五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(吉林专用)13：动点问题（教师版）

专题13动点问题1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)线段的长为；(2)当时，求的长；(3)当点在边上时，求证：；(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．【答案】(1)(2)(3)证明见解析(4)的长为或.【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可；（3）证明，结合，，从而可得结论；（4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案.【详解】（1）解：∵在中，，，∴；（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，∴，，∵，∴，而，∴，∴；（3）证明：∵旋转，∴，如图，∵，，∴，∵，，∴；（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，∴四边形为矩形，∴，结合（1）可得：，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同理：，四边形四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，，同理可得：，，∴；综上：的长为或.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．(1)的长为_______．(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．【答案】(1)7(2)(3)【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解；（1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解；（2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可；（3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：当重合时，如下图：，以为边作正方形，是等腰直角三角形，，即，解得：（负的舍去），，，，故答案为：7；（2）解：当在线段上运动时，，当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：，，，，，，解得：，，；（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，，，即，解得：，．3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．(1)当点是边的中点时，求的长；(2)当时，点到直线的距离为________；(3)连结，当时，求正方形的边长；(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知：，为等腰三角形，故点是边的中点时，；在中，；（2）根据题意作，如图所示；当时，则，设点到直线的距离为，，解得：；（3）如图，当时，点落在上，设，则，，过点作于则，，，解得：故，所以正方形的边长为；（4）如图，，在异侧时；设，，则三边的比值为，，，当，在同侧设，则，，三边比为，三边比为，设，则，，解得：综上所述：的长为或4．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．

(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．(2)当点E与点C重合时，求t的值．(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(1)等腰三角形，(2)(3)【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到；（2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得；（3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为，此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解．【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：

∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，∵，∴，∴在中，；（2）解：如图，

∵为等边三角形，∴，由（1）得，∴，即，∴；（3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，

∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴，由（2）知当点E与点C重合时，，∴；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，

∵是等边三角形，∴，而，∴，∴，∴，当点P与点D重合时，在中，，∴，∴；当点P在上，重合部分为，如图，

∵，由上知，∴，∴此时，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴当点P与点B重合时，，解得：，∴，综上所述：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．5．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；(2)当点和点重合时，求；(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)或或【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解．（2）证明，得出；（3）过点作于点，证明得出，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形∴∵，∴四边形是矩形，当点和点重合时，∴，在中，，故答案为：．（2）如图所示，

∵，，∴，∴∴，∴，∵，，∴；（3）如图所示，过点作于点，

∵，，∴，则四边形是矩形，∴又∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点在上时，

∵，在中，，则，∵，则，，在中，，∴解得：当时，点在矩形内部，符合题意，∴符合题意，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，

则，，在中，，解得：，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时

综上所述，或或．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．6．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）

(1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示）(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．(3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可；（2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，，则，∵四边形是正方形，∴，∵点是正方形对角线的中点，∴，则四边形是平行四边形，∴，，∴，又，∴，∴，在中，，∴，∴故答案为：；．（2）解：当时，点在上，

