五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)08：平行线与特殊三角形（学生版）

专题08平行线与特殊三角形（原卷版）考点1利用平行线的性质求解1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2022·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（

）A．100° B．120° C．135° D．150°考点2等腰三角形的性质与判定1．（2023·山西·中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为．

2．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为3．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为．4．（2025·山西·中考真题）综合与探究问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．①若，判断与的位置关系，并说明理由；②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长考点3等边三角形的性质与判定1．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．

3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．

【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．

问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．

求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；(2)补全问题2的证明过程；(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．考点4直角三角形的性质与判定1．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2020·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日

星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）考点5勾股定理的证明1．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（

）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想考点6利用勾股定理解三角形1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．3．（2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．5．（2021·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．6．（2021·山西·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为．7．（2020·山西·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．一、单选题1．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是正方体的表面展开图，每一个面标有一个汉字，则与“成”相对的面上的字是（）A．坚 B．持 C．卓 D．越2．（2025·山西·三模）如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（

）A．B．C． D．3．（2025·山西长治·三模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（

）A． B． C． D．4．（2025·山西长治·三模）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图1是某品牌共享单车，图2是其示意图．经测量，平分，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2025·山西朔州·三模）传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（

）A．非 B．遗 C．瑰 D．宝6．（2025·山西忻州·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（

）A．B．C． D．7．（2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（）A． B． C． D．9．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（2025·山西太原·二模）如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．11．（2025·山西朔州·三模）有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点射入，折射光线从点射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为（

）A． B． C． D．12．（2025·山西晋中·二模）在凸五边形中，点在边上，点在的延长线上，与平行且相等，不能推出与一定平行的是（

）A． B．C． D．13．（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（

）A． B． C． D．14．（2025·山西·一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．15．（2025·山西·模拟预测）如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（

）A． B． C． D．16．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（

）A．65° B． C． D．25°17．（2025·山西·模拟预测）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．18．（2025·山西大同·模拟预测）如图，在四边形中，，，，E，F分别是的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．19．（2025·山西吕梁·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（2025·山西大同·三模）如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（

）A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形21．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．22．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．23．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．24．（2025·山西晋中·三模）如图，为等边三角形，平分，点为上一动点，连接，当取最小值时，的长为（

）A．1 B． C． D．25．（2025·山西吕梁·二模）如图，是边长为2的等边三角形，以的边为直径画，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．26．（2025·山西吕梁·二模）如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．27．（2025·山西吕梁·二模）如图，菱形的顶点B在反比例函数（，）的图象上，顶点A在x轴上，，，则k的值为（

）A． B． C． D．28．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（

）A． B． C． D．29．（2025·山西太原·二模）如图，中，，将沿的方向平移得到，其中，，的对应点分别是点，，．若点是的中点，，，则点与点之间的距离为（）A． B． C． D．4二、填空题30．（2025·山西吕梁·二模）七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．31．（2025·山西运城·模拟预测）哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面上出现了一群海妖正朝着陈塘关袭来．假设陈塘关的城墙是一条直线，哪吒此时在点处，他要尽快赶到城墙上的某一点去查看海妖下一步的动向．如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段，理由是．32．（2025·山西运城·一模）如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若，则的度数是33．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为．34．（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，，，则的长为．35．（2025·山西吕梁·二模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为．36．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若，则的长为．37．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为.38．（2025·山西晋中·二模）如图，中，，，为的中点，点是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点，若，则的长为．39．（2025·山西长治·三模）如图，在中，D为上一点，，连接，E为的中点，连接．若，，，则的长为．40．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则．41．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为．42．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．43．（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，连接．若，，则的长为．44．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为．45．（2025·山西运城·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，在的右侧作，，连接，交于点E．若，则的长为．46．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为．47．（2025·山西晋城·三模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为．48．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为．三、解答题49．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的学习任务．倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形．下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究．角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______．边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即．如图2，延长到点H，使．连接．则，．所以．所以，即．所以．特殊线段：过点B作边上的高，若点F为的中点，则．理由如下：如图3，取的中点P，连接，．学习任务：（1）材料中的取值范围是______．（2）如图4，在中，，，则的长是______．（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”．50．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务．关于黄金分割如图1，是线段上的一点，且，即，我们把点叫作线段的黄金分割点．利用一元二次方程的知识，可得，我们把叫作黄金比．另外，除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在中，，，平分交于点，我们把这样的叫作黄金三角形．易知也是黄金三角形（结论一），是黄金比（结论二）．下面我们推导这两个结论：证明：∵，，∴．……任务：(1)补全材料中的证明过程．(2)如图3，是正十边形的外接圆，是正十边形的一条边，请用尺规在图3中作的平分线，交于点．若，求的长．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）51．（2025·山西·三模）如图，在中，．(1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)计算：若，，求线段的长．52．（2025·山西大同·二模）阅读与思考下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．关于“倍角三角形”的探究报告探究对象：倍角三角形．探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究．定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．显然，等腰直角三角形和含角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形”性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中分别表示，的对边．当时，计算___________；当时，计算___________．性质猜想：之间的数量关系为___________．性质证明：如图2，延长到点，使．．．．又，．．．．．．任务：(1)将“性质探究”与“性质猜想”中横线部分的内容补充完整；(2)请补全上述证明过程；(3)已知是“倍角三角形”，，且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请直接写出的长．53．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1．定义应用：如图2，在中，是角平分线