【试卷】【第019套】2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（二）

第1页（共1页）2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，则A． B． C． D．2．复数，则在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数是上的偶函数，则A．0 B． C． D．4．记为等差数列的前项和，若，，则A．70 B．49 C． D．5．如图所示，是一个正方体的表面展开图，在正方体中，，，，这4条线段所在的直线满足垂直关系的是A．与 B．与 C．与 D．与6．有一组样本数据，，，，，，则这组数据的方差为A．1 B．2 C．3 D．47．已知向量，，均为单位向量，，则A． B． C． D．8．记为坐标原点，，是双曲线的左右焦点，过点的直线与圆切于点，则A． B． C．5 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知的展开式中二项式系数之和为128，则A．展开式中共有7项 B．展开式中第3项为 C．展开式中各项系数绝对值的和为2187 D．展开式中第4项或第5项的二项式系数最大（多选）10．（6分）已知函数在处有极值，则A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D．（多选）11．（6分）记为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，设点到的准线的距离为，，，延长交于点，则A．点的纵坐标为 B． C． D．△的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则．13．在三棱台中，△是正三角形，，，平面平面，则三棱台的体积为．14．我们知道，凡是能够表示成两个整数的商的数称为有理数，请你根据所学知识将下列两个循环小数化成最简分数，；．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）记△的内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）延长至，使，，，求的值．16．（15分）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，在第一象限．（1）若轴，求的离心率；（2）若关于直线的对称点恰好是的上顶点，记为，，求△的周长．17．（15分）已知三棱柱的所有棱长均相等，，且棱柱的体积为．（1）求证：平面平面；（2）求；（3）求二面角的正弦值．18．（17分）一款趣味闯关游戏的规则如下：准备张背面完全相同的卡片，正面依次标上1，2，3，，的数字，随后将卡片背面朝上，随机摆放在游戏桌上．参与闯关的选手每次翻开一张卡片，若卡片上的数字是当前所有背面朝上卡片中的最小值，就取走该卡片；若不是，则记住卡片数字后将其背面朝上放回原位，以保证翻卡片的次数尽可能少，继续翻找背面朝上卡片中的最小值取走．如此反复，直至按从小到大的顺序取走全部张卡片，游戏结束．游戏结束时的翻卡总次数记为（同一卡片多次翻开也会重复计数，翻回不计次数）．（1）若，求；（2）若．求的分布列与期望；规定：时选手晋级，时选手重新闯关一次（直到分出淘汰或晋级），时选手淘汰，求选手多次闯关最终晋级的概率．19．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恰有两个零点，，且．求的取值范围；（ⅱ）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．

2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（二）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBDACCDB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCDACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，则A． B． C． D．解：因为全集，集合，所以．故选：．2．复数，则在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由复数，得，则在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限．故选：．3．函数是上的偶函数，则A．0 B． C． D．解：因为是上的偶函数，所以，，因为，所以．故选：．4．记为等差数列的前项和，若，，则A．70 B．49 C． D．解：为等差数列的前项和，，，可得，解得，则，故．故选：．5．如图所示，是一个正方体的表面展开图，在正方体中，，，，这4条线段所在的直线满足垂直关系的是A．与 B．与 C．与 D．与解：把正方体的表面展开图还原为正方体，如图所示：在正方体中，与所成的角是，与所成的角是，与是异面垂直，与所成的角是．故选：．6．有一组样本数据，，，，，，则这组数据的方差为A．1 B．2 C．3 D．4解：因为，所以，由方差的定义可知，这组数据的方差为：．故选：．7．已知向量，，均为单位向量，，则A． B． C． D．解：因为向量，，均为单位向量，，所以，所以与共线反向且，所以，，则向量，移至同起点时为正方形的一组邻边，故，错误；，错误；，与夹角为，故错误；由正方形的对角线互相垂直知正确．故选：．8．记为坐标原点，，是双曲线的左右焦点，过点的直线与圆切于点，则A． B． C．5 D．解：因为双曲线方程为，所以焦点和的坐标为和，其中，因为过的直线与圆相切于点，所以切点在圆上，代入圆的方程得：，则圆在点处的切线方程为：，即，又因为直线过，代入得：，故，因为，所以，故，即．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知的展开式中二项式系数之和为128，则A．展开式中共有7项 B．展开式中第3项为 C．展开式中各项系数绝对值的和为2187 D．展开式中第4项或第5项的二项式系数最大解：：由已知可得，所以，所以展开式共有8项，故错误；：二项式的展开式的第3项为，故正确；：展开式中各项系数绝对值的和为二项式的展开式中各项系数和，令，则展开式中各项系数绝对值的和为，故正确；：因为展开式共有8项，所以第4项或第5项的二项式系数最大，故正确．故选：．（多选）10．