由（1）可得，同理可得，∵，，则；当时，如图所示，

则，，，∴；综上所述，；（3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，解得：，

当四边形是菱形时，则，∴，解得：（舍去）；②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，

，解得，当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去），综上所述，当四边形是轴对称图形时，或．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．7．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；(3)(4)或【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接DM，∵AB=4，，点M为边的中点，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即点D到边的距离为3；故答案为：3（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，；当1＜t≤2时，点P在BD边上，；综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，∵作点A关于直线的对称点，∴A′M=AM=2，∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，∴，根据题意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；（4）解：如图，当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，∵AB为直径，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如图，当点（）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，，过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB于点K，过点P作PT⊥AB于点T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵点H是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵MT+BT=BM=2，∴，∴，解得：；综上所述，t的值为或．【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．8．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．(1)当点在边上时，的长为；（用含的代数式表示）(2)当点落在边上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．【详解】（1）当Q点在AC上时，∵∠A=30°，∠APQ=120°，∴∠AQP=30°，∴∠A=∠AQP，∴AP=PQ，∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，∴AP=2x，∴PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图，在（1）中已求得AP=PQ=2x，∵四边形QPMN是菱形，∴PQ=PN=MN=2x，，∵∠APQ=120°，∴∠QPB=60°，∵，∴∠MNB=∠QPB=60°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△MNB是等边三角形，∴BN=MN，∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，∴x=1（s）；（3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），即x的取值范围为：，当M点刚好在BC上时，在（2）中已求得此时x=1，分情况讨论，即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，∵∠APQ=120°，∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，∵，∴∠MNB=∠QPN=60，∵∠B=60°，∴△ENB是等边三角形，同理可证明△MEF是等边三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，∵MH⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，∴△MEF的面积为：，QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∵菱形PQMN的面积为，∴重叠部分的面积为，当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等边三角形，∴PC=PB，∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，∴AB=AP+PB=4x=6，则x=，即此时重合部分的面积为：，；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，∵AP=2x，∴PB=AB-AP=6-2x，∵∠QPB=∠ABC=60°，∴△PQB是等边三角形，∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，∴，∴此时重叠部分的面积，综上所述：．【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．9．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，．设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为．（1）当点与点重合时，直接写出的长；（2）当点在边上运动时，直接写出的长（用含的代数式表示）；（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）在中，由求解即可；（2）点在上运动时间为，则点在上时．（3）分类讨论①：点在上，点在上；②：点在上，点在延长线上；③：点在上．【详解】解：（1）如图，在中，，，∴，∴．