【《变换思想在中学数学中的应用研究》5700字（论文）】

变换思想在中学数学中的应用研究摘要本文通过对中学数学中变换思想的分析研究，阐述了目前中学生在解题时经常遇到的困惑，分析出学生解题困难的原因，最后总结出变换思想在中学数学中最常用的几种类型并配套具体的例题进行分析说明.关键词数学思维；转换思想；数形结合目录1引言 1引言在中学数学中,基础知识和基本技能固然重要,但数学思想同样也很重要,因为在现在的中学数学学习和教学中,掌握数学思想往往能起到事半功倍的作用,其中转化的思想又是最基本最重要的思想,因为在我们的学习中,后边的知识往往要转化成前边学过的知识,或者在解题中,对于一些复杂而又抽象的数学问题转化为常规化、熟悉化,已知化,所以转化的思想对数学的学习和解题很重要.1.1研究的背景在数学学科领域中，变换思想平常又可以称它为划归思想，最早开始提出这一思想的人为匈牙利著名的数学家罗沙.他使用一个非常有趣的问题对学生进行提问：假如我现在特别口渴，该怎么办，答案肯定是要去喝水，要喝水肯定要去烧水，现在我面前有火柴、木柴、水壶以及还有水龙头，现在主要的工作就是去烧水，因为我口渴了要喝水，那么大家觉得我应该怎么样去做呢？有一个学生的答案是：“利用水壶盛水，然后点燃木柴，最后将水壶架在木材上面去烧”.这时候罗沙又问道：“假如还是上述的条件，只是这次水壶中已经盛满了水，那没此时我又应该怎样做呢？”这时同学们都说：“先点燃木柴，再把水壶直接放在上面去烧就可以了.”但是罗沙并不这么想，他认为，他目前的主要需求是口渴需要喝水.把水壶中的水倒掉一部分就能快速的喝到水，也就快速的解决了他口渴的问题.只有我们才会按部就班的把装满水的水壶放到木柴上去烧，而数学家之所以是数学家，是因为他拥有和常人完全不同的思维，他将选择把水壶中的水倒掉一半，然后再去烧，这样烧水速度变快，而且口渴问题也得到快速解决，从这个很简单的小问题中，就可以看出数学家不同于常人的数学思维，而这也是数学家解决问题最主要的思想，变换思想，利用这种思想，可以将一个已知的问题转化为最急需解决的问题.例如：我们在中学学习数学的时候，首先会进行一元一次方程的回顾，通过将二元一次方程进行变换就可变成解一元一次方程的问题，这样复杂的问题就简单化了很多，再例如已知学习了三角形的内角和之后，让求四边形、五边形以及更多变形的内角和是，首先将多边形分割成三角形，然后经过这样的转换，就可以很轻松的求出多边形的内角和.因此，在我们面对实际的问题时，我们不要直接对问题进行思考，而想办法将问题简化，通过一些特殊的手段转换成比较容易的方法，这就是数学思想中常用的“变换思想”.1.2研究的目的本文主要通过对变换思想在中学数学中的应用的研究，使变换思想在中学数学中很好的运用，从而提升学生的解题技巧，强化解题思维，提高解题效率1.3研究的意义《数学课程标准》强化了变换思想的内容，将变换思想方法具体化.这也是中学数学课程标准中最突出的特色之一，改革的力度也较大.这促使我们深入思考变换思想内容对学生数学学习的影响，发掘学习变换思想内容的价值.事实上，学生对于几何变换并不陌生.生活中随处可见各种运动变化，如汽车的行驶、门窗的推移、人体的各种运动等，这些都可以看作一个几何变换，它们构成了学生的现实生活经验基础同时，对于几何变换，学生也不乏活动经验，从幼儿时期开始，他们就进行了大量的搭积木、拼图等游戏活动，这些活动，一方面发展了学生的空间想象能力，同时也是学生感受变换的一个好的活动机会.在拼摆活动中，小孩常常拿着图片不停地摆弄，其中就涉及到平移、旋转、反射等几何变换，并能初步感受到这些几何变换的本质与差别，就像长大后的我们，可能有这样的经验，无论如何移动和旋转某个图片都无法放到目标位置，而只有翻折过来才能完成任务.因此，变换思想的引入，能够让学生和实际的生活情境向融合，也能够更全面地体会数学教育的价值.2变换思想在中学解题中的应用2.1由数形结合代入变换思想在中学数学中,由于侧重点不同,数学分为代数和几何两个分支,代数更侧重于数量关系,比较抽象,几何更侧重于形,比较形象,前者给人以理性认识,后者给人以感性认识.