-3|-«+1|=4,则x能取到的最大值是;(4)关于*的式子,-2|+k+1］的取值范围是_______

【答案】(1)0,1；(2)-1,3；(3)-1；(4)大于或等于3

【分析】(1)根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；

(2)区3|+伙+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；

(3)若3Hx+1|=4,所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；

(4)根据励2Hx+1］的意义,求出岳2|+W+1|的最小值为3,从而确定取值范围.

【详解】解：(1)|『2|二|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点

表示的数为三=0,肉3|二|"1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，

因此到3和-1距离相等的点表示的数为3-=1,故答案为：0,1；

（2）|x-3|+|x+”=4表示的意义是数轴上表示k的点到表示3和-1两点的距离之和为4,可得-14W3,

因此.1的最大值为3,最小值为-1；故答案为：-1,3；

（3）取3卜|四1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-I的点的距离大4,根

据数轴直观可得，.区-1,即x的最大值为」，故答案为：」；

（4）式子田2|+仇+1|表示的意义是数釉上表示x的点到表示2和-I两点的距离之和，由数轴直观可得，

82|+仅+1|最小值为3,因此|x-2|+|_r+lR3,故答案为：大于或等于3.

【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键.

变式1.（2022•陕西西安•七年级校考期中）点A、3在数轴上分别表示有理数〃、匕，则在数轴上A、B两

点之间的距离为A8二|a"九利佳数轴上两点间距离，可以得到|x+l|-卜-斗的最大值是.

【答案】4

【分析】分xW-1、T<x<3、/23三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论.

【详解】解：根据题意，卜+1|-卜-3|表示工到1和3的距离之差，又-1和3的距离为卜1-3|=4,则

当工<一］时，|X4-1|-|X-3|=-X-14-X-3=-4：

当-1<x<3时，|x+l1Tx-3|=x+l+x-3=2x—2,则T<k+1卜卜一3|<4,此时卜+1|-卜一3|无最大值；

当JCN3时，|A+1|-|X-3|=x+l-x+3=4,

综上，|x+l|-|x—3|的最大值为4,故答案为：4.

【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类讨论思想求解是解答的关键.

变式2.（2022秋•贵州遵义•七年级校考阶段练习）已知在数轴上点A,"分别表示有理数4，b.

-10-9-8-7-6-5-3-2-1012345678910

⑴仔细阅读表格并对■照数轴填空:

a8—8-85-1.5a

b40-4-10-4.5b

A,8两点间的距离484

⑵写出数轴到表示6和-6的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和-6外）：（3）若点。表示的

数为x（除6和-6外），则x在什么范围内时，卜-6|+卜+6|的值总是一个固定值，并求出这个固定值；（4）

若点。表示的数为x,直接写出卜+2|-归-1|的最大值；当点C在什么位置时，,+1|+k-2|的值最小？最小

值多少？

【答案】⑴填表见解析：⑵f-4,T—21,0,1,2,3,4,5：⑶当-6<xv6,卜一6|+k+6|的值总是•个固定值，

为⑵⑷k+2卜卜-1|的最大值为3,当-UW2时，|x-l|+|x+2|的值最小，最小值为3.

【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可；

（2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对道即可得到答案；

（3）读懂卜-6|+卜+6|表小到6和-6的距离之和，该问需要进行分类讨论；

（4）根据卜+2|-卜-1|可表示为到表示-2和1的点的距离之差最大，根据|x+1+|x-2|表小钊一|和2的距离

之和最小，即可求解.

【详解】（1）解：填表如下：

a8—8-85-1.5a

b40-4-10-4.5b

A,8两点间的距离484153.5\a-b\

（2）解：到表示6和-6的点的距离之和为12的点所表示的整数在-6和6之间的整数有；

-5,-4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,5；

（3）解：根据k-6|+h+6］的几何意义是，x到-6,6的距离之和，

如果值总是一个固定值，则-6v.r<6,h一6|+,+6|=-（_¥-6）+工+6=12这个固定值为：|2；

（4）解：当时，|x+2|-|x-l|=x+2-x+l=3,

当一2avl时，|%+2|—k一1|=x+2+x-l=2x+l<3,

当时，卜+2|一,一1|=一（彳+2）-［一（》-1）］=-3,故,+2|-上一”的最大值为3；

根据Ix-l|+|x+2］可表示为到表示1和一2的点的距离之和，根据两点之间，线段最短，

即当一1C42时得到Ix-11+1X+2|的值最小为3.