（2）点在上运动时间为，∴点在上时：．（3）当时，点在上，作于点，交于点，作于点，同（1）可得．∴，当时，①∴时，点在上，∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴．②当时，点在延长线上，交于点，如图，∵，，∴，∴，∴．③当时，点在上，如图，∵，∴．综上所述：．【点睛】题目主要考查运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考查，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．10．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（2）用含t的代数式表示线段BP的长．（3）当点在内部时，求的取值范围．（4）当与相等时，直接写出的值．【答案】（1）2；（2）BP=5-t或者BP=t-5；（3）；（4）或．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据点D为AC的中点，得到结果；（2）由AP=t，AB=5，得出结论；（3）分情况计算出两个临界值，当点在AB上时，DP⊥AB，△APD∽△ACB，根据对应边成比例求出，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，△ADP∽△ACB，根据对应边成比例求出，最后得出结论；（4）根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果．【详解】解：（1）∵∠C=90︒，，，∴，∵点D为边AC的中点，∴AD=2；（2）当点P在AB上时，∵AP=t，AB=5，∴BP=5-t，当点P在BC上时，BP=t-5，∴BP=t-5或者BP=5-t，（3）如图，当点在AB上时，DP⊥AB，∴△APD∽△ACB∴，∴，∴，如图，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，∴△ADP∽△ACB∴，∴，∴，∴当点在内部时，，（4）①如图，∵点A关于直线PD的对称点，DE⊥AA’，∴△ADE≌△A’DE，∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’，∴△ABC∽△DA’E，∴，∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5，∴，∴，，∵△ABC∽△DA’E，∴∠EDA’=∠ADE=∠CAB，∴AP=DP=t，∵，，∴，∴，∴，②如图，∵点A关于直线PD的对称点，PE⊥AA’，∴△ADE≌△A’DE，∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’，∴△ABC∽△DA’E，∴，∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5，∴，∴，，∵∠DEA=∠DCP，∠C=∠DEA，∴△DEA∽△DCP，∴，∴∴，∴，∴或．【点睛】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理，解题关键在于根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明三角形相似，再结合勾股定理求出结论．11．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，矩形中，，点E为的中点．点P从A点出发，以的速度沿折线向终点C匀速运动，同时点Q从点E出发，以的速度沿折线运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．以为边在矩形内侧作正方形，设点P的运动时间为x（单位：s），正方形的面积为y（单位：）．3(1)当点P在边上时，________________（用含x的代数式表示）．(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)连接，直线将正方形的面积分成两部分时，直接写出x的值．【答案】(1)，(2)当时，，当时，，时，(3)或【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理；（1）根据矩形的性质和动点问题求解即可；（2）根据和不同位置分情况套，利用勾股定理求出，再根据求解即可；（3）分三种情况讨论，分别画出图形，当直线将正方形的面积分成两部分时，则与正方形的交点为正方形边长中点，据此求解即可．【详解】（1）解：∵矩形中，，点E为的中点，∴，，，，当点P在边上时，点在边上，，，故答案为：，；（2）解：如图①，当时，，∵，．如图②，当时，，∵，．如图③，当时，，则．（3）解：当时，与正方形只有一个交点，不合题意；当时，，如图，与交于点，连接，过作于，∵正方形，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵直线将正方形的面积分成两部分，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴，解得，∴（负值舍去）；当时，，则，∵直线将正方形的面积分成两部分，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴,解得．综上所述，当直线将正方形的面积分成两部分时，或．12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，平分，过点作，垂足为，点从点出发，以的速度沿边运动，同时点从点出发，沿运动，点在段以每秒的速度运动，在段以每秒的速度运动，当点与点重合时，两点同时停止运动．设点的运动时间为与重叠部分图形的面积为．(1)请直接写出的长；(2)求点到达点时，点和点的距离；(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，．【分析】（1）利用直角三角形的正弦定理、勾股定理即可求出和的长度；（2）利用可得，再证是等腰直角三角形，即可求出，在中即可求得；（3）第一种情况：时，此时Q点在线段上上，先证，，则，第二种情况：时，此时Q点在线段上，过Q作于M点，根据，得到，即可表示出，，问题得解．【详解】（1），，，在中，，，即的长分别为；（2），，，，平分，，是等腰直角三角形，，，∴由得：，解得：，，，，在中，，即B点距离Q点的距离为；（3）由（2）可知：，，点Q在段以每秒的速度运动，∴Q点由C至D所需时间为：，∵P点的速度为1，∴P点到达B点所需时间为，分类讨论：第一种情况：时，此时Q点在线段上上，∴，，，，，，，即，与重叠部分就是，，第二种情况：时，此时Q点在线段上，过Q作于M点，如图，，，，，，，，即与重叠部分就是，，综上所述，当时，；当时，．