新七年级数学专项提升：式与方程（原卷版）

衔接点02式与方程

素养目标

小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、

简单的一元•次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。

初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关

注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论

具有一般性；”方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中

应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生

的运算能力、抽象能力、推理能力等。

其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”

与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这

样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。

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目录导航

题型探究

题型1、字母表示数.............................................................................3

题型2、探究与表达规律..........................................................................3

题型3、等量代换................................................................................5

题型4、等式与方程的概念辨析...................................................................6

题型5、等式的性质及其运用.....................................................................7

题型6、方程的解及其运用.......................................................................8

题型7、解方程..................................................................................9

培优精练

A组（施力提升）..........................................................................................................11

B组（培优拓展）..........................................................................................................12

r.4知识梳理

i.用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律

1）用字母表示数和数量关系

（1）班有男生。人，女生〃人，夬有（〃+。）人；（2）每袋面粉重25T-克，x袋面粉共重25人丁克;

（3）路程=速度x时间，用字母表示s=%（4）正比例：^=k（一定），反比例：xx），=k（一定）。

x

2）用字母表示计算公式及运算定理

长方形周长：C=2（a+b）；长方形面积：S=ab；长方体体积：V=abk或V=Sh.

加法交换律：。+〃=力+。加法结合律：（〃+6）+c=a+（b+c）

乘法交换律："=力。乘法结合律：（ab）c=a（be）乘法分配律：（a+b）c=ac-\-bc

注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后,

数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如。X”可以写作《凡

2.等式与方程

1）等式与方程的意义及关系

意义关系

等式表不相等关系的式子叫作等式

所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程

方程含有未知数的等式叫作方程

2）等式的性质

（1）性质I：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同•个不为0的数，所得结果仍然是等式。

3）解方程

（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫年方程的解。

（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。

（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立;

③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

r…题型探究

题型1、字母表示数

【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，

甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数国关系表示出来。

2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。

使思维过程简约化，易于形成概念系统。

例1.（2024・辽宁•小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a+58b

表示（）；当〃=45,b=l0,贝1]2（功+5助=（沅。

例2.（2024•浙江•小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，加个人做"天可以完成，若增加，•人，

则完成工作所需的天数为（）。

八，c,cd-md

A.d+rB.d-rC.-------D.------

m+rm+r

例3.（2022・湖南怀化小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语

一共得b分，数学得（）分。

A.3a-bB.a+3—bC.a+3-2b

变式1.（2023・四川成都・小升初真勘夏明今年〃岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（）

岁。

A.a+6B.21C.a+7D.6

变式2.（2023•江苏小升初模拟;如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增

加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（）平方厘米。

A.3abB.3（a+□）C.6（a+b）D.6ab

题型2、探究与表达规律

【解题技巧】观察前〃项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。

例1.（2024.六年级山西.期中）根据下面图形的规律，第"个图中有（）个O。

A.33B.36C.39

例2.（2022•浙江温州小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为"三角形

数”，而把1、4、9、16这样的数称为“正方形数”。

16=6+10

从上图中可以发现：

任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4=1+3。把“正方形

数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（）。

A.36=10+26B.36=12+24C.36=15+21D.36=16+20

变式1.（2023・江苏・小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

第二个图案中有白色地砖块。

第一个第二个第二个

变式2.（23-24六年级•陕西咸阳期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中

有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……,按此规律排列

下去，则第6个图中有（）个黑色三角形，第（）个图中有100个黑色三角形。

▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲

第1个图第2个图第3个图

变式3.（23-24六年级•河南期末）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的

队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。

队形1234•••

ooeooeo...

图示OOooooe

•••oooo•••••

⑴观察点子图，补充下面等式。

2=1x2

2+4=2x3

2+4+6=3x4

2+4+6+8=（）x（）

⑵照这样，第8个队形需要（）人；第n个队形需要（）人；第（）个队形有56人。

题型3、等量代换

【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思

想方法的基础。.如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于

锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。

例I.（2022.山西临汾.六年级统考期末）根据如图，⑥=（）克。

।ccp।Icq1gl11•f•।।qc1।।i।

△△△

A.50B.48C.64

例2.（2022•重庆沙坪坝•小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某

人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话，这部手机还能玩（）分钟的游戏。

例3.（2。23,四川成都.小升初真题）已知会宗台479749,求罢黯的值。

变式1.（2022・湖南长沙,小升初真题）如果△।।।।口=270,□।△।△।△।0=290,那么，

□+△=（）o

变式2.（2022•江苏南京小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大

杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满（）个大杯和（）个小杯后，没有剩余。

变式3.（2024•山东•小升初模拟）若3々+助=24,则+的值是（）。

42

题型4、等式与方程的概念辨析

【解题技巧】

1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。2）方程：含有未知数的等式。

3）方程一定是等式，等式不一定是方程。

注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式：二.是含有未知数.