【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝

对值.

变式3.(2022・湖北武汉•七年级期中)我们知道，1。1的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一

般地，点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B之间的距离可表示为|a-b|,请根据绝对值的几何意义

并结合数轴解答下列问题：

(1)数轴上的数x与1所对应的点的距离为一，数x与-1所对应的点的距离为一；(2)求|x+l|7x-l|

的最大值:(3)直接写出|x+l|+U+2|+|x+3|+|x+4|-|x-l|Tx-2|-|x-3|-|x-4|的最大值为.

【答案】(1)|x-l|,|x+l|；(2)2：(3)20

【分析】(1)根据题意即可列式解答；

(2)由x的取值范闱分三种情况：①当烂-1时，②当-IWXW时，③当近1时，分别化简绝本值，再计算

整式的值即可得到答案；

(3)根据(2)得到规律，依次进行计算即可.

【详解】(1)由题意得到：数轴上的数x与I所对应的点的距离为卜-1|,

数K与/所对应的点的距离为k-(—l)|=k+l],故答案为：|x+l|；

⑵|x-l|表示x到1之间的距原，,+1|表示x到-1之间的距离，

①当任-|时，|x-l|=I-x,|x+l|=-l-x,|x+l|-|x-l|=(-l-x)-(1-x)=-2；

②当-iWxg]0'j,|A-1|=1-X,|X+1|=X+1,/.|x+l|-|x-l|=(x+l)-(l-x)=2x<2；

③当xNl时，|x-l|二x-l,|x+l|=x+l,，|x+“-|x-l|=(x+l)-(x-l)=2,，|x+l|Tx-l|的最大值为2

(3)由(2)知：|x+l|-|x-l|的最大值为2,由此可得：|x+2|-|x-2|的最大值为4,

Ix-3|—|X—3|的最大值是6,|x+4|—|X—4|的最大值是8,

|x+l|+|x+2|+|x4-3|+|x+4|—|x—11—|x—2|—|x—31—|x—4|的最大值是2+4+6+8=20

【点睛】此题考杳有理数的计算，绝对值的性质，数釉上两点间的距离公式.

模型3.|x-<71|+|x-fl2|+..+\x-at.!|+|x-a„|的最小值模型

【模型解读及原理】

①当两个绝对值相加：若已知。<匕，忖一4+忖一目的最小值为〃一。，且数X的点在数。，匕的点的中间；

②当三个绝对值相加：若已知忖一4+|戈一4+忖一6）的最小值为C-4,且此时X=〃；

③当有2〃+1（奇数）个绝对值相加：

上一〃[|+上一4|+...+上一42〃|十忖一。2〃/且4<a2<....<生”<〃2»1，则X取中间数，即X=〃“+i时，

|X-«,|+|X-6Z2|+……+归-42〃|+k一。2〃+1|取得最小值（。2,用-4）+（。2〃-。2）+……+（。〃+2-%）+。；

④当有2〃（偶数）个绝对值相加：

上一。||+上一。21+...+卜一。2“」+忖一生〃|,且％<〃2<..........<%“,

则X取中间段，即当4“WXW时，,一々J+,—生|+....+|x—6f2,J_||+|x—々2”|取得最小值为：

（生“一4）+（。2”-1一。2）+...+（册一2-a〃T）+（。〃+1-4）。

例1.（2022•天津初一月考）若工是有理数，则,-2|+,-4|+卜-6|+上一8|+...+卜-2018|的最小值是

【答案】509040

【分析】首先判断出3・2|+|.「4|+仅-6|+_+卜・20国就是求数轴上某点到2、4、6...20分的距离和的

最小值；然后根据某点在。、。两点之间时，该点到。、力的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2

和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当尸1010之间时，算

式k-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-2018的值最小,据此求出仅-2|+|x-4|+k-6|+...+|x-2018|最小值是多少即可.

【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当E010时,算式枚・2|+|厂4他・6|+...+公2018拘值最小,

最小值是：（2018-2）+（2016-4）+（2014-6）+...+（1010-1010）

=2016+2012+2008+...+0=（2016+0）x505^-2=2016x505^2=509040

工仇・2|+k-4|+|.r-6|+...+|x-20181的最小值是509040.

【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：WI表示数轴上表示X的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解

答此题的关键是要明确：岳川表示数轴上表示x的点到表示。的点之间的距离.

