五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(福建专用)10：锐角三角函数的计算与应用（30题）（教师版）

专题10锐角三角函数的计算与应用（30题）1．（2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'CA．96 B．963 C．192 D．【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC'A【详解】解：依题意ACC∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝∴∴平行四边形ACC'A'的面积故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：sin27°≈0.45，cosA．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得DC=12BC=22cm，根据等腰三角形的性质及∠ABC=27°，可得∠【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴DC=∵BC＝44cm，∴DC=1∵等腰三角形ABC，AB＝AC，∠ABC∴∠ACB∵AD为BC边上的高，∠ACB∴在Rt△AD=∵tan27°≈0.51，DC=22∴AD≈0.51×22=11.22cm故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．3．（2021·福建·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6,A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP【详解】解：连接OC，CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠故选：D．【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．4．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC

A．2km B．3km C．23km D【答案】D【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．【详解】∵∠∴cosA∴AB故选D．【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．5．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1【答案】128【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出∠ADQ=40°，∠1=∠PDQ=30°，由AB∥QD得到∠BAD=∠ADQ【详解】解：如图，∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为∴∠ADQ=∠PDA∵AB∥∴∠BAD在Rt△ABD中，F=∴F2由题意可知，BD⊥∴∠BDC∴∠在Rt△BCD中，∴f2故答案为：1286．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM=a3m，由测量知，AC=a，BC=b，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，又∵MN=c，∴AB=故小水池的最大宽度为___________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．【答案】(1)①∠C=∠C(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为acos【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；（3）测量过程：在小水池外选点C，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠求解过程：过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数的定义推得BD=acosα，【详解】（1）∵AC=a，BC=b，∴CMCA又∵∠C∴△CMN∴MNAB又∵MN=∴AB=3故小水池的最大宽度为3cm（2）根据相似三角形的判定和性质求得AB=3故答案为：相似三角形的判定与性质．（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A

（ⅱ）用皮尺测得BC=求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，过点C作CD⊥AB，垂足为在Rt△CBD中，即cosα=BD同理，CD=在Rt△ACD中，即tanβ=a所以AB=故小水池的最大宽度为acos【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．7．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠【答案】(1)作图见解析(2)5【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设∠ADB=α，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根据BE=DF=rtan【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设∠ADB=α，⊙A∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE=∴四边形AEFG是正方形，∴EF=在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD∴∠BAE在Rt△ABE中，tan∠∴BE=∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF∴△ABE∴BE=∴DE=在Rt△ADE中，tan∠ADE=∴rtanα+∵tanα∴tanα=5-12【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．一、单选题8．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率n=sinisinr（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i=30°，AB=20A．2 B．1.6 C．1.5 D．1.4【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．由题意得β+∠A=90°，r+β=90°，则【详解】解：如图，∵折射光线沿垂直AC边的方向射出β+∠∵法线垂直于AB，∴r+∴r=∠∴sinr∴折射率n=故选：A．二、填空题9．（2025·福建南平·三模）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为．【答案】19【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键．根据题意可得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接AB并延长到点H，则AH⊥HM，根据题意可得：AB=CD=EF=4【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接AB并延长到点H，则AH⊥由题意得：AB=CD=在Rt△GHM中，∴GH=∴AH=∴该置物架所占用墙面的长度d的值为19，故答案为：19．10．（2025·福建厦门·二模）计算：sin45°-cos【答案】0【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知45度角的正弦值和余弦值是解题的关键．【详解】解：sin45°-故答案为：0．11．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知∠ABC=120°，∠CBR=15°．