五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(广西专用)13：综合与实践（几何综合压轴题）（24题）（学生版）

专题13综合与实践（几何综合压轴题）（24题）一、真题1．（2025·广西·中考真题）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m，AN=1m，AP=2m，AB=3m，BC=2.5m，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ2．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．猜想判断正误①平行六边形的三组主对边分别相等_________②平行六边形的三组主对角分别相等_________③平行六边形的三条主对角线互相平分_________【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．(2)如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=(3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．3．（2023·广西·中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，

请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接，

请完成：(3)证明BB'是4．（2021·广西·中考真题）【阅读理解】如图1，l1//l2，解：相等，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF∴∠AEF∴AE∵l∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE又S△ABC=∴S【类比探究】问题①，如图2，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接解：过点E作EF⊥CD于点F，连接请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】问题②，如图3，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△5．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践．在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究．定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．(1)【初步探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，连接BD，点E是(2)【问题解决】在（1）的条件下，若∠AEC=90(3)【拓展应用】如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE延长AE交BC于点G，连接FG．若AD=106．（2025·广西·一模）【综合与实践】【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为5-12．例如在图1中，点C为线段AB上一点，若BCAC=ACAB，则点C为线段AB的黄金分割点．从数据上可描述为：点C为线段AB上一点，若BC素材2：宽与长之比为5-【特例感知】（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数5-12≈0.618，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是154cm，下半身长92（2）如图3，在黄金矩形ABCD中，长AD=2，则矩形ABCD的面积=__________【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：第一步，准备一张宽MN=2a，长MR足够的矩形纸片NMRT，利用图4的方法折出一个正方形第二步，如图5，把正方形NMAD折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到MA，ND的中点P，Q；第三步，折出矩形QPAD的对角线PD，并把PD折到如图6中的PB处；第四步，展平纸片，如图7，过点B折出BC⊥MR交NT于点C，得到矩形小军得到两个结论：点A为线段MB的黄金分割点，所得矩形ABCD是黄金矩形．【问题解决】（3）请你证明小军的上述结论是否正确；（4）如图8，以AB为边折出正方形ABEF，延长EF交MN于点H，如图9，得到矩形NHFD，请证明S正方形7．（2025·广西南宁·一模）综合与实践【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎wèi范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图1所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端M沿圆周移动，直到MA=MB，在圆上标记M，A，B三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的M，A点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为C点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的M，A，B，C四点，连接AC，BM相交于点(1)【动手操作】如图3，点A，B，M在⊙O上，MA⊥MB，且MA=MB，请你根据“(2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果MA和MB不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点M，A，B在⊙O上，MA⊥MB(3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点M，A，B是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O8．（2025·广西南宁·三模）综合与实践图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中OA为支架，AB为桌面的宽，调节椅背OP不会改变OA与AB的位置，AB与地面保持平行且∠OAB=127°．当椅背垂直于地面时，OA与OP的夹角为（sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈(1)求θ的度数；(2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为200N，F与θ满足F=mg2sin(3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板ABCD上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到AD的距离为10cm；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径QE=4cm，支架OA=40cm，当椅背OP向后调节30°9．（2025·广西·二模）综合与实践【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC【初步探究】（1）如图2，将△BCD沿CD方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点D'，B'，连接AD'【深入思考】将△DD'B'绕点D顺时针旋转得到△DNM，D'，B'的对应点分别是N，（2）如图3，当BD⊥MN时，垂足为Q，MN与BC交于点P，求线段（3）在旋转的过程中，线段DM与CB交于点E，当点N与点B重合时，求线段BE的长．10．（2025·广西钦州·二模）综合与实践【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．【实践探究】设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B，C，D．(1)如图2，当直线l经过中心O时，请直接写出线段AB与CD的数量关系；(2)如图3，当直线l不经过中心O时，请证明（1）中的结论仍然成立；【问题深化】(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点O是这两个菱形对角线的公共交点，AB∥EF且F，B，D，H四点均在对角线FH上），类似地形成了“方花”，直线l不经中心O时，与“方花”从左到右依次交于点M，N，P，Q，求11．