例2.（2022秋・浙江杭州•七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：

点A,8在数轴上分别表示实数a,b,A,8两点之间的距离表示为|A8|.如图1,从数轴上看，若点A,B

表示的分别是1，4则|A8|=|4—1|=3或|AB|=|1-4|二3；

若点A,8表示的数分别是T,4则|4网=|4-（一1）卜4+1=5或|.锄二卜1-4|=卜5|=5；

若点48表示的数分别是T,-4,则|M=|（T）-（T）|=|-I+4|=3或|四=|7-（一1）|=|-4+1|=3.

【归纳】若点A,8表示的数分别是西，小则|羽=|5-。或|阴=人一力.

【知识迁移】⑴如图1，点A,8表示的数分别是T.5,8且|A8|=3,则/；

⑵如图2,点A,/?表示的数分别是』，公，若把AB向左平移|人同个单位，则点4与-50重合，若把AA向

右平移|A回个单位，则点B与70重合，那么内=,x2=；

【拓展应用】（3）一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才

出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！〃美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到

底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.

⑷结合几何意义，求卜_1|+k_2|+k_3|+卜_4|+,一5|最小值.

IIIIIIII»___I_________I__I______I_______I»

-3-2-101234-50AOB-70

图1图2

【答案】⑴一1.5或一7.5（2）-10；30⑶村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁

（4）卜―1|+卜_2|+卜_3|+卜_4|+卜_5|的最小值为6

【分析】（1）根据题意可得|7.5-耳=3,求出的值即可；

（2）由题意可得|A8|=70一,50）-4（）,再分别求出芭，与即

（3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的

数为-40.村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116,村长爷爷与美羊羊的年龄差为〃?，得出

4="6（4°!=52,然后分别求出结果即可；

3

（4）由绝对值的几何意义可得,当产3时，卜一1|十打一2|+,一3|+卜一4|+,一5|的值最小.

【详解】（1）解:（3点A,B表示的数分别是-4.5,b,

回45-同=3,解得匕=一1.5或4=一7.5,故答案为：一1.5或一7.5；

(2)解：回把A3向左平移卜四个单位，则点A与-50重合，若把A3向右平移|4阴个单位，则点B与70

重合,团把-50向右平移|A四个单位得到内，把再向右平移1M个单位得到“2,%2向右平移|刈|个单位得到

70,国人网=四土竺1=40,0x1=-5O+4O=-l(),X2=70-40=30,故答案为：-10,30：

(3)解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表

示的数为-40,村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116,村长爷爷与美羊羊的年龄差为〃z,根据

题意得：T0+〃z=x,x+m=y,y+〃?=116,

团〃？="叱(d?=52,0x=52-40=12,y=116-52=64,

3

答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁.

(4)解：团|工一1|十上一2|+卜一3|+卜一4|十忖一5|表示数轴上表示犬的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，

团当x=3时，|X-1|+|X-2|4-|X-3|4-|X-4|+|X-5|的侑最小，

0|3-1|+|3-2|+|3-3|+|3-4|+|3-5|=2+1+1+2=6,

回x-l|+|x-2|+卜-3|+|x-4|+卜-5]的最小值为6.

【点睛】本题主要考杳实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握

数轴上两点间的距离公式，是解题的关键.

例2.(2022•武侯区校级月考)|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2014|的最小值为,此时x的取值

为.

解：原式可转化为在数轴上找一个点到1,2,3,…，2014对应的点的距离和最小，

故当1007WXW1008时，距离和最小,可取x=1007,则此时距离和为:

1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007=2x(1+2+3+…+1006)+1007

=1014049,即原式的最小值为1014049；

当X=1008时,最小值也为1014049,故10070X01008.

变式1.(2022秋•浙江•七年级专题练习)问题一：有理数a4c对应的数轴上的点是A,B,C.如果48

两点距离小于8,AC两点距离大于4,且C在A3之间，。=-3.5,b,c都是整数，试利用数轴求出〃，c

的可能值

问题二：己知点A8在数轴上表示的数分别为九〃

(1)若A8两点的距离为d,则4=(用含的式子表示)

（2）由（1）的结论可知k+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示的点的距离

（3）若动点C表示的数为-当入•为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.

①卜-2|+|%+斗;@|-v-2|+|x+3|+|x+5|；（3）|x-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x—20|

【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）・2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5,|x-2|i-|x+3|+|x+5|

的最小值为7,打一2|十上一4|+|无一6|+一+卜一20|的最小值为50

【分析】问题一：根据A,B两点距离小于8,大于4,且a=-35据此可求出b,再根据C在A心之间，求

出c值;

问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d；

（2）根据（1）的结论即可求解.；

（3）根据绝对值的几何意义即可求解.

