五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(广西专用)08：综合与实践（创新型函数相关压轴题27题）（学生版）

专题08综合与实践（创新型压轴题，27题）1．（2025·广西·中考真题）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m，AN=1m，AP=2m，AB=3m，BC=2.5m，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出a=-4，求二次函数y①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…--024…x…*20--…y的最小值…*----…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a，就能得到y乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式y=（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．3．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：m0+m⋅l=M⋅(a+y).

【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．4．（2025·广西来宾·模拟预测）综合与实践【问题背景】数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm．【实验过程】注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示：注水时间t05101520…水面高度h45678…【问题解决】(1)请你求出水面高度h关于注水时间t的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出h关于t的函数图象；(2)求当注水时间t满足25≤t≤40时，水面高度5．（2025·广西崇左·模拟预测）综合与实践【问题背景】刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．【实践操作】该数学综合与实践小组在某天上午7：30开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，每隔记录时间7：307：407：508：008：10…流水时间t010203040…水面高度hcm302928.12725.8…【建立模型】小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．【问题解决】(1)利用当t=0时，h=30；当t=10时，h=29这两组数据，求水面高度(2)在（1）的条件下，当流水时间为90min时，求水面高度h(3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间．6．（2025·广西·模拟预测）综合与实践：某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息：材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为0.2秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km车速x（km/0306090120150制动距离y（m）07.819.234.252.875探究任务：(1)以车速x为横坐标，制动距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式；(3)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m(4)若某驾驶员驾驶这种新型汽车以50km/h7．（2025·广西钦州·一模）综合与实践现有A,【实践操作】（1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为25cm，已知一只A款杯子的高度为10cm，且叠放总高度y1与杯子数量x的函数解析式为y（2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为14cm，已知一只B款杯子的高度为5cm，请求出叠放总高度y2（3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为12cm，8只杯子叠放的总高度为22cm，请直接写出叠放总高度y3【知识运用】（4）已知杯子摆放区的高度为41cm，若把C8．（2025·广西崇左·三模）综合与实践【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中AB=4米，且EF垂直平分AB这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：md010203040506070h1.510.517.522.525.526.525.5k【问题解决】(1)k的值为．(2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；(3)求出h与d的函数解析式；(4)小明射出的箭的运动轨迹与线段AB有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．9．（2025·广西南宁·一模）综合与实践：生物生长规律的模型研究如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：μmx0510152025y26.019.014.09.57.05.5【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过0,26.0的抛物线，设解析式为y=（1）选取两个点10,14.0，20,7.0，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄．【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1=140，k2=142.5，k3=140，k4=137.5，猜想当（2）为减少偏差，取k=【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低．（3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算；（4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为4.3μ10．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（AC段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（CB段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度v（单位：cms）与时间t（单位：s）的关系（如图1所示），以及路程s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系（如图2所示）．其中，图2中PQ段是抛物线s=-1【建立模型】任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度vcms与时间②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在一节长为9.75cm的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点A11．（2025·广西柳州·模拟预测）综合与实践【发现问题】海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长5m宽2m的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高【提出问题】设临时换衣间长方形地面的一边长为xm，临时换衣间地面面积为ym2，那么y【分析问题】一方面发现临时换衣间的底面周长是5m，于是另一边长可以用含x的代数式表示，于是利用矩形的面积=长×宽，就可以直接列出面积y与x的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长xm和面积长方形地面的一边长x0.40.60.81.01.2…长方形地面的面积y0.841.141.361.51.56…然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想y与x之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式．【解决问题】(1)求出y与x的函数关系；(2)求x为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？(3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长10m高512．（2025·广西河池·一模）综合与实践【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为45cm，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加5【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：cm）与凳子张数n的表达式；任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为150cm，乙纸箱的高度为100cm，每个纸箱的上下底都要装上任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？13．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=ax【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=ax2-4ax-4a+114．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、1,3，2,2，4,0，-1,5，…【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点Mx,y满足上述规律，请直接写出x与y【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断A3,1，B6,2，C-4,4中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题：①若点P-2,b是反比例函数y=kx图象上的②已知y=ax2-x+5a<015．（2025·广西柳州·二模）综合与探索【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点(1)直接写出OA=______，OB=(2)将直线AB绕点A顺时针旋转90°得直线AE，求出直线AE解析式：小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根据K型全等和坐标之间的关系，求出点E的坐标为______；通过A，E(3)如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求16．（2025·广西南宁·三模）数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点O为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点O旋转，与两条抛物线分别交于点A，点B（异于点O）．【猜想】学生先对y=x2，yOA（单位：cm）…0.50.81.32.1…OB（单位：cm）…11.62.64.2…（1）猜想：OB与OA的数量关系是______．【验证】（2）如图2，直线y=kxk>0与二次函数y=ax2，y=证明：过点A,B分别作AC⊥x轴于设点A的横坐标为pp≠0，由点A是y=kx，y=设点B的横坐标为qq≠0，由点B是y=kx，y=b又∵k=k，∴p易证△AOC∴……请完成证明过程．【应用】（3）①如图3，若直线y1=2x与抛物线y2=x2，y3=-12x2分别交于点A,B，直线y4=-x与抛物线y2②若直线y=kxk>0与抛物线y=ax2a≠0相交于点O,