（2025·广西·二模）综合与实践【问题背景】小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫作介质的“绝对折射率”，简称“【初步探究】（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且sinα=3【解决问题】（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图212．（2025·广西·一模）综合与实践【问题情境】如图所示，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE=CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点【初步分析】（1）线段EG与BF的数量关系为_______，位置关系为_______；【深入分析】（2）如图2，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由；（3）如图3，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD=33，求13．（2025·广西来宾·模拟预测）数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE，点B的对应点为F，延长AF交边CD于点G，若AD=5,方案一：如图②，连接EG；方案二：如图③，将△ABE绕点E旋转180°至△(1)请你按照方案一计算线段CG的长；(2)请你按照方案二计算线段CG的长；(3)在方案二的条件下，连接CF并延长，交AD于点R，求FR的长．14．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．(1)特例感知如图1，折叠等边三角形ABC纸片，使点A与BC边中点F重合，折痕为DE，分别交边AB、边AC于点D、点E．①求∠EDF②求证：△DFE(2)性质梳理如图2，等腰三角形ABC纸片，AB=CB=18，折叠该纸片，使点A落在边BC上的点F处，折痕为DE，分别交边AB、边AC于点D、点E．若EF⊥AC(3)深度探究如图3，折叠△ABC（∠B，∠C为锐角）纸片，使点A落在BC的下方点F处，折痕DE分别交边AB、边AC于点D、点E，线段DF、EF与BC分别交于点M、点N，若DB=DM，点D、点F15．（2025·广西桂林·三模）【探究与证明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB(1)【问题解决】如图①，若AB∥CD，求证：小红同学展示出如下正确的证明过程，请在横线上将内容补充完整．证明：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，如图∴DE___________（填写位置关系）BF∴△DOE∼∴DEBF=∵S∴S(2)【探索推广】如图②，若AB与CD不平行．（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OB于点F，H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=216．（2025·广西南宁·三模）综合与探究【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法．如例图，在等腰△ABC中，CD是AB边上的高，点P是BC上不与点B，C重合的一个动点，连接AP，过点P分别作AB和AC的垂线，垂足分别为点M，N，即S∴12∵AB=AC，∴又∵CD是AB边上的高，且为定值，∴PM+【类比探究】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AD上不与点A，D重合的一个动点，连接PO，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F，可求【深入探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作BM和BC的垂线，垂足分别为点E，F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为点E，D，F17．（2025·广西柳州·三模）实践与探究杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究．【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题：已知△ABC，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以AC，AB【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将△ABC绕BC中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得△BCD，就可拼成一个以AC，【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，在（1）的基础上，将△①当D，B，D'点共线时，连接AD'（如图2），四边形ACB②当旋转角度是45°时，设AB与CD'交于点E（如图3），求③当B，B'，D'三点构成直角三角形时，请直接写出线段18．（2025·广西桂林·二模）综合探究如图1，点E是正方形ABCD的边DC上一点，连接AE，在CB的延长线上取一点E'，使BE'(1)连接EE'，求证：(2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,AB(3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°,∠BCD则∠CAQ=60°，AC∵∠BAD∴∠BAC在△ABC和△AB=∴△ABC∴BC=DQ∴∠B∴∠CDQ∴C∵CQ=AC∴C19．（2025·广西·二模）探究与证明【问题背景】在四边形ABCD中，∠EAF=12∠BAD（E，F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，【构建联系】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN（2）如图2所示平面直角坐标系，在△ABC中，∠BAC=45°，点A坐标为-3,-3，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数y=kxx>0【深入探究】（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，连接MN，当MN=MA且∠EAF20．（2025·广西玉林·三模）【思考探究】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，连接CE，DF⊥CE于点F，【实践探究】（2）小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形ABCD中，E是边AB上一点，连接CE，DF⊥CE于点F，AH⊥CE交CE的延长线于点H，【拓展迁移】（3）小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，连接CE，AH⊥CE交CE延长线于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，21．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与x轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题：(1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”．①y=x+2x②y=-xx+6③y=x2-(2)若抛物线y=x2-3x+2和抛物线y(3)若抛物线y=x2+bx+c和y=-x2+b'x+c'构成的“山水线”关于x轴对称，该“山水线”与x轴交于点A，B，点A在点B左侧．设点Cm,0，Dm+2,0是线段AB上的动点，过点C作x轴的垂线交该“山水线”于点E，F，过点D作x22．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与探究【初步感知】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图，△ABC中，点E是BC边上一点，连接AE，若A