新七年级数学专项提升：双角平分线模型与角n等分线模型（原卷版）

专题04双角平分线模型与角〃等分线模型

对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有

一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然

后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增

加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可

以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

模型1.双角平分线模型

图2图3

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分NAO8、NBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC-

2

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：O。、OE分别平分NAOB、NBOC；

结论：ADOE=-AAOC-

2

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,己知/40。+/30。+44。。=360<>,0Pl平分NAOC、OP?平分N40C；

结论：NW180—Z4O8.

例1.（2023・河南周口•校联考一模）如图，点。为直线AB上一点，OE平分N8OC,0。平分/AOC,若

4QE=28。，则ZA。力的度数为（）

A.58°B.60°C.62。D.70°

例2.（2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末）如图，射线OC平分/A08,射线0。平分NBOC,则下列等

式中成立的有（）

①/COD=ZAOD-/BOC；（2）ZCOD=ZAOD-ZBOD；（3）2ZCOD=2ZAOD-ZAOB；④

ZCOD=-ZAOB.

3

A

A.①②B.①③C.②③D.②④

例3.（2022秋•黑龙江大庆•七年级校考期末）如图，是/A08的平分线，射线OC在N8QW内部，ON

是/BOC的平分线，己知200=80。，那么NM。*的大小等于,

例4.（2023秋•福建福州•七年级统考期末）如图，已知射线OC在/AO8内部，。。平分乙40COE平分

NBOCQF平分NAOB,以下四个结论：①ZDOE=^ZAOB；②2/DOF=ZAOF-4COF、③

ZAOD=ZBOC；④/EOF=；（/COF+NBOF）.其中正确的结论有（填序号）.

DF

\//二

OB

例5.（2023・湖北七年级课时练习）如图所示，已知回AOB=641OAi平分0AOB,OA2平分回AOAI,OA3平分团AOA2,

OA平分团AOA3,则由AOA4的大小为（）

例6.（2022秋•山西太原•七年级统考期末）图，出100鲂。。=90。，08在酎OC的内部，OC在的内

部，OE是阳08的一条三等分线.请从48两题中任选一题作答.

A.当团800=30°时，（3EOO的度数为.

B.当团4OC=a。时，mEOD的度数为（用含a的代数式表示）.

例7.（2023秋•重庆万州•七年级统考期末）平面内，ZAOB=140°,C为NAO8内部一点，射线OM平分

NAOC.射找ON平分/8OC,射线O£）平分NMON,当|/人。（7-2/。。。|=30。时.求一人OC的度数？

例8.（2023秋•江苏无锡•七年级校考期末）解答题：⑴如图，若4408=120,ZAOC=40°,。0、OE分

别平分NAOB、/4OC,求NOOE的度数；

⑵若ZAOB,ZAOC是平面内两个角，ZAOB=m,乙40c=〃（〃<，〃<180）,。。、O£分别平分ZAOB、

ZAOC,求NDOE的度数.（用含〃?、〃的代数式表示）

例9.（2023春・山东济南•七年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线OC在/AO8的内部，图中共有3个角：/AOB,乙4OC和/5OC,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是/AO3的“巧分线〃.⑴一个角的平分线—这个角的“巧分线〃，（填“是〃

或“不是”）.（2）如图2,若/MPN=60。,且射线也是NM/W的“巧分线"，则NMP0=:表示出所有

可能的结果探索新知）.⑶如图3,若NMPN=a,且射线R2是“用/W的"巧分线"，则/MP。=（用

含«的代数式表示出所有可能的结果）.

课后专项训练

1.（2023春•北京海淀•七年级校考期中）如图，直线AB,C。相交于点。，分别作48,N'BOD的平分

线。E,OF.ZBOC=48°,则N£O/的度数是()

A.56°B.66°C.72°D.90°

2.（2023秋•广西崇左•七年级统考期末）如图，0c是/AO8内的一条射线，OD平分/8OC,OE平分

^AOC,ZDOE=29°4（y,则NAO3的度数为（）.

A.58°B.59°2(XC.60°D.5804(r

3.（2022秋•山西临汾•七年级校联考阶段练习）如图，已知NA08=160。，。。是N4。/?内一条射线，OE

平分ZAQ7）,OC平分NBOD,ZAOE=55°,则N8OC=.

4.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校联考期末）如图.OM平分NAOB,ON平分NCOD.若ZMON=48。,

ZBOC=14°,则ZAO£>=.

5.（2023秋•广东梅州•七年级校考阶段练习）已知乙45=50。，由定点。引一条射线，使得N3OC=30°,OM、

ON分别是NAOB和NBOC的平分线，则AMON=度.

6.（2023秋•安徽六安•七年级校考期末）如图，已知08、OC是N4OD内部的两条射线，OM平分/AO8,

ON平分48D,①若N8OC=40。，NMON=80。，则的度数为_____度：②若NAOQ=x。，

NMON=80。,则NBOC的度数为度（用含x的代数式表示）.