17．（2025·广西·二模）探究与证明【问题背景】在四边形ABCD中，∠EAF=12∠BAD（E，F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，【构建联系】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN（2）如图2所示平面直角坐标系，在△ABC中，∠BAC=45°，点A坐标为-3,-3，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数y=kxx>0【深入探究】（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，连接MN，当MN=MA且∠EAF18．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与x轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题：(1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”．①y=x+2x②y=-xx+6③y=x2-(2)若抛物线y=x2-3x+2和抛物线y(3)若抛物线y=x2+bx+c和y=-x2+b'x+c'构成的“山水线”关于x轴对称，该“山水线”与x轴交于点A，B，点A在点B左侧．设点Cm,0，Dm+2,0是线段AB上的动点，过点C作x轴的垂线交该“山水线”于点E，F，过点D作x19．（2025·广西南宁·二模）探究与拓展如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-12x2+bx+6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为6,0，点D是此函数图象在x轴上方部分的动点，连接CD，OD．设点D的横坐标为n，△OCD(1)请直接写出点A的坐标，b和图2中c的值；(2)当S=32(3)当点D仅在函数图象上点C至点B之间的部分运动时，连接BC，交OD于点E，则ODOE是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时S20．（2025·广西钦州·二模）探究与拓展如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-12x2+bx+6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(6,0)，点D是此函数图象在x轴上方部分的动点，连接CD，OD．设点D的横坐标为n，△OCD(1)请直接写出点A的坐标，b和图2中c的值；(2)当S=32(3)当点D仅在函数图象上点C至点B之间的部分运动时，连接BC，交OD于点E，则ODOE是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时S21．（2025·广西南宁·模拟预测）【项目式学习】【项目主题】安全用电，防患未然．项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约80%的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．【任务一】调查分析（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA=OB，喷射角∠AOB=60°，地面有效保护直径AB为23米，喷嘴【任务二】模型构建由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形OABC，创新小组以点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即OA=3米，AM=2米，水喷射到墙面D处，且①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为多少米？任务三：问题解决（3）已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为0.3米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装同一种喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头N距离喷淋头M至少多少米？（直接写出结果）22．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ，这两面墙间距DE=3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH=2米．图3是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD=2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC=1.6m，AC=0.8(1)根据以上数据求圆心O到地面的距离；(2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．(3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线GH逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长EF为n米（1<n<3），试判断l与(4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于0.8米，则n的取值范围是多少？23．（2025·广西南宁·模拟预测）请根据以下素材，完成探究任务．飞行汽车背景飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力．建模某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.4千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y=ax2+2任务（1）若仪表监测到水平飞行时间为0.08小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值；（2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.49千米．水平飞行了t0.08≤t≤0.1小时到达点C24．（2025·广西来宾·一模）我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律．【初步探究】如图1，我们将二次函数y=12x2的图象M1向上平移得到y=12x2+3的图象

（1）点A在M1上运动的过程中，线段AB【拓展探究】如图2，线段PQ:y=-12x+30≤x≤6分别交y轴、