【点睛】本题考查了二次函数在几何问题中的应用、相似三角形的判定与性质、平行的判定与性质、直角三角形的正弦定理、勾股定理等知识，明确Q点在上时，不垂直与是解答本题的关键．13．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的中线，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点M，连接、，设点P运动的时间为x秒，四边形与重叠部分图形的面积为y个平方单位．(1)当点Q与点D重合时，求x的值；(2)当点Q在线段上时，______（用含x的代数式表示）；(3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质求出，即可求解；（2）用含x的式子表示出，再根据，可得；（3）分段计算，当时，点Q在上，先证四边形是平行四边形，推出，根据计算；当时，点Q在上，作于E，于F，根据计算．【详解】（1）解：在中，，，，，是斜边上的中线，，点Q以每秒2个单位长度的速度运动，当点Q与点D重合时，；（2）解：当点Q在线段上时，如图：由（1）知，，点Q以每秒2个单位长度的速度运动，，，，故答案为：；（3）解：当时，点Q在上，如图：，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，；当时，点Q在上，如图，作于E，于F，，，，；由（2）知，，，，，，又，，，；，综上可知，．【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等，有一定难度，注意分类讨论是解题的关键．14．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，以为斜边在直线的右侧作等腰直角，设点P运动的时间为t（秒）．(1)求的长；(2)当点P在上运动时，求面积的最小值；(3)在点P运动的过程中，当点Q在的平分线上时，求t的值；(4)当时，直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)t的值是2或4(4)，【分析】（1）由勾股定理即可解答；（2）根据是等腰直角三角形，可知：，，表示，则当点P在上运动，时，如图1，的值最小，的面积最小，即可解答；（3）①如图2，当点P在上时，平分，设交于H，过点Q作于点D，过点H作于K，设，则，，证明，设，则，，根据勾股定理和线段的和列方程即可解答；②如图3，当点P在上时，过点Q作于点F，于点G，证明，，即可解答；（4）分两种情况：①如图4，延长交于点，过点C作于L，过点作于点，②如图5，过点C作于L，分别画图即可解答．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴当点P在上运动，时，如图1，的值最小，的面积最小，∵，∴，∴；即面积的最小值是；（3）解：当点Q在的平分线上时，存在两种情况：①如图2，当点P在上时，平分，设交于H，过点Q作于点D，过点H作于K，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵平分，，设，则，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，，∴；②如图3，当点P在上时，过点Q作于点F，于点G，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；综上，t的值是2或4；（4）解：分两种情况：①如图4，延长交于点，过点C作于L，过点作于点，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）知：，由勾股定理得：，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②如图5，过点C作于L，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形，∴，由（2）知：，由①知：，，∴，∴，综上，t的值是或．【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形和矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理等知识，分类讨论是解本题的关键．15．（2025·吉林·二模）在中，，点是边的中点，是射线上一动点，连接，取中点，以为边做正方形，使点M、N和点在直线同侧．(1)_____________；(2)求点到的距离；(3)，当的长最小时，求的长；(4)当点与点到所在直线距离相等时，直接写出的长．【答案】(1)5(2)1(3)(4)或．【分析】（1）由勾股定理求解即可；（2）过点N作于E，过点P作于F，先证明，得，从而求得，再证明，得，从而求解；（3）由（2）知：点N到的距离为1，是一定值，所以当点在射线上运动时，点N在平行，且到距离等于1的射线上运动，当的长最小时，则，此时，由勾股定理求得，再根据正方形的性质得，然后由直角三角形中线的性质求解即可．（4）当点与点到所在直线距离相等，在的异侧时，建立平面直角坐标系，求得的坐标，得出在上，即可求解；当在同侧时，则，根据正方形的性质得，从而可得，即，则，得到，即可由求解．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：5．（2）解：过点N作于E，过点P作于F，如图，∵点是边的中点，∴，∵点P为中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵正方形，∴，，∴∵，∴，在与中，，∴，∴，即点到的距离为1．（3）解：由（2）知：点N到的距离为1，是一定值，∴当点在射线上运动时，点N在平行，且到距离等于1的射线上运动，如图，当的长最小时，则，此时，∴∵正方形，∴，∵，点P为中点，∴．（4）解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，①当点与点在异侧时，过点N作于E，过点P作于F，过点作交的延长线于点，设交于点，当到的距离相等时，根据全等三角形的性质可得为的中点，设，∵∴∴则同理可得∴则由（2）可得，，则∴由可得，，设直线的解析式为∴，解得：∴∵在上，代入得，解得：∴即②当点与点在同侧时，且到所在直线距离相等时，∴，如图，∵正方形，∵，∴，即，∴，∴，∴．综上，的长度为或．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，会等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线间的距离处处相等，垂线段最短等知识．