AMR

--------------D

7.（2023春•湖北武汉•七年级校考阶段练习）已知，如图，ZAOBiZBOC=3:2,。。是N30C的平分线,

OE是NAOC的平分线，且N£）OE=36。，则NAOB=_______度.

D号E

;

OA

8.（2023•黑龙江•七年级校联考期末）如图，ZAOC=9）（0,ZfiOC=60°,OE平分/BOC,0。平分NAO8.（1）

如图1,求N0OE度数；（2）如图2,若NAOC=x。，其他条件不变，请直接写出NDO笈的度数.

A,彳

图1图2

9.（2023・广东•七年级假期作业）如图,OC是Z4OD的平分线，OE是N80D的平分线，404=130。.

⑴求NCOE的度数是多少？（2）如果NCOD=2（）。，求N8OE的度数.

B

。匚。

10.（2023秋•山东临沂七年级统考期末）（1）如图1,NAO8为直角，ZAOC=60°,且OM平分N8OC,

ON^^ZAOC,求/MON的度数.(2)如图2,ZAOB=40°,Z4OC=56°,且0历平分/BOC,ON

平分/4OC.直接写出NMON的度数.

因为NAOC=60。，OM平分/30C,所以同=；N8OC=1

因为NAOC=60°,ON平分/AOC,所以团=^ZAOC=c

所以乙WON=。；

(2)NMON=

11.（2023・广东江门•七年级期末）如图，OB是ZA8的角平分线，。。是N8OE的角平分线，OC是NBOD

的角平分线，NAOE=60。，求NBOC.

12.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线。。在NA08内部，OE

平分ZAOD.⑴如图1,求证：—=NOOK；⑵如图2,作"平分NAO4,求证：/EOF=g/DOB；

⑶如图3,在（2）的条件下，当24。。=90°时，作射线3的反向延长线OC,O"在。4的下方，且

ZAOH=ZAOE,反向延长射线0E得到射线Q2,射线OP在N"OQ内部，OG是NEOP的平分线，若

NBOC—NDOF=26°,5NGOH+2ZPOQ-/EOF=71°,求N8OP的度数.

图3

13.（2023春•天津南开•七年级校考开学考试）（1）如图1,已知。为AO上一点，NAOC与/49笈互补,

OM.QV分别为/AOC与NAOB的平分线，若/MQV=40。，试求NAOC与NAO3度数.（2）已知如

图2,NAOB:NBOC=3:2,OO是/8OC的平分线，OE是NAOC的平分线，且/BQE=12。，求NDOE

的度数.

图2

14.（2023秋•广东广州•七年级统考期末）点。为直线AB上一点，在直线48同侧任作射线OC,OD,使得

NCOD=90。.（1）如图1,过点O作射线OE,当OE恰好为NAOC的角平分线时，另作射线。尸，使得C加

平分贝IJNEOC+NOO厂的度数是

（2）如图2,过点0作射线0G,当0G恰好为48的角平分线时，求出/30。与NCOG的数量关系;

⑶过点。作射线当0C恰好为的角平分线时，另作射线。K,使得。K平分NCOD,若

ZHOC=3ZHOK,求出ZAO”的度数.

A()B

图

图13

15.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）如图，是NAOC的平分线，ON是NBOC的平分线.

⑴如图1,当NAOB是直角.NBOC=60。时，NMQN的度数是多少？

⑵如图2,当NAO8=a,N3OC=60。时，猜想NMON与。的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,当NA08=a,NBOC=〃时，猜想：NMQV与。、/有数量关系吗？如果有，写出结论并说

明理由.

N

NN

CC

16.（2023秋•安徽池州•七年级统考期末）（1）如图1,已知/4。8内部有三条射线，QN平分/8OC,OM

平分NAOC,若乙408=60。，求NAOM+N3QV的度数；（2）若将（1）中的条件“ON平分/8OC,OM

I3

平分/AOC"改为"NNOB=-/COB,4coM=」/OCA”,且Z4OB=a,求Z/UW+N4QN的度数；（3）

44

如图2,若QV、OC在/AO8的外部时，QV平分/6OC,平分N40C,当NAO8=a,N8OC=/时,

猜想：NMQV与夕的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由.

图2

17.（2023秋•河北保定•七年级统考期末）问题情境：OC是一条射线，OM、ON分别是/AOC和NBOC的

角平分线.①当NAOB是直角，NBOC=4（T,射线OC在的内部时，我们可以发现N用。N的度数

是—；②当ZAOB是直角，NBOC=a（0<cr<90）,射线OC在/AOB的内部时，4MON的度数是_。.

探索发现：OM、ON分别是N40C和N8OC的角平分线，当射线OC在N4OA的外面时.①若一人OS是

直角，ZBOC=2（r,求出/用QV的大小；②若NAOA是直角，^BOC=a（0<a<90）,写出NMCW的

度数；数学思考：OM、ON分别是/AOC和N8OC的角平分线，若/AO8的度数是夕，

^BOC=a（0<a<90）,直接写出NMON的度数.（用含。、夕的代数式表示）

18.(2023春•山东淄博•七年级统考期中)如图①，已知线段AB=18cm,CD=2cm,线段CD