高中数学必修2空间几何体知识点归纳总结

高中数学必修2空间几何体知识点归纳总结一、空间几何体的结构（一）多面体的结构特征1.棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。分类：按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等；按侧棱与底面是否垂直分，可分为直棱柱（侧棱垂直于底面）和斜棱柱（侧棱不垂直于底面）。直棱柱的侧面都是矩形，正棱柱是底面为正多边形的直棱柱。性质：棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形。两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。2.棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。分类：按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做正棱锥的斜高。棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。3.棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。性质：正棱台的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高。正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形。正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。（二）旋转体的结构特征1.圆柱定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。性质：圆柱的轴截面是全等的矩形。平行于底面的截面是与底面全等的圆。过母线的截面是矩形。2.圆锥定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。性质：圆锥的轴截面是等腰三角形。平行于底面的截面是圆，且截面面积与底面面积之比等于对应高的平方比。过母线的截面是等腰三角形。3.圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面，圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体。性质：圆台的轴截面是等腰梯形。平行于底面的截面是圆。过母线的截面是等腰梯形。4.球定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面。设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面圆的半径为r，则r=二、空间几何体的三视图和直观图（一）三视图1.定义：正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图是光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图是光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。2.画法规则正视图与俯视图的长对正，正视图与侧视图的高平齐，侧视图与俯视图的宽相等。能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。3.常见几何体的三视图圆柱：正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆。圆锥：正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心。球：正视图、侧视图和俯视图都是圆。（二）直观图1.斜二测画法步骤：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使∠=（或），它们确定的平面表示水平面。已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。特点：斜二测画法得到的直观图中，原来平行的线段仍然平行，但角度和长度可能会发生变化。2.直观图与原图形面积的关系设原图形的面积为S，直观图的面积为，则=。三、空间几何体的表面积与体积（一）多面体的表面积1.棱柱棱柱的表面积等于侧面积与两个底面积之和。直棱柱的侧面积=ch（c为底面周长，例如，一个正三棱柱底面边长为a，高为h，底面正三角形的面积=，底面周长c=3a，则侧面积=2.棱锥棱锥的表面积等于侧面积与底面积之和。正棱锥的侧面积=c（c为底面周长，为斜高）。例如，一个正四棱锥底面边长为a，斜高为，底面面积=，底面周长c=4a，则侧面积=×3.棱台棱台的表面积等于侧面积与上、下底面积之和。正棱台的侧面积=(c+)（c、例如，一个正四棱台，上底面边长为a，下底面边长为b，斜高为，上底面面积=，下底面面积=，上底面周长c=4a，下底面周长=4b，则侧面积（二）旋转体的表面积1.圆柱圆柱的表面积S=2π+2πrh（推导过程：圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的长为底面圆的周长2πr，宽为圆柱的高h，所以侧面积=22.圆锥圆锥的表面积S=π+πrl（r为底面半径，推导过程：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长2πr，半径等于母线长l，根据扇形面积公式S=lr（这里l是弧长，r3.圆台圆台的表面积S=π+π+π(推导过程：圆台的侧面展开图是一个扇环，扇环的面积可以通过大扇形面积减去小扇形面积得到。设圆台的上底面半径为，下底面半径为r，母线长为l，则侧面积=π(+r)l4.球球的表面积S=4π（三）空间几何体的体积1.柱体柱体（棱柱、圆柱）的体积V=Sh（S例如，对于一个底面半径为r，高为h的圆柱，底面积S=π，则体积2.锥体锥体（棱锥、圆锥）的体积V=Sh（S例如，对于一个底面半径为r，高为h的圆锥，底面积S=π，则体积3.台体台体（棱台、圆台）的体积V=h(S++)例如，对于一个上底面半径为，下底面半径为r，高为h的圆台，上底面面积=π，下底面面积S=π，则体积4.球球的体积V=π（四、典型题型及解法（一）空间几何体结构特征的判断例1：下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点分析：选项A：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体才叫棱柱，所以A错误。选项B：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但这些平行四边形不一定能保证每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，B错误。选项C：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体才叫棱锥，C错误。选项D：棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，D正确。答案：D（二）三视图与直观图问题例2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）[此处可插入一个简单的三视图示例图]分析：根据三视图的特征来判断几何体的形状。正视图反映了几何体的前面形状，侧视图反映了几何体的侧面形状，俯视图反映了几何体的上面形状。通过对三视图的分析，可以逐步确定几何体的大致形状。从正视图和侧视图可以看出，该几何体有一个面是三角形，且有一定的高度；从俯视图可以看出，底面是一个四边形。综合分析，该几何体可能是一个四棱锥。答案：符合四棱锥特征的选项例3：已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，其中有一条边长为4，则此正方形的面积是（）A.16B.64C.16或64D.以上都不对分析：在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半。若直观图中平行于轴的边长为4，则原正方形的边长就是4，面积S=4×4=16；若直观图中平行于轴的边长为4，则原正方形的边长为答案：C（三）表面积与体积的计算例4：已知一个圆柱的底面半径为2，高为3，求该圆柱的表面积和体积。解：圆柱的表面积S=2π+2S=圆柱的体积V=例5：一个正四棱锥的底面边长为4，高为3，求该正四棱锥的侧面积和体积。解：先求斜高，根据勾股定理，斜高=。正四棱锥的侧面积=c，其中c=4×4正四棱锥的体积V=Sh，其中S=4（四）球的相关问题例6：已知球的表面积为16π解：设球的半径为R，由球的表面积公式S=4π=16再根据球的体积公式V=π，将R=例7：一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，求该正三棱柱的体积。解：由球的体积公式V=π=π，可得因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高h=设正三棱柱底面正三角形的边长为a，底面正三角形的内切圆半径等于球的半径R=2。根据正三角形内切圆半径公式r=（r为内切