【试卷】【第049套】2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）

第1页（共1页）2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知复数满足为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，若，且，则A．72 B．108 C．120 D．1444．已知，为单位向量，且，则A． B．2 C． D．45．已知，，则A． B． C． D．26．已知随机变量，且，则的最小值为A．9 B．8 C． D．67．若函数有6个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为A． B．或 C．或 D．或二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列说法正确的是A．两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，2，3，，则 B．已知变量，的对样本数据，，，，，，，，变量，的线性回归方程为，若，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的分位数为135（多选）10．（6分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则A．△的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点是椭圆上的任意一点，点是圆上的任意一点，则的最大值为（多选）11．（6分）已知函数，则A．函数的值域为 B．函数在处的切线方程为 C．若函数的图象关于点对称，则点的坐标为 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式的展开式中含项的系数为．13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，△的面积为，则实数的值为．14．已知直线与曲线相切，则．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在△中，若（A），，且△的面积为，求．16．如图所示，在四面体中，平面，是的中点，，分别在线段，上，且，．（1）求证：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为1．（1）求的标准方程．（2）若点，是上第一象限的动点，过点，作直线不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）．证明：．若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．19．“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．（1）求的值；（2）随机变量的分布列和期望；（3）求．

2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BADCABDC二．多选题（共3小题）题号91011答案ABBCDACD一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则A． B． C． D．解：由，解得，故集合，由，得，解得，故集合，所以．故选：．2．已知复数满足为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．解：由题意可知，，因此，故的虚部为．故选：．3．已知等差数列的前项和为，若，且，则A．72 B．108 C．120 D．144解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，解得，由等差数列的求和公式可得，．故选：．4．已知，为单位向量，且，则A． B．2 C． D．4解：已知，为单位向量，且，则，即，所以，因此，即．故选：．5．已知，，则A． B． C． D．2解：已知，得，等式两边同时除以，得，即，又，所以，所以．故选：．6．已知随机变量，且，则的最小值为A．9 B．8 C． D．6解：随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，，，解得，当时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．故选：．7．若函数有6个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．解：当时，，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．又，（4），，所以在和上各有1个零点；又因为有6个根，所以当时，有4个零点，又因为，所以，由题意可得，解得．所以实数的取值范围是．故选：．8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为A． B．或 C．或 D．或解：如图，设圆柱的底面半径为，高为，圆锥底面半径为，由圆锥的轴截面是正三角形，得圆锥的高为，由△△，得，解得，由圆柱与圆锥的侧面积之比为，得，即，解得，或．又，当时，；当时，．圆柱与圆锥的体积之比为或．故选：．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列说法正确的是A．两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，2，3，，则 B．已知变量，的对样本数据，，，，，，，，变量，的线性回归方程为，若，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的分位数为135解：对于，因为，2，3，，，，所以，即，故正确；对于，因为线性回归方程过点，所以，解得，故正确；对于，因为，所以，所以，故错误；对于，由，所以这8次数学成绩的分位数为，故错误．故选：．（多选）10．（6分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则A．△的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点是椭圆上的任意一点，点是圆上的任意一点，则的最大值为解：因为椭圆中，，，，作出示意图如下：对于，若直线经过点，如图一，则△的周长为，若直线不经过点，如图二，则△的周长为，故错误；对于，也过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短为，故正确；对于，显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，，，联立方程，得，则，解得，所以直线的方程为，即，故正确；对于，设，，圆心，所以，因为，所以当时，取得最大值为，此时取得最大值为，故正确．故选：．（多选）11．（6分）已知函数，则A．函数的值域为 B．函数在处的切线方程为 C．若函数的图象关于点对称，则点的坐标为 D．解：，，，，则，即的值域为，故正确；由，得，，又，则在处的切线方程为，即，故错误；设点，由函数关于点中心对称，可得，即，则，则解得，，即点的坐标为，故正确；由的图象关于点对称，知，设，则，又，可得，即，因此，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式的展开式中含项的系数为720．解：二项式的展开式的通项公式为，令，得，所以所求的系数为720．故答案为：720．13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，△的面积为，则实数的值为3．解：易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，由得，设，、，，则△，由韦达定理可得，，所以，即，①因为，即，②．由①②得，，所以．故答案为：3．14．已知直线与曲线相切，则．解：由，得，设切点坐标为，，由导数的几何意义得，又点，既在直线上又在曲线上，所以，联立和，消去，得，令，则恒成立，即函数在上单调递增，又（1），所以，得到．故答案为：．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在△中，若（A），，且△的面积为，求．解：（1）由题意，，，则，所以，由，可得，，所以的增区间为；（2）由（A），得，因为，所以，所以，即，因为，所以，因此，又，所以，即，所以，即．16．如图所示，在四面体中，平面，是的中点，，分别在线段，上，且，．（1）求证：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：如图，在线段上取一点，使，由已知，，且，在线段上取一点，使，由已知，，且，所以，且，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，且平面，所以平面．（2）由，，知．以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．又，得，0，，，0，，，，3，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．解：（1）由题意，函数的定义域为，则，当时，，则在上单调递减，当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）可知，当时在上单调递增，在上单调递减，所以，要证，即证，因为，因此只需证，设，，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以（1），所以当时，，从而命题得证．18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为1．（1）求的标准方程．（2）若点，是上第一象限的动点，过点，作直线不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）．证明：．若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．解：（1）根据题目；已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为1．可知，可得，双曲线的渐近线方程为，即，点到其渐近线的距离为，所以，，因此，双曲线的方程为．（2）证明：因为，是上第一象限的动点，则，可得且，易知点、，所以，，由双曲线的定义可得，所以，，先证明出双曲线在点处的切线方程为，联立可得，整理可得，解得，所以，双曲线在点处的切线方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，且，所以，，因此，；如下图所示：直线的斜率为，因为，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，联立直线和直线的方程，可得，解得，点在定直线上．19．“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．（1）求的值；（2）随机变量的分布列和期望；（3）求．解：（1）由题意可得，解得．（2）由已知可得随机变量的所有可能取值为0，1，2，则，，已知，所以，，，所以随机变量的分布列如下表所示：012期望．（3），又，所以，所以，因为，所以，．——————————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有80个教研群（2个管理群、20个高中总群，51个分省群，4个教材主题研讨群、3个初中群），共约20000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初中、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的初、高中数学教研！特别说明：