五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)07：二次函数与反比例函数（学生版）

专题07二次函数与反比例函数（原卷版）考点1二次函数的性质1．（2021·山西·中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（

）A． B．C． D．考点2抛物线与坐标轴的交点1．（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：（1）时，抛物线开口向上．①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程有两个相等的实数根．③当时，……（2）时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为考点3二次函数与实际问题1．（2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（

）A． B． C． D．2．（2025·山西·中考真题）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．3．（2024·山西·中考真题）综合与实践问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；(2)求6米材料恰好用完时与的长；(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．考点4二次函数与几何图形综合1．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．①当时，求的值；②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．2．（2022·山西·中考真题）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．3．（2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．4．（2020·山西·中考真题）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．考点5反比例函数的性质1．（2020·山西·中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（）A． B． C． D．3．（2021·山西·中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（

）A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小考点6反比例函数与实际问题1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度．2．（2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为Pa．考点7反比例函数与一次函数综合1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；(2)连接，请直接写出四边形的面积．一、单选题1．（2025·山西·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．时，随的增大而增大2．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A． B． C．且 D．且3．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表：x…0135…y…707…关于它的图像和性质，下列说法正确的是（

）A．图像开口向下B．对称轴是直线C．当时，y随x的增大而增大D．图像与x轴的交点坐标为和4．（2025·山西晋中·二模）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．5．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（

）A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米6．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（

）A． B．C． D．7．（2025·山西运城·模拟预测）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．8．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．9．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（

）A． B． C． D．或10．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（

）A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大11．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么12．（2025·山西大同·三模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法判断13．（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（

）A． B． C． D．14．（2025·山西晋中·二模）在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（

）A． B．C． D．15．（2025·山西·模拟预测）物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（

）A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳16．（2025·山西太原·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度=）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（）A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多17．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（

）A． B． C． D．18．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（

）A．B．C．D．二、填空题19．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为．20．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为元．21．（2025·山西朔州·三模）在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为．22．（2025·山西·模拟预测）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为．23．（2025·山西晋中·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为．24．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为．三、解答题25．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研．调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据：销售单价x/元……日销售数量y/个……建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________．问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值．26．（2025·山西大同·三模）综合与实践为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．(1)求a的值．(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）27．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践问题情境：发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图、这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系．数学思考：（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）．深入探究：（2）对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题．①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离．②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来．28．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践问题背景：如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．数据收集：车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐．问题解决：以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．(1)求点到地面的距离．(2)若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由．29．（2025·山西大同·模拟预测）综合与实践问题情境图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点．建立模型如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度．教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象．问题解决(1)①根据图3可知，是的（填“一次”“二次”或“反比例”）函数．②求关于的函数表达式．(2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表：024684①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式．②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：）30．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践学习主题：探究电流最值课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．学习素材：名称内容备注素材1用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化课本例题素材2观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．课本数学活动素材3串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：．并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：．电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系物理学知识研究步骤：1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．2．根据电路图连接实验器材，图略．3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．解决问题：(1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大．(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．(3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．②在①的条件下，电流表A的值为___________31．（2025·山西朔州·一模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接．(1)求抛物线的函数解析式．(2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值．32．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，．(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式．(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值．(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．33．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．34．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接．(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．(3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．36．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．(1)求点A，B，C的坐标．(2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值．(3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标．37．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．38．（2024·山西大同·二模）综合与探究如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接．(1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式(2)当时，①求点D的坐标；②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．39．（2024·山西·模拟预测）综合与探究在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接．(1)求点A和点C的坐标和直线的解析式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值；(3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．41．（2024·山西运城·模拟预测）学科实践驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．

研究步骤：①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米；②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米；③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米．问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：(1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式；(2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶；(3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围．42．（2024·山西晋中·二模）学科实践设计“抛物线型”花边驱动任务花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边．研究步骤（1）认识模具，建立模型．社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm，并将其模具放置在了平面直角坐标系中（如图1），准备利用该模具设计“抛物线型”花边．（2）摆放模具，制定方案．同学们尝试在长为120cm，宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下两个方案．方案一：如图2，将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．方案二：如图3，将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h．（3）实施方案，展示作品．……问题解决请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：任务一：求出图1的平面直角坐标系中抛物线模具的函数表达式；任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当时一排中最多可摆放的花边个数．43．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．(1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式；(2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值．(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．44．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，.(1)求的值和一次函数的表达式.(2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集.45．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式及的值；(2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积．46．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点．(1)求点的坐标及直线的函数表达式．(2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积．47．（2025·山西晋中·一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：托盘与点的距离1015202530托盘中的砝码质量3020151210(1)与之间的函数表达式为____________．(2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离．(3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由．48．（2025·山西长治·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3．(1)请自接写出k，n的值．(2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积．49．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．

(1)求反比例函数的表达式．(2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标．50．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．(1)设点A的坐标为则点的坐标为；(2)①求反比例函数的表达式；②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；(3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值．51．（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题：(1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？(2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值．52．（2024·山西忻州·三模）阅读与思考下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日

星期六借助物理知识用吸管制作乐器根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作：①分别剪出不同长度的吸管．②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率．③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表：组别第组第组第组第组第组第组④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出．我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系．再次查阅资料得到了表的数据：音调频率根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器．任务：(1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第组．(2)根据小晋画出的图象，猜想是的函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为（系数保留整数）．(3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长