掌握相关性质与判定是解题的关键．16．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，（点不与点重合），连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧．(1)当时，的长为________；(2)当时，点到直线的距离为________；(3)当点落在边上时，求正方形的边长；(4)若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为________【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长；（2）根据等面积法即可解答；（3）如图2，证明，列比例式得，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答；（4）分两种情况：①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；②当，在的两侧时，如图，同理可解答．【详解】（1）解：如图1，，菱形的边长为，面积为，，，，由勾股定理得：，故答案为：；（2）解：如图2，过点作于，过点作于，由（1）可得：，，，，，，，即点到直线的距离为，故答案为：．（3）解：如图2，，，，，即，如图，过点作于，设，，，，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，，即正方形的边长为；（4）解：分两种情况：①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，由（3）知：设，，，，点到直线的距离是点到直线距离的倍，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，②当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点，同理设，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，综上所述，的长是或，故答案为：或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键，并运用分类讨论的思想解决问题．17．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，过点向上作，且．，两点分别从，同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以，为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和重叠部分的图形面积为．(1)用含的代数式表示的长；(2)当点在上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围．【答案】(1)点在上时，；点在上时，(2)(3)【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，多边形的面积，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．（1）分为点在上时，点在上时，求解即可；（2）如图1中，当点落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可；（3）如图2，当时，重叠部分是，如图3，当时，重叠部分是四边形，如图4，当，重叠部分是四边形，如图5，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论．【详解】（1）点在上时，；点在上时，；（2）如图1，当点落在上时，是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，如图2，当时，重叠部分是，∵，∴，∴；如图3，当时，重叠部分是四边形，∵，∴，又，∴，∴；如图4，当，重叠部分是四边形，∵，，∴，∴；如图5，时，重叠部分是五边形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述，．18．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，，，．点P在边上（点P不与点C重合），点Q在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点M在左侧．(1)求的长．(2)当点M在边上时，求的长．(3)连结，当与的边平行时，求的长．(4)作直线交边于点E，当为直角三角形时，直接写出的长．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【分析】（1）根据勾股定理计算即可得解；（2）由题意结合菱形的性质可得，，从而可得，由正切的定义可得，设，则，，，由得出，求解即可；（3）由菱形的性质可得，由（1）可得，，分三种情况：当时，此时；当时，；当时，，此种情况不存在；分别求解即可；（4）由（1）可得，，由菱形的性质可得垂直平分，推出，由题意可得，再分两种情况：当点在点的右侧时，作于；当点在点的左侧时，作于，分别求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，．∴；（2）解：如图：∵，∴，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，∴，设，则，，，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵四边形为菱形，∴，由（1）可得：，，∵与的边平行，∴如图，当时，此时，设，则，∵，∴，∴，∴；如图，当时，，设，则，∵，∴，∴，∴；当时，，此种情况不存在；综上所述，的长为或；（4）解：由（1）可得：，，∵四边形为菱形，∴垂直平分，∴，∵为直角三角形，∴，如图，当点在点的右侧时，作于，则，∴四边形为矩形，∴，，设，则，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；如图，当点在点的左侧时，作于，则，∴四边形为矩形，∴，，设，则，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；综上所述，的长或．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、菱形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．