AB∥CD，BD=3DK，AB=2BC=12dm，CD=6.6dm，自行车的坐垫FG∥BR，BR平行地面，【答案】5【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点A作AJ⊥RB交RB的延长线于点J，过点D作DH⊥BR于点H，过点C作CN⊥DH于点N，过点K作【详解】解：如图，过点A作AJ⊥RB交RB的延长线于点J，过点D作DH⊥BR于点H，过点C作CN⊥DH于点N，过点∵∠ABC∴∠ABR∴∠ABJ∴AJ=∵CN∥∴∠PCB∵∠DCB∴∠DCN∴DN=22∴DH=∴BD=3∴DK的竖直距离为56∴KP=∴坐垫FG到地面的距离=5故答案为：56三、解答题12．（2025·福建南平·三模）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB=90°，小明：做法：如图，小明将三角尺ABC放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边BO和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边AB与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为142°．问题1：求点D对应的刻度．问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，能否使得AB与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由．小华：做法：如图，小华把斜边AB=63的三角尺ABC叠放在量角器上，且AB∥MN，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为30°，问题3：求BE的长．请你根据上述内容，回答小明和小华的问题．【答案】问题1：82°；问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切，理由见解析；问题3：2【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键．问题1：连接OD，由OD=OB，∠B=60°，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOD问题2：过点O作OE⊥BD于点E，然后由正弦函数得出问题3：连接OA、OB，设AB与OE交于点F，根据平行线的性质得出OA=【详解】解：问题1：解：连接OD，如图，在△AOB∵∠AOB=90°，∴∠B∵OD=∴△BOD∴∠BOD∵B点的对应刻度为142°，∴D点的对应刻度是142°-60°=82°．问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切，理由如下：过点O作OE⊥BD于点∵∠B∴OE=∴O到AB的距离小于圆的半径OB，∴将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切；问题3：连接OA、OB，设AB与OE交于点∵点A的对应刻度为30°，∴∠AOM∵AB∥∴∠OAB∵OA=∴∠OAB∴∠AOB∵∠OAE∴△OAE∴∠AOE∵∠BOE∴OE⊥∴AF=∴OA=∴OB=∴BE的长为：6013．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得tanα=14，∠β=45°，窗户(1)求小明家所需的遮阳棚的跨度；(2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若0.6≤m≤1.5，0.1≤n【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2(2)当n=0.1时，d取得最大值为【分析】（1）过点M作垂线交BE于点E，交AF于点F，根据AB的高度为1.5米，tanα=14，（2）将点N坐标N-1+m,n+d【详解】（1）解：过点M作QM的垂线交BE于点E，交AF于点F，如图：∴QM=∵tanα∴MEAF∴ME=∵β=45°∴tanβ∴MFAF∵AB=1.5∴14∴AF=2即QM=2∴小明家所需的遮阳棚的跨度QM长为2m（2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，依题意可得：y由（1），QM=2∴Q-∵α∴tan∴BQ由题意得：B到x轴距离为14则-y将N-1+m得-1令w=-∵-1∴开口向下，∵对称轴为直线x=1，且0.6≤∴当m=1时，w取得最大值为0.45∴n∵0.1≤n∴当n=0.1时，d取得最大值为0.35【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键．14．（2025·福建漳州·模拟预测）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号）【答案】B、C两地的距离是106【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．过点B作BD⊥AC于点D，先求出∠C=45°，根据30度角的性质及勾股定理得到BD=10【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，可知∴∠∴∠∵∠∴∠∵AB∴AD=10千米，∵BD⊥∴CD=∴BC=答：B、C两地的距离是10615．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E，与AB交于另一点(1)求证：BE平分∠ABC(2)若BO=6，BE=9，求【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OE，切线的性质推出OE∥BC，得到∠OEB=∠CBE（2）连接DE，过点E作EF⊥BD，勾股定理求出DE的长，等积法求出EF的长，角平分线的性质，得到CE=EF，【详解】（1）证明：连接OE，则：OE=∴∠OBE∵以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E，∴OE⊥∴∠OEA∴OE∥∴∠OEB∴∠OBE∴BE平分∠ABC（2）解：连接DE，过点E作EF⊥∵BD为直径，∴∠BED∵OB=6∴BD=12∴DE=∵EF⊥BD，∴12DE⋅∴EF=∵BE平分∠ABC，EF⊥BD∴CE=∵OE∥∴AECE∴AEAO∵OE⊥∴∠AEO∴cosA【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例，求角的余弦值，熟练掌握知识点，并灵活运用，是解题的关键．16．（2025·福建福州·三模）计算：-【答案】3【分析】首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减．此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则．【详解】解：原式===317．（2025·福建莆田·模拟预测）计算：3-【答案】3-【分析】本题主要考查了实数的运算，根据(3-π【详解】解：原式=1+2-2×218．（2025·福建莆田·三模）计算：-3【答案】1【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简绝对值、特殊角的三角形函数值，乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．【详解】解：-=3+2×1-4．=3+2-4=1．19．（2025·福建厦门·三模）计算：-【答案】2【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数，零次幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简，正确进行计算是关键；先计算零次幂，绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算即可．【详解】解：-=1+2-2+3=2320．（2025·福建福州·一模）计算：-【答案】2【分析】本题考查了实数的混合运算．根据零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：-=1-=1-=2．21．