而抽象的理性认识比直观的感性认识更深刻、更具体更全面,借助于直观的感性认识往往又使问题分析的更透彻,从而容易找到解题的方法,所以我们在学习数学中,不仅要注重它的抽象性,同时也要注意它的直观性,利用数形结合实现的转化往往使问题容易找到突破口,如:数转化为形：图2-SEQ图\*ARABIC\s11数转化为形例图形转化为数(S=ab):图2-SEQ图\*ARABIC\s12形转化为数例图在中学数学解题中,经常会遇到用代数的方法解几何的问题或运用几何的解法解代数问题的例子,尤其在高中数学中,这方面的例子尤为突出,所以我们应有意识地运用数形结合来实现问题的转化.下面通过例子来说明如何利用数形结合来实现问题的转化.例1：已知m2+4n分析:由于不等式m2+4n2−8m−16n+28≤0是关于m，n的二次不等式,配方后变为：（m−4）24图2-SEQ图\*ARABIC\s13示例图而满足不等式的m，n是椭圆及其内部的点N(m，n)，而s=nm可以看成过原点及N(m，n)的直线的斜率，因此,我们由图像便可知,把N限制在椭圆区域内,则由直线n=sm解：设n=sm是以s为斜率的直线,把n=sm代入椭圆方程,得到:1+4当直线与椭圆相切，即仅有一个公共点时有：∆=即：12解得：s=由此得：Smax=在上述问题的求解中通过作图,将s作为直线的斜率,通过图形直观看出范围,从最开始想起利用直线与椭圆的位置关系中的交点个数而获解,这样便将求解一个值的范围题型通过数形结合的方法得到它的解.2.2由等价变换实现变换思想等价变换实际是一种等价转化,在许多问题的求解中,往往会进行等价转化,如在实际问题的求解中将文字语言向数学语言的转化以及经常遇到的恒等变形都是等价变换,一些关系复杂的数学问题经过等价变换后往往关系更明确、更具体、更简单,便于我们解决,但是等价转化必须注意转化过程的等价性,保证转化前后是一种充分必要条件,如下面的例子：例1：已知a>0,设M：y=ax在实数集上是单调递增的函数,N:不等式|x-2a|+x>1解为R,如果M，N分析：M，N里有且仅有一个正确⇔M正确但N不正确或是N正确但M不正确两种情况,为了好求解,我们应先求M,N分别正确时α各自的取值范围,然后在分别取其反面,再用集合间的运算关系求a的范围.解：当M正确时,a的范围为a>1,即M正确⇔ax−2a从而知x−2a+x最小值为2a，这样2a>1，得所以当N正确时，a的取值范围为：a>12由两者解集知M正确N不正确，则不存在，只有N正确M不正确，得：1从而得a的取值范围是：12.3由一般问题向特殊问题的转化及应用在解题中我们经常会对一些题用到这样的方法，如果直接求往往不好解或不好判断，这时我们可以举特例来求解或判断，反而使问题容易解决，这种方法常称为举特例，举特例其实也是一种转化法，因为转化的过程本身是一个由难到易、由繁琐到简单，由抽象到具体的过程，特殊化往往使问题更容易更简单，从而容易求解，可以看下面的例子：例2：求函数fx分析：利用周期关系便会得到一个关系式，这时若取x=0关系仍成立，并且减少了一个未知量，从而可求解.解：设fx=即：sin这对任意的x都成立，因此当x=0时，上式也成立，即有：sin两边平方得：sin得：2即：sin所以因此fx=sin例3：已知fx对一切实数x,y满足fx≠0，fx+y=fxf分析：fx是不定函数，我们不知它的具体形式，但可以根据f解：根据fx+y=fxfy且对任意实数fx=ax由x<0时，f(x)>1可知：0<a<1；从而当x>0时，有0<简评：对上述问题，x=0时是什么情况以及fx2.4由特殊向一般转化及应用一般化与特殊化是两个相反的过程,有些问题的求解中,特殊化往往可简化问题,并且便于找到突破口但是反过来有些问题又比较特殊,看不到解题的思路,这时就需要一般化如-此数值比较问题方程的求解问题,几何中的证明问题等等.