（6分）已知函数在处有极值，则A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D．解：因为函数在处有极值，可得，有（1），得和，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故选项正确；可得是极小值点，是极大值点，计算极小值：，但这是极小值而非极大值．选项错误；设切点横坐标为，需满足（a）且（a），解方程：（a）或，验证函数值：仅时满足，故直线是切线，选项正确；计算函数值：，，求和：．选项正确．故选：．（多选）11．（6分）记为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，设点到的准线的距离为，，，延长交于点，则A．点的纵坐标为 B． C． D．△的面积为解：抛物线，焦点，准线，由，设，，则，且，代入化简得，，故错误；取，直线方程，与抛物线联立得，解得，用距离公式算，故正确；，，说明和均为钝角，和大于，故正确；已知，，，利用三角形面积公式，而选项中面积为，与计算结果不符，故错误．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则2．解：因为，所以，则．故答案为：2．13．在三棱台中，△是正三角形，，，平面平面，则三棱台的体积为．解：因为在三棱台中，△是正三角形，又，，平面平面，所以该三棱台的高为，又上下底面正三角形的面积分别为，，所以三棱台的体积为．故答案为：．14．我们知道，凡是能够表示成两个整数的商的数称为有理数，请你根据所学知识将下列两个循环小数化成最简分数，；．解：设，则：；设，则：，，．故答案为：，．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）记△的内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）延长至，使，，，求的值．解：（1）由，整理可得：，由余弦定理可得，所以，在△中，，则；（2）因为，所以，则△是正三角形，在△中，由正弦定理可得：，即，因为，即，可得，所以，整理可得：，所以．16．（15分）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，在第一象限．（1）若轴，求的离心率；（2）若关于直线的对称点恰好是的上顶点，记为，，求△的周长．解：（1）设椭圆的焦点为，那么，代入方程中，可得，在直角三角形中，，有，所以．（2）根据题意得，三角形是正三角形，那么，，设直线，联立，得，令，，，，所以，，，整理得，即，，根据对称性得，，所以△与△的周长相等，由椭圆的定义知，△的周长为，所以△的周长为8．17．（15分）已知三棱柱的所有棱长均相等，，且棱柱的体积为．（1）求证：平面平面；（2）求；（3）求二面角的正弦值．解：（1）证明：设，连接，四边形为菱形，所以，又，，则，所以，因为，所以平面，平面，所以平面平面．（2）过点作，垂足为，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，三棱锥的体积是三棱柱的倍，所以三棱锥的体积是，再由，得，所以，解得．（3）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，可知轴在平面内．则，1，，，，，，，，则，，，设平面的法向量，，，由，可得，可取，设平面的法向量，，，由，可得，可取，所以，则，所以二面角的正弦值为．18．（17分）一款趣味闯关游戏的规则如下：准备张背面完全相同的卡片，正面依次标上1，2，3，，的数字，随后将卡片背面朝上，随机摆放在游戏桌上．参与闯关的选手每次翻开一张卡片，若卡片上的数字是当前所有背面朝上卡片中的最小值，就取走该卡片；若不是，则记住卡片数字后将其背面朝上放回原位，以保证翻卡片的次数尽可能少，继续翻找背面朝上卡片中的最小值取走．如此反复，直至按从小到大的顺序取走全部张卡片，游戏结束．游戏结束时的翻卡总次数记为（同一卡片多次翻开也会重复计数，翻回不计次数）．（1）若，求；（2）若．求的分布列与期望；规定：时选手晋级，时选手重新闯关一次（直到分出淘汰或晋级），时选手淘汰，求选手多次闯关最终晋级的概率．解：（1）由题意得，当时，可取2，3，当，则12，共1种情况；当，则212，共1种情况．所以；（2）依题意当时，可知随机变量可取4，5，6，7，当翻卡4次：1234，共1种情况；当翻卡5次：12434，13234，14234，21234，31234，41234，共6种情况；当翻卡6次：134234，143234，212434，231234，241234，314234，321234，341234，413234，421234，431234，共11种情况；当翻卡7次：2341234，2431234，3241234，3421234，4231234，4321234，共6种情况；所以事件空间共有24种情况，则，，，的分布列为：4567则；记选手闯关最终晋级为事件，第一次闯关后晋级为事件，第一次闯关后重新闯关为事件，第一次闯关后淘汰为事件，所以，，在重赛后最终晋级，则有，（B），由于，则（B），，所以，故选手最终晋级的概率为．19．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恰有两个零点，，且．求的取值范围；（ⅱ）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．解：（1）由于函数的定义域为，因此导函数，当时，，，在上单调递增；当时，，在上单调递增，，，函数在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增．（2）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且，，令，显然（a）在上单调递减，（1），所以，又因为，，所以在和上各有一个零点，且，．综上所述，．证明：，所以恒成立，当时，不能恒成立，所以，由均值不等式知：，且时等号成立，所以，得，此时，因为，所以，整理得，即，可得，所以，由（1）得，．——————————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有80个教研群（2个管理群、20个高中总群，51个分省群，4个教材主题研讨群、3个初中群），共约20000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初中、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的初、高中数学教研！特别说明：