天津市部分学校2026届高一数学第二学期期末统考试题含解析

天津市部分学校2026届高一数学第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车费与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重3．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．34．设等差数列的前项和为，，，则（）A． B． C． D．5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A． B． C． D．7．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件8．已知是锐角，那么2是()A．第一象限 B．第二象限C．小于的正角 D．第一象限或第二象限9．不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．1 B． C． D．10．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是_____．12．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为13．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.14．关于的方程（）的两虚根为、，且，则实数的值是________.15．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．16．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，，.（1）求的最小值及相应的t的值；（2）若与共线，求实数m.18．设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由19．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．20．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.21．如图，在平面四边形中，，，的面积为．⑴求的长；⑵若，，求的长．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.【详解】根据三视图还原直观图，如图所示：几何体的表面积为：故答案选C【点睛】本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.2、D【解析】

根据函数的概念来进行判断。【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。故选：D。【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。3、B【解析】

x，y，z为正实数，且，根据基本不等式得，当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时，取得最大值1,此时，,当时,取最大值1，的最大值为1,故选B.4、A【解析】

利用等差数列的基本量解决问题.【详解】解：设等差数列的公差为，首项为，因为，，故有，解得，，故选A.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.5、C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．6、B【解析】

先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。7、D【解析】

根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8、C【解析】是锐角,∴，∴是小于的正角9、D【解析】

画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10、D【解析】

首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【详解】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、．【解析】

根据题意可知，，从而得出，再由，即可求出的取值范围．【详解】解：由题意可知，，且，，，，或，故的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷等比数列的极限和，属于基础题．12、【解析】

试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．13、【解析】

根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，则，故，又因为是奇函数，所以，则.【点睛】（1）形如的函数是周期函数，周期；（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.14、5【解析】

关于方程两数根为与，由根与系数的关系得：，，由及与互为共轭复数可得答案．【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：，，由与为虚数根得：，，则，解得，经验证，符合要求，故答案为：．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．15、3x＋4y－14＝0【解析】由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.16、【解析】

第行有个数知每行数的个数成等比数列，要求，先要求出，就必须求出前行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求出，令，即可求出.【详解】由第行有个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是，公比是，所以，前行共有个数，所以，第行第一个数为，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）时，最小值为；（2）.【解析】

(1)利用向量的模长公式计算出的表达式然后求最值.

(2)先求出的坐标，利用向量平行的公式得到关于m的方程，可解得答案.【详解】（1）∵，

∴当时，取得最小值.（2）.∵与共线，∴，则.【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.18、（1）①是，②不是,理由见解析（2）证明见解析（3）存在，证明见解析【解析】

（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；

（2）根据题意找出符合条件的为等差数列即可；

（3）首先，根据，将公差表示出来，计算任意相邻两项的差值可以发现不大于．那么用裂项相消的方法表示出，结合相邻两项差值不大于可以得到，接下来，只需证明存在满足条件的即可．用和公差表示出，并展开可以发现多项式的最高次项为，而已知，因此在足够大时显然成立．结论得证.【详解】解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”

取分别为1，3，5，7，9，11，13即可；

数列②2，，，，不是“弱等差数列”

否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数构成等差数列，设公差为，

，

，又与矛盾，所以数列②2，，，，不是“弱等差数列”；

（2）证明：设，

令，取，则，

则，

，

，

就有，命题成立．

故数列为“弱等差数列”；（3）若存在这样的正整数，使得

成立．

因为，，

则，其中待定．

从而，

又，∴当时，总成立．

如果取适当的，使得，又有

所以，有

，

为使得，需要，

上式左侧展开为关于的多项式，最高次项为，其次数为，

故，对于任意给定正整数，当充分大时，上述不等式总成立，即总存在满足条件的正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”.【点睛】本题要求学生能够从已知分析出“弱等差数列”要想成立所应该具备的要求，进而进行推理，转化，最后进行验证，本题难度相当大.19、海里【解析】

在中，利用正弦定理可求得BP的长，在直角三角形中，利用勾股定理，可求P、C间的距离．【详解】在中，，，，由正弦定理知得，∴.在中，，又，∴，∴可得P、C间距离为（海里）【点睛】本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查将实际问题转化为数学问题，可把条件和问题放到三角形中，利用正弦定理及勾股定理求解．20、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.【解析】

（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.【详解】（1）∴，的最大值为.（2）由（1）得，∵，.，当时，即时，取最小值0.当，即时，取最大值.【点