五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)03：分式与二次根式（学生版）

专题03分式与二次根式（原卷版）考点1分式的运算1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（

）A． B． C． D．2．（2022·山西·中考真题）（1）计算：；（2）解方程组：．3．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；（2）化简：．4．（2020·山西·中考真题）（1）计算：（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．考点2二次根式的运算1．（2022·山西·中考真题）计算的结果是．2．（2020·山西·中考真题）计算：．3．（2021·山西·中考真题）计算：一、单选题1．（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（

）A． B． C． D．2．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（

）姓名：李明班级：八班得分：判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”．①代数式，是分式②当时，分式有意义③若分式的值为，则④式子从左到右变形正确⑤分式是最简分式A． B． C． D．4．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（）A． B． C． D．5．（2025·山西·一模）化简的结果为（

）A． B． C． D．6．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（

）A． B． C． D．7．（2025·山西长治·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．8．（2025·山西太原·二模）下列运算正确的是（）A． B．C． D．9．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（

）A．1 B． C． D．411．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（

）（结果保留整数；参考数据：）A． B． C． D．12．（2025山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（

）已知，．求的值．解：；原式．A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数二、填空题13．（2025·山西·模拟预测）计算结果为．14．（2025·山西·模拟预测）计算:15．（2025·山西吕梁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．16．（2025·山西运城·一模）计算的结果是．17．（2025·山西大同·二模）写出一个与的积为正整数的数：．18．（2025·山西晋城·一模）比较大小：（填：“”“”或“”）．19．（2025山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是．（写出一个即可）20．（2025山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简：．21．（2025山西运城·模拟预测）计算：的结果为．22．（2025晋城市模拟）若最简二次根式与是同类二次根式，则．三、解答题23．（2025·山西长治·模拟预测）先化简，再求值：，其中．24．（2025·山西大同·三模）（1）计算：；（2）化简：．25．（2025·山西晋中·二模）计算：(1)(2)化简：26．（2025·山西朔州·三模）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务．解：原式

第一步

第二步

第三步．

第四步当时，原式．任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的．任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值．27．（2025·山西吕梁·二模）计算、化简：(1)；(2)．28．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中在、3、4三个数中选一个再求值．29．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：；（2）下面是小明作业本上的一道分式化简题，请仔细阅读并解答所提出的问题．解：

……第一步

……第二步

……第三步

……第四步

……第五步①小明的解法中第二步变形的数学依据是_______；②以上步骤中从第_______步开始出现错误，出现错误的原因是_______；③正确的化简结果是_______；④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给同学们提一条建议．30．（2025·山西晋中·二模）（1）计算：．（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：习题1：计算：．解：……………第一步……………第二步………………第三步．…第四步习题2：解方程：．解：方程两边同乘，得，…………第一步，……………第二步．…………第三步检验：当时，，……第四步∴原方程的解是．……………第五步①习题1的解答过程是从第________步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第________步开始出现错误的；②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．31．（2025·运城市·三模）（1）（2）先化简，再求值：，其中．32．（2025·山西大同·一模）（1）计算：；（2）化简：．33．（2025·山西运城·模拟预测）计算：(1)；(2)化简：34．（2025·山西吕梁·一模）先化简，再求值：，其中．35．（2025运城市模拟）【阅读下列材料】：若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，∴，∴．∴时，的最小值为8【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．36．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务数形结合解决二次根式求和问题求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？下面我们讨论一种新的方法——数形结合法【例题】求的最小值【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，，，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则，将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据）任务：(1)直接写出材料中的依据为：_________；(2)写出求解长的解题过程；(3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________．37．（2025山西晋城·二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成下列任务．问题背景：数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究．探索发现：发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立）解释证明：当时，当时，如果，那么（当且仅当时等号成立）任务：(1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；(2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．38．（2025山西临汾·二模）（1）计算：．（2）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一个同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据下面的接力游戏解答问题：接力游戏老师：化简：．甲同学：原式乙同学：丙同学：丁同学：任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据__________进行变形的．A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质D．乘法分配律②在“接力游戏”中，出现错误的是__________同学，错误的原因是__________．任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是__________．任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．39．（2025晋城市模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．，．像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．(1)的有理化因式是__________；的有理化因式是__________．(2