如果把这些问题仅作为一种数值的计算或仅考虑问题本身往往不好下手,但是如果改变我们的眼界和思维，把问题的一些条件和结构一般化,再对一般化的问题求解当一般的情形得解,则由一般包含特殊，特殊情形也便得解,如以下的例子例1：比较9991997和1997!分析：直接比较二者的大小，我们很难分清楚，但观察问题本身的特征，所以我们对本题进行一般化，通过比较与的大小进行比较.解：设，，则，，所以问题可化为比较fn与gn的大小;因由均值不等式，所以，即：2.5由逆向思维实现的转化及应用有些数学问题,如果我们按常规的思维去直接解的话,看似思路清晰,可往往不好继续,经常被卡住,这时我们可以改变一下自己的思路和想法,从其反面或一个侧面来考虑它,从容易下手的一面来考虑它，把问题转化成另外的问题,使问题变得容易，这样的例子也很多,这也体现了一种转化的思想,如下面的例子：例1：对于三个方程x3+4mx−4m+3=0，x2分析：单独处理每一个方程，比较复杂，考虑到三个方程至少有一个实根的反面是三个方程都无实根，因此可先求出三个方程都无实根时m的范围.解：三个方程都无实根，可得一个不等式组：16解得:−即−而m−32<m<−1的补集是−∞，例2：已知a时正整数，当且仅当a取什么值时，方程ax分析:按我们正常的思维,应先求方程的根,然后再由a的取值一个个讨论,从中找出a的值，但是这样做不但麻烦,而且讨论的情况也多,但如果我们换个思维,把a和x换位考虑,考虑a为所求的值用x表示a,问题便简化了.解：把原方程换成a的值，整理得：x+2但由于当x=−2时，等号不成立，所以可得：a=2x+7x+2由于a取正整数，从而得2x+7x+22≥1，进而得x2+2x−3≤0，所以−3≤x≤1，这样x的取值只可能为-3，-1，0，1.当x=−3时a=1；当x=−1时a=5；当x=0时a=74；当这两个例子的解法都体现了一种逆向思维,这种解法使我们的解题方便了许多,也简单了许多,所以当我们遇到一些非常抽象的数学问题时，要多动脑子转变思维特征，这样再难的问题也就能够得以解决.2.6由函数和方程思想实现的转化及应用函数和方程的思想是一种很重要的思想,尤其在解有关数量关系的问题中,这种思想的作用和好处更明显,对于一些问题，如果我们能根据条件列出数量关系，比如函数关系,方程(组)或不等式(组)往往较容易找到解题的思路,而这也是利用方程和函数实现转化的一个过程下面的例子就说明了这种好处.例1：已知：椭圆x2a2+y2b2=1a<b<0上有两点M，N，线段分析：看此题我们没有多少的思路，但是可以根据题目中的等量关系建立一个关系是NM=HN解：由H是MN垂直平分线上的点，所以HM=HN，又M,N是椭圆上的点，可令Macosθ所以有:acosθ1−x化简得：2得：x令t=cosθ1+cosθ2，则则x是关于t的单调递增函数，从而x∈−a−例2：∆ABC的边长为a,b,c，满足b=8-c，a2=bc−12a+52分析：要确定∆ABC的形状，我们应知a,b,c的值，由题中关系，如果我们变形一下，就会有b+c=8，a2解：由我们建立一个以b,c为根的一元二次方程，则有：方程有两根，从而：∆≥0，但是∆=64−4a2−12a+52=−4a2−62≤0，从而∆=0本题利用了方程的思想，将问题转化成了一个一元二次方程有无根的问题，从而使问题得以求解.3总结变换思想包含的内容还很多,方法更是多种多样,这里我们仅用了几个例子来说明它的应用和重要性以及使用的一些方法,这还需要我们在以后的学习中不断的总结和归纳,同时我们在平时的解题中要注意运用这种思想,而变换思想的运用要求有扎实的基础知识,基本技能,所以我们在平时的解题中要注意巩固基础知识,并且注意它的转化,多多思考总结,这样就会不断有所突破.参考文献[1]包晓兵.浅析转化思想在高中数学中的应用[J].数理化解题研究，2015，000(010):36-36.

[2]刘巾国.浅谈转化的思想在中学数学解题中的应用[J].山西师范大学学报(自然科学版)，2013(S2