19．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，取线段的中点，过点作，在的上方取线段，使，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为________（用含的代数式表示）；(2)当点在边上时，求的值；(3)设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．【答案】(1)(2)(3)当时，；当时，；当4时，【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，二次函数的应用，对于（1），根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案；对于（2），说明，可得答案；对于（3），分三种情况当时，当时，当时，画出图形，再求出面积即可．【详解】（1）解：根据题意可知，∵点Q是的中点，∴，∴；矩形中，故答案为：；（2）解：如图，当点N在边上时，∵∴.∵，∴，∴，即，解得；（3）解：当时，；当点M在上时，可知，∴，即，解得．当时，根据题意可知，∴，；当时，根据题意，得，，∴．20．（2025·吉林白城·模拟预测）如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动（点不与点、重合），以为边在上方作等腰，使，，以、为邻边作平行四边形，点的运动时间为秒．(1)的长为________，点到的距离为________；(2)当点在边上时，求的长；(3)设平行四边形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；(4)作点关于直线的对称点，点为的中点，连接，当与的边垂直时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)1或．【分析】（1）如图1中，过点M作于D．证明四边形是矩形，即可解决问题．（2）由，推出，可得，根据，构建方程求解即可．（3）首先根据题意得，然后分三种情况讨论，分别利用相似三角形的性质求解即可；（4）分两种情形：如图4﹣1中，当时，P，Q，共线．如图4﹣2中，当时，点在的延长线上．分别求解即可．【详解】（1）如图1中，过点M作于D．在平行四边形中，有，∵为等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，由可知，，∴四边形为矩形，∴．故答案为：t，t．（2）如图2中，在平行四边形中，有，，∵，∴，由（1）可知，四边形为矩形，∴四边形为正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，即在等腰中，；（3）根据题意得，，由（2）得，当时，点M在上，∴当时，平行四边形与重叠部分图形为平行四边形，∴；如图所示，当点N在上时，∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，如图所示，当时，设与交于点D，与交于点G，过点D作交于点E，交于点F，设，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，根据题意得，四边形是矩形，∴，∴∵∴∴，即∴∴∴∴；如图所示，当时，设与交于点H设，由以上可得，，，∵∴∴∵∴∴∴，∴∵∴∴∴∴∴∴综上所述，；（4）如图4﹣1中，当时，P，N，Q，共线．∵，，，∴，，∴；如图4﹣2中，当时，点在的延长线上．根据对称的性质有：，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，综上所述，满足条件的t的值为1或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．21．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，以为腰作等腰直角三角形，使点在同侧．设与重合部分的面积为，点运动的时间为秒．(1)当点落在上时，求的值；(2)在点运动的过程中，求与的函数解析式；(3)当时，直接写出线段扫过的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，当点落在上时，，由此可解；（2）当时，；当时，，列分段函数即可；（3）当时，过点作，当时，过点作，则，，线段扫过的面积等于的面积，由此可解；【详解】（1）解：如图，设，，．由得：，，，；（2）解：如图，当时，；如图，当时，设与交于点，交于点，作于点，在中，，，，由（1）知，，，，，；（3）解：当时，过点作，当时，过点作，则，，和均为等腰直角三角形，三点共线，线段扫过的面积等于的面积，，线段扫过的面积等于16．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形上的动点问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿折线向点C运动，点P在上的速度为每秒1个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点P作交线段于点Q，以为边向其右侧作矩形，使，且．当点Q与点D重合时，点P停止运动．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）（）．(1)当点Q与点D重合时，求x的值；(2)求y关于x的函数解析式；(3)连接，当矩形的边或的中点落在上时，直接写出x的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）当点Q与点D重合时，易得为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可；（2）分，，三种情况进行讨论求解即可；（3）分的中点落在上和的中点在上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q与点D重合时，如图，∵在中，，，，∴，，∵矩形，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：当点与点重合时，∵，，，∴，∵矩形，，∴，∴，解得：；当点运动到点时，，由（1）可知，当点与点重合时，，∴当时，重叠部分为矩形，∴；当时，重叠部分为五边形，如图，则：，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴；当时，重叠部分为梯形，此时，延长交于点，由题意，得：，∵，∴，∴，，∴，∴，∴；综上：；（3）解：①当的中点落在上时，如图，连接，此时，∵为的中点，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：；②当的中点在上时，如图，此时，∵，∴，∵，，∴，∴，由（2）可知：，则，∴，∵，∴，∴；综上：或．