【详解】解：问题一：如图：

0b=-ll,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,-0,1,2,3,4,

c=l,2,3,4或-8,-9,-10,-11；

BB

।1I11।।।।!|।i।li।Ii।

•1）-12-11-10-98-7-6-5-443-2-I0I23456

问题二：

（1）A、B两点的距离为d,则d=|m-n|；

（2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离：

（3）①团动点C表示的数为x,

团|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2的点的距离，

|x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示・3的点的距离，

团当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值，

0|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5；

②叫x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5的点的距离，

团当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7,

@|x-2|,|x-4|,|x-6|,...»|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2,4,6,20的点的距离，

13当动点C在10和12之间时，18+14+...+2=50

|%_2|+1x_4|+1x-6|+…+1x_2q有最小俏.50.

【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解

题意，然后根据题意列出计算式因可解决问题，体现了数形结合的优点.

变式2.(2022秋・浙江•七年级专题练习)已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对

值.如图1,在数轴上点月表示的数为-2,点8表示的数为1,点C表示的数为3,则8,C之间的距离表

示为：BC=\3-]\,A,C之间的距离表示为：AC=|3-(-2)|=|3+2|.

若点尸在数轴上表示的数为羽则P,A之间的距离表示为：P/l=|x-(-2)Hx+2|,P,8之间的距离表示

为：PB=\x-\\.

ABC

_l______I______i_____i_____I----------1----------L---------1---------L--------1---------►

-5-4-3-2101234图i

(1)如图1，①若点P在点4左侧，化简lx+2|+|x-l|=；

②若点P在线段相上，化简Ix+2|+|x-l|=；③若点P在点8右侧，化简Ix+2|+|x7|=；

④由图可知，b+2|+|x-l|的最小值是.

(2)请按照(1)问的方法思考：|x+3|+|x-1|+|x-2|的最小值是.

(3)如图2,在一条笔直的街道上有E,F,G,"四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m.已

知E,F,G,”四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这

8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇

合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从

小区门口到汇合地点的路程之和的最小值.

石尸GH图2

【答案】(1)-2x-l：②3；③2x+l；@3；(2)5；(3)汇合点M的位置在FG之间(包括F、G),所

有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m.

【分析】(1)①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即司.：

③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可；

(2)分别讨论当P点在2的右侧即x>2时，当。点在-3的左侧即与<-3时，当p点在-3和1之间时即-3Wx<l

时，当夕点在1和2之间时即1KXK2时，|x+3|+|x-l|+k-2|的值的情况，即可得到答案：

(3)如图所示，E、F、G、”分别在数轴上表示-400,-200,0,200,设M表示的数为x,路程之和为s,

则路程之和5=2k+400|+2k+200|+3国+上一2叫，然后同(2)进行讨论求解即可.

【详解】解：(1)①团尸在8点左侧时，0x<-2,

0|x+2|+|x-l|=-(x4-2)+[-(x-l)]=-x-2-x+l=-2x-l,故答案为：-2x-l；

②®尸在线段44上，0-2<x<l.

0|x+2|+|x-l|=(x+2)+[-(x-l)]=x+2-x+l=3,故答案为：3；

③日点尸在点8右侧，0x>!,

!3|x+2|+k-l|=(x+2)+(x-l)=1+2+x-l=2x+l,故答案为：2x+l；

④由图可知当P在A点左侧时|x+2|+|x-l|=P4+P3=A8+2P4=2P4+3>3,

PABC

_1----------l—i---------1------1----------1----------1------1-------1——।------►

-5-4-3-2-101234

由图可知当P在48之间时|x+2|+|x-l|=H4+P8=A8=3,

APBC

_l______I-----------1---------1-----1—^―।-----------k------1---------L-----1------►