例1.（2024六年级下江苏,专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（）的关系也可以用这

样的图来表示。

A.质数和合数B,奇数和偶数C.四边形和三角形D,长方形和正方形

例2.（2024六年级下辽宁.专题练习）下面的式子中，是方程的是（）。

A.3x+5B.3y-7<8C.1+45=1.2D.81-9=9

变式1.（2023春•浙江•六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（）。

A.21=y+5B.8+x=12C.13+6-9=10

变式2.（2024,河南•六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示

他们之间关系的是（）。

变式3.（2022・湖南湘西•统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下

图中：

如果A表示长方形，那么B可以表示正方形：

如果A表示等腰三角形，那么B表示（）：

如果B表示方程，那么A可以表示（）。

题型5、等式的性质及其运用

【解题技巧】等式的性质

（1）性质1；等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。

例I.（2（）23春・湖南长沙•六年级统考期末）如果〃=〃，根据等式的性质填空。

a+5=b+（）。一（）=b-ni

axg=bx（）（）=/?4-0.5

例2.（2023春•北京•六年级统考学业考试）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。

（看-；）$一（□-1）=|,求□内应填的数0

例3.（22-23六年级上•陕西西安期末）

变式1.（2023春・江苏南通•六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（）与众不同。

A.等式的性质B.分数的基本性质C.比的基本性质D.商不变的规律

变式2.（2023春・天津红桥•六年级统考期末）若则下列选项中错误的是（）。

2211

A.。+3=方+3B.5。+4=5力-4C.—a=—bD.-a-5=—b-5

3322

变式3.（22-23六年级下河南郑州期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的乙2=44,

晓晓的理由是：因为：^1+^2=180°,乙1+乙4=180。（平角等于180°）,所以：41+42=乙1+44,

也就得出：匕2=44。这里运用了（）。

B.等式的性质C.减法的性质

题型6、方程的解及其运用

【解题技巧］1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程

的解，求字母的数值。

例1.（22-23六年级下•山东•期末）x=6是下面方程（）的解。

A.24+x=6B.5x=35C.4x+5=29D.4x^8=6

例2.（2023春・江苏♦六年级小升初模拟）已知方程2x+&=10的解是x=4,则4的值是（）。

A.2B.3C.4D.5

变式1.（2022•四川乐山•五年级期末）x=6是下列（）方程的解。

A.12T=0B.x+3=9C.0.2x-6D.A:-5-10=1.5

变式2.（2022•江苏徐州•五年级期中）若A=2是方程3x+4〃=22的解，则a的值为（）。

A.4B.7C.10

题型7、解方程

【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立;

③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

例「（2024.江苏.小升初模拟）解方程：Qi高部5=5:2N+%那

例2.（2024・重庆,小升初模拟）解方程。

7、I/、，、I

9l.5--(9.r-18)=73.53(zx-l)--(.r+l)=2(x+l)--(x-l)

332

例3.（2023・浙江•小升初模拟）解方程或比例。

3O.7.V+O.O50.2.r-0.17

—:18%-----------------十,1

200.02-------0.03

变式1.(2024.辽宁•小升初模拟:，解方程。

454

l2-4x=2.42x:—=—:22:(x-l)=-

585

变式2.(2023・四川成都小升初真题)解方程。

v4-1r4-1

(1)3.6.什0.4-0.2=1.6(2)3x---=3+——

22

变式3.(2023•绵阳市•六年级小升初模拟)解方程或比例。

30.7x+0.05O.2x-O.I7.

5c:(x-l)=——:I1O8O%/--------------+--------------=1

''200.020.03

培优精练

A组（能力提升）

1.（23-24六年级下四川期中）下面说法正确的是（）。

A.方程5x।5=5的解是5B.5xi5<5是方程C.等式定是方程D.方程定是等式

2.（23-24六年级•江苏常州期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表

示它们之间关系的是（）。

3.（2022春•广东梅州•六年级统考期木）戈=3是下面方程（）的解。

A.2x+9=15B.3x=4.5C.3x4-2=18

4.（2022•河南三门峡,小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b=2a-10

（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（）厘米。

A.64B.23.5C.28.5

5.（2024・四川成都・小升初真题）（比较大小）£（a）2）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（）o

42

~b^2“2

（2022・山东济宁・小升初真题）4a+8错写成4x（a+8）,结果比原来（）。

A.多4B.少4C.多24

7.（2022•陕西西安小升初真题）某水果店运来苹果x千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果店运来

苹果和梨一共（）千克。如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果（）千克，运

来梨（）千克。

8.（2023・四川成都小升初真题）王恒出生于20世纪，他把他出生的月份乘2后加上5,把所得的结果乘

50后加上出生年份再减去250,最后得到2088,则王恒出生在（）年（）月。

9.（2023・四川成都・小升初真题）（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,

则第5个大三角形中白色的三角形有（）个。

10.（2023・湖北小升初模拟）求未知数X。

⑴7(A-+1)=5(A-+2)-I(2)(x+2)=U(3)3(20-y)=6y-4(y-I)(4)工一2=?一手

o3«23

B组（培优拓展）

1.（23-24六年级上江苏徐州期末）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方

形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到

9个正方形…像这样操作8次，可以得到（）个正方形。

□田E一

①②③

A.29B.30C.32D.33

2.（2023・四川成都・小升初真题）人B,C,D,E,尸六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，

统计出人B.C,D,E五队分别比赛了5,4,3,2,1场球，则还没有与B队比赛的球队是（）。

A.C队B.。队C.E队D.F队

3.（2022浙江宁波小升初真题）按照下面的方式堆放小球，第5堆有（）个小球，第n堆有（）

个小球。

⑴⑵(3)(4)

4.（2023・四川成都小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱

总数如下表:

品名

计算器圆规三角板量角器总钱数

件数

第一次购买件数134