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数与图形运动问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．23．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，点为边的中点．点在边上，连结，将线段绕点旋转得线段，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，连结．(1)求证：；(2)当时，求点到的距离；(3)当与的一边垂直时，求的长；(4)连结，当时，直接写出点到的距离．【答案】(1)见解析(2)(3)或或(4)【分析】（1）利用证明即可；（2）连接，过点F作，由（1）知，易证四边形是矩形，再证明三点共线，证明四边形是矩形，推出，求出，解直角三角形求出，，进而求出，根据是等腰直角三角形，推出，即可求解；（3）分三种情况讨论即可；（4）过点作，延长交于点，分别过点作，垂足分别为，证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，求出，根据，利用，求出；再证明四边形是矩形，，从而证明四边形是正方形，解直角三角形求出，设，则，易证，得到，得到，建立方程求解即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：三点共线，∴，∵点为边的中点，∴，∴；（2）解：如图，连接，过点F作，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵点为边的中点，是等腰直角三角形，且，∴，∴，∵，∴，∴，∴三点共线，∵，∴四边形是矩形，∴，∵在中，，∴，∵点为边的中点，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，当时，设交点为，∵是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）知，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；如图，当时，则点在上，即四点共线，则，由（1）知，∴，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；如图，当时，由（1）知，∴，，∵，∴，∴点在上，即三点共线，同理得，∴，∴，∴；综上，当与的一边垂直时，的长为或或；（4）解：过点作，延长交于点，分别过点作，垂足分别为，由（3）知，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴四边形是矩形，∴，由（3）知，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是正方形，在中，，∴，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，即，∴，解得：（负值舍去），∴，即点到的距离为．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，综合性较强，掌握矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（2025·吉林长春·三模）如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结．(1)过点Q作边的垂线段，交于H，求证：；(2)当A，Q，C三点共线时，求线段的长；(3)线段的长度的最小值是______；(4)四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)；3【分析】（1）根据旋转和矩形的性质，利用证明结论即可；（2）先证明，再列出比例式，求出长，再利用勾股定理解答即可；（3）点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，然后利用线段的和差解答即可；（4）过点Q作于点Q，设，根据列函数关系式，配方得到最大值解答即可．【详解】（1）解：∵是矩形，∴，又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段，∴，，∴，∴，∴；（2）解：如图，过点Q作于点H，∵点E是的三等分点，∴，由（1）可知，∴，，，∵是矩形，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴；（3）解：由（2）可得点到的距离为，∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，即最小为；（4）解：过点Q作于点Q，设，则，，∴，∴当时，最大为，这时，，故答案为：；3．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是得到．25．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．(1)求的面积；(2)当时，求正方形的周长；(3)当点落在上时，求的长；(4)当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为．【答案】(1)12(2)(3)(4)或【分析】（1）过点作于点，如图所示，由得到，设，则，再由等腰直角三角形的判定与性质求得，再由列方程求解即可得到，由三角形面积公式代值求解即可得到答案；（2）由题意，结合等腰直角三角形的判定与性质得到，由正方形性质求周长即可得到答案；（3）过点作于点，如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质、正方形性质得到相关角度与线段关系，进而判定，由全等性质得到，，即，结合正切函数值定义，设，则，表示出相关线段长度，由列方程求解即可得到，由勾股定理求出长即可得到答案；（4）根据题意，分两种情况：①当点在边同侧；②当点在边异侧；在每种情况下，作出相应图形，数形结合求解即可得到答案．【详解】（1）解：过点作于点，如图所示：，，设，则，，，则，，，解得，，则，，的面积为；（2）解：当时，，如图所示：，，，，解得，点是的中点，，以为边作正方形，正方形的周长为；（3）解：过点作于点，如图所示：，，则，点是的中点，，以为边作正方形，