-5-43-2-101234

由图可知当P在4点右侧时k+2|+|x-l|=Q4+2P3=43+2PB=2P3+3>3,

回打+斗+卜一1|的最小值为3,故答案为：3：

(2)当尸点在2的右侧即x>2时，0|X+3|4-|X-1|+|X-2|=X+3+X-14-X-2=3X>6,

当P点在-3的左侧即x<-3时，

0|.r+3|+|.v—l|+|.r-2|=-(.r4-3)—(X—l)-(.v-2)=-x-3—.r+I-x+2=—3x>9

当P点在-3和1之间时即-34xvl时，

[31|^,+3|+|-¥—l|+|.v—2|=^+3—(x—Q—(jt-2)=x+3—x+1—x+2=6—

(ailtB'J5<|x+3|+|x-l|+|x-2|<9,

当P点在1和2之间时即时,用卜+3|+打一1|+人一2|=x+3+x-l-(x-2)=x+3+x-l-x+2=4+x,

回此时54卜+3|+卜_1|+卜_2|46,团综上所述，,+3|+卜_1|+卜_2|的最小值为5,故答案为：5；

(3)如图所示，E、F、G、”分别在数轴上表示-400,-200,0,200,设M表示的数为x,路程之和为s,

由题意得：路程之和s=2|x+400|+2|x+200|+3N+打一200|

EFGH

-400-2000200

当-400时，$=2卜+400|+2卜+200|+3国+,-200|=

=-2(x+400)-2(x+200)-3x-(x-200)=-2x-8(X)-2x-4(X)-3x-x+20()=-8x-l(XX)>22(X)；

当200时，5=2|X+400|+2|X-200|+3|X|+|X-200|=

=2(x+400)+2(x+200)++(x-200)=2x+800+2^+400+3x+x-200=8x+1000>2600；

当-400Wxv—200时，5=2|X+400|+2|X+200|+3|A|+|X-200|

=2(X+400)-2(X+200)-3X-(X-200)=2X+800-2A-400-3X-X+200=^X+600；

回此H寸1400vsK2200；

当-200Wx<0时，.V=2|X+400|+2|A:+200|+3|X|+|X-200|

=2(x+400)+2(x+200)—3x—(x-200)=2x+800+2x+400-3x-x+2(X)=1400；

当04xK200时，5=2|X+400|+2|X+200|+3|A-|+|X-200|

=2(X+400)+2(X+200)4-3X-(X-200)=2X+800+2X+400+3A-X+200=6X+1400：

团此时1400Ks工2600；05-的最小值为1400,此时一200<x<0,

回汇合点M的位置在"G之间(包括F、G),所有小朋友从小区门匚到汇合地点的路程之和的最小值为1400m.

【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练

掌握化简绝对值的方法.

变式3.(2022•浙江宁波•七年级校考期中)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结

合.通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点4和点B表示的数为mb,则A,B两

点之间的距离A8=|a-q，若a>b,则可化简为A8=a-〃.请你利用数轴解决以下问题:

-3-2012

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m,若点、P与表示有理数一2的点的距离是3个单位长

度,则，〃的值为;

(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为小，若数轴上点P位于表示・5的点与表示2的点之间，

则加-2|+帆+5|=：⑶已知点4,B,C,。在数轴上分另J表示数a,b,c,d,四个点在数轴上的位

置如图所示，若|。_4=12,区_《=7,卜_6|=9,则忖一.等于-

ABCD

I[I1»

abcd

(4)若〃=a,c=e=^a,f=^a，则式子|。_1|+2卜+2|+3,―3|+4K+4|十可/—5]的最小值为

■

【答案】(1)1或・5(2)7(3)4(4)54

【分析】(1)由题意可知，,-(-2)|=3,再接方程即可；⑵由点P位于表示-5的点与表示2的点之间，

得到加一2|+加+5|表示点尸到2和-5的距离和，由|-5-2|=7,即可得到答案；

(3)由题意得到|a-c|=4C,\a-d\=AD,\b-d\=BD,\a-c\=AC,则

\b-(\=BC=BD+AC-AD=\h-d\+\a-(\-\a-d\=()+l-n=A,即可得到答案；

(4)由题意可得|〃T+2|c+2|+3|d-3|+4|e+4|+5|/-5|=|aT|+k+4|+|a_9|+k+16|+|所25|,根据绝对

值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，I,-4,9,-16,25距离和最小，即可得到答案.

【详解】(1)解：•••点P与表示有理数・2的点的距离是3个单位长度，

•二l。一(一2)|=3,.•・〃+2=3或〃+2=-3,解得〃=1或。=一5,故答案为：1或-5；

(2)丁点P位于表示-5的点与表示2的点之间，・•・加-2|+|帆+5|表示点P到2和-5的距离和，

V|-5-2|=7,.\|/n-2|+|/n+5|=7,故答案为：7；

(3)V\a-(\=AC,\a-d\=AD,\b-d\=BD,\a-(\=AC,

A