（2025·福建厦门·二模）计算：2025-1【答案】1【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂的运算、特殊角的三角函数值和二次根式的运算进行计算即可．【详解】解：2025=1+4×=1+2=1．22．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于0.5m．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离OA=12m，抛物线柱的最高点B离地面OA的距离为9m，平屋面CD离地面的距离为5m，其一端D恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚O到过屋檐C的铅垂线的距离OP=0.6m，斜屋面CE与平屋面CD的夹角∠(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；(2)求平屋面CD的长；（结果精确到0.1m(3)判断柱脚A到过屋檐E的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到0.1m（参考数值：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213【答案】(1)y(2)10.6(3)设计符合要求【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键．（1）利用待定系数法进行解答即可；（2）令y=5，得5=-14x2（3）过点D作DG⊥CE于点G．求出EG．得到CE．过点E作EH⊥CD，交CD延长线于点H，交x轴于点【详解】（1）解：由题意得A12,0，B设抛物线的表达式为y=将A12,0，B0=144a+12∴抛物线的表达式为y=-（2）∵平屋面CD离底面的距离为5m∴令y=5，得5=-解得xF=2，∴CD=0.6+10=10.6∴平屋面CD的长为10.6m（3）如图，过点D作DG⊥CE于点在Rt△CDG中，∠CGDCG=DG=在Rt△DEG中，∠DGEEG=∴CE=如图，过点E作EH⊥CD，交CD延长线于点H，交x轴于点易得四边形CHQP为矩形，在Rt△CEH中，CH=∴PQ=∵AP=∴AQ=13.86-12.6=1.26≈1.3>0.5∴设计符合要求．23．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线DE）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行n次裁剪，则记载剪次数为n．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为acm，宽为bcm的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，(1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）；(2)当a=26，b=22时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图(3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长acm和宽b【答案】(1)见解析(2)476(3)a【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可；（2）由勾股定理求出m=6（3）由全等的等腰直角三角形得出m=n，即【详解】（1）解：裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸．（2）解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n，∵八边形的各边长相等，∴22-2m即n=∴八边形的边长为22-2m根据勾股定理，得m2化简，得m2∵m>0∴m=6∴n=8∴得到的八边形卡纸的面积是26×22-4×1（3）解：∵正八边形的八条边相等，∴若能裁剪得到，可同理（2），得n-又∵正八边形的八个角都相等，都为135°，∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为45°，即这4个三角形是全等的等腰直角三角形，此时，m=n，即综上，当a=24．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动．课题测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度成员组长：小李，成员：小红，小明工具皮尺，量角器，细绳，小石头任务一制作简易测角仪小李在量角器的中心点O处悬挂一条绑有小石头的细绳OC，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径AB瞄准目标D，通过读取量角器的刻度得到∠AOC的度数，就可求得仰角∠任务二测量纪念碑EF的高度如图2，小红站在点G处，眼睛与地面的距离HG为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为45°；小明站在离小红7.8米的点M处，眼睛与地面的距离NM为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为37°．（点M，问题解决1．如图1，若∠AOC=α，求∠2．如图2，求纪念碑EF的高度．参考数据sin【答案】（1）90°-α；（2）纪念碑EF的高度为25.8【分析】本题考查解直角三角形测高，涉及平角定义、解直角三角形，数形结合是解决问题的关键．（1）如图所示，由OC⊥OP，当（2）过点N作NI⊥EF，过点H作HQ⊥EF，垂足分别为I，【详解】解：（1）如图所示：∵∠AOC∴∠BOP（2）过点N作NI⊥EF，过点H作HQ⊥∴IF=在Rt△EIN中，∵∠ENI∴EIIN∴设EI=3k，则在Rt△HQE中，∴HQ=∵MG+∴7.8+3k∴k=8∴EI=3∴EF=答：纪念碑EF的高度为25.8米．25．（2025·福建福州·二模）计算：2-【答案】1【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则进行求解即可．【详解】解：2==1．26．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1:2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150(1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求点A，D间的水平距离AE的长．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，【答案】(1)50(2)320【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，（1）过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H，设BF=x，根据坡度的概念用（2）根据余弦的定义求出CH，进而求出AE；掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．【详解】（1）解：如图，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交设BF=∵坡道AB的坡度为1:2.4，AB=130∴AF=2.4在Rt△ABF中，∴1302解得：x=50或x∴BF=50答：他沿垂直方向上升的高度为50m（2）如图，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交由（1）可知：AF=2.4由题意知：BC∥AE，∵BF⊥AE，∴BF∥CG∥∴四边形BFGC和四边形CGEH都是平行四边形，∴四边形BFGC和四边形CGEH都是矩形，∴FG=BC=80，GE在Rt△DCH中，CD=150∴CH=∴AE=答：点A，D间的水平距离AE长约为320m27．（2025·福建厦门·模拟预测）计算：cos60【答案】1+2【分析】此题考查了绝对值的化简，三角函数，零指数幂，负整数指数幂，平方根的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先计算各项的值，再进行实数的加减