，，，，在和中，，，，即，，，，，设，则，，由勾股定理可得，在中，，，则由勾股定理可得，，，，，解得，则，在等腰中，，由（1）知，，则，当点落在上时，；（4）解：由题意，分两种情况：当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：，点到直线的距离与点到直线的距离相等，，且，，即点在边上，点是的中点，，以为边作正方形，，，，，，，即点在边上，如图所示：在中，，，则，即是等腰直角三角形，，由勾股定理可得，解得，由（1）知，，则；当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：，，在正方形中，，则，，，，，由，得，，点是的中点，，，由，得，，，设，，则正方形的边长为，，，，，，，，，，由，得，则由平行线分线段成比例得，是的中位线，则，在等腰中，，，则由勾股定理可得，，则，在等腰中，，设，则，，即，，解得，由（1）知，，则，；综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、中位线的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，读懂题意，根据所求问题，准确作出图形，构造辅助线，数形结合求解是解决问题的关键．26．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，对角线．点在边上，点在边上，且，连结交于点，以为底边作等腰直角三角形，使点在直线的同侧．(1)求证：．(2)求五边形面积的最小值．(3)连结，直接写出的最小值．(4)连结，当点在内部，且点到的某条边的距离等于的最小值时，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)五边形的面积最小值为(3)的最小值为(4)或【分析】（1）证明即可得出结论，（2）根据由（1）可得，进而可求得五边形面积，由此可得五边形BCQMP的面积最小时，由此解三角形即可求解，（3）过点作，垂足为，交于，在上取点、，使，连接，根据瓜豆原理可得点在过的垂直于的线段上运动，当，即点在点时，最小，由此求解；（4）过点作，垂足为，交于，点作，垂足为，连接，根据一线垂直模型证明，从而可得，，再分①点到的边的距离等于的最小值时，②点到的边的距离等于的最小值时，两种情况求解．【详解】（1）证明：∵在中，∴，∴，，又∵，∴，∴；（2）如图2，∵，∴，，∴，即，∵在中，，对角线．∴，，，∴，∵等腰直角三角形，，∴，∴，∴五边形面积，∴当时，最小，五边形面积面积最小；此时，∵，，∴，∴，∴当时，五边形面积面积最小，最小值．（3）如图3，过点作，垂足为，交于，在上取点、，使，连接，由（2）可知：，，由作法可知：和都是等腰直角三角形，∴，，∴，，∵等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点在过的垂直于的线段上运动，当，即点在点时，最小，最小值为，∴∴四边形是矩形，∴，，∴，∴点在点时，最小，最小值为，（4）如图4，过点作，垂足为，交于，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，由（3）可知，的最小值为，①点到的边的距离等于的最小值时，如图4，即当时，∴，∴，由（1）可得，②点到的边的距离等于的最小值时，如图5，过点作，垂足为，连接，，当时，∵，∴，∴，设，∴，，由（3）得，∴，由，可得：，，∴，∴，综上所述：或．【点睛】本题主要考查了四边形和三角形综合，根据瓜豆原理证明点在过的垂直于的线段上运动，是解（3）的关键；根据一线垂直模型证明，再分类讨论是解（4）的关键．27．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为．(1)当点F与矩形顶点重合时，______；(2)求当且时，y关于x的函数解析式；【答案】(1)1或4(2)当时，；当时，；当时，，；当时，【分析】（1）理解题意，先分类讨论，第一种情况，点在上，作图，证明，都是等腰直角三角形，则，，第二种情况，点在上，作图，则，故，，，可得结论；（2）理解题意，结合且，进行分类讨论，且逐个情况进行作图，结合直角三角形的面积公式进行列式化简，即可作答．【详解】（1）解：如图1中，点在上，∵四边形是矩形，∴，∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，则，∴时，点F与矩形顶点C重合．如图：当点P运动到上时，此时都与点重合，∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．∴，∴,则,∴则综上：当点F与矩形顶点重合时，或4；故答案为：1或4（2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为．则∴当时，如图所示：过点作，∵，，∴，是等腰直角三角形，则，，∵，∴是等腰直角三角形，则,故；∴当时，如图所示：同理得是等腰直角三角形，则∴，即，∴当时，过点作，如图所示：同理得是等腰直角三角形，则，∴，即，∴当时，如图所示：同理得是等腰直角三角形，则，∴，即，综上：当时，；当时，；当时，，；当时，．【点睛】本题考查了函数与几何动点，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质