分式的乘除法（第1课时）-八年级数学下册（北师大版）教学设计

分式的乘除法（第1课时）——八年级数学下册（北师大版）教学设计

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本节课“分式的乘除法”是北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》的核心内容。在此之前，学生已经学习了整式的运算、因式分解以及分式的意义、基本性质与约分、通分。【基础】这些知识为本节课的学习奠定了坚实的基础。分式的乘除法是分式运算的重要组成部分，它不仅是后续学习分式的加减法、分式方程、分式的混合运算的基础，更是解决现实生活中许多涉及比例、工程、效率等问题的数学模型工具。【重要】掌握好本节课的内容，对于学生构建完整的数与式的运算体系，提升代数运算能力和逻辑推理能力具有至关重要的意义。它实现了从整式运算到分式运算的跨越，是学生数感与符号意识发展的关键节点。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：理解并掌握分式的乘除法运算法则；能够熟练、准确地进行分式的乘除法运算。【非常重要】【高频考点】

2.教学难点：在运算过程中，能准确识别并运用因式分解对分子、分母进行预处理，以实现结果的约分，从而得到最简分式或整式。【难点】特别是当分式的分子、分母是多项式时，如何正确、完整地进行因式分解，并找到公因式进行约分，是学生最容易出错的地方。

二、教学目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，结合本节课的具体内容，制定如下教学目标：

1.知识与技能目标：学生能类比分数的乘除法法则，归纳并理解分式的乘除法法则。能运用法则进行分式的乘除运算，并能将结果化为最简分式或整式。【基础】

2.过程与方法目标：经历探索分式乘除法法则的过程，体会类比思想在数学学习中的作用。通过例题和练习，掌握将因式分解作为运算工具的策略，培养化繁为简的运算能力和严谨的代数推理习惯。【重要】

3.情感态度与价值观目标：在自主探究与合作交流中，感受数学知识的内在联系和逻辑性，增强学习数学的自信心。通过分式运算的简洁美，培养对数学学科的兴趣和严谨求实的科学态度。

三、教学准备

教师准备好精心设计的PPT课件，课件中应包含清晰的例题演示步骤、变式训练以及因式分解的关键提示。学生需提前复习因式分解的常用方法（提公因式法、公式法）以及分式约分的依据和步骤。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，温故知新

【教师活动】教师通过大屏幕展示一个实际情境问题：“一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b。当容器内的水面高度为h时，水的体积是多少？”引导学生列出式子表示水的体积。随后，将问题中的数据稍作调整，将底面长和宽分别用分式表示，例如长为(2/x)米，宽为(3/y)米，求底面面积。引导学生列出分式乘法算式：(2/x)×(3/y)。同时，复习分数的乘除法法则，提出问题：“分数是如何进行乘除运算的？你能举出例子吗？那么，与分数形式相似的‘分式’，又该如何进行乘除运算呢？”从而自然引出本节课的课题。

【学生活动】学生思考并回答分数的乘除法法则：分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，等于乘以除数的倒数。并尝试猜想分式的乘除法法则。

【设计意图】从学生熟悉的情境和旧知出发，利用类比思想，降低新知识学习的难度，激发学生的探究欲望。情境问题的设置体现了数学来源于生活又服务于生活的理念。

（二）类比探究，形成法则

【教师活动】教师引导学生将分数的乘除法法则推广到分式中。板书：

1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示为：b/a×d/c=bd/ac。

2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：b/a÷d/c=b/a×c/d=bc/ad。

强调：这里的字母a、b、c、d均表示整式，且a、c、d均不为0，保证分式有意义。

【学生活动】学生通过类比，尝试用自己的语言描述分式的乘除法法则，并理解法则中“颠倒相乘”的含义。

【设计意图】通过类比归纳，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力。明确法则的数学表达形式，为后续应用奠定基础。

（三）例题精讲，夯实基础（重点突破）

本环节通过由浅入深的例题，引导学生掌握法则的应用，特别是运算结果的化简。

1.基础应用：单项式乘除单项式

例题1：计算

（1）(4x/3y)·(y/2x³)【基础】

（2）(2ab²)/(3c²)÷(6a²b)/(c)【重要】

【教师活动】详细板书（1）的步骤：

解：(4x/3y)·(y/2x³)=(4x·y)/(3y·2x³)(根据乘法法则)

=(4xy)/(6x³y)(分子、分母分别相乘)

=(2·2·x·y)/(2·3·x·x²·y)(对系数和字母进行分解)

=2/(3x²)(约去公因式2xy，得到最简分式)

强调：运算的第一步是“看”，看清是乘法还是除法；第二步是“算”，根据法则进行计算；第三步是“化”，对结果进行约分，化为最简形式。鼓励学生可以先将系数、相同字母的指数分别相乘，再约分，也可以先约分再相乘，后者更为简便。

对于（2），重点演示除法转化为乘法的过程，并强调转化后除式的分子分母位置已经颠倒。

解：(2ab²)/(3c²)÷(6a²b)/(c)=(2ab²)/(3c²)×(c)/(6a²b)(除法变乘法，除式颠倒)

=(2ab²·c)/(3c²·6a²b)(按乘法法则运算)

=(2ab²c)/(18a²bc²)(分别相乘)

=(1)/(9ac)(约去公因式2ab²c)

【学生活动】学生在练习本上尝试计算，并对比、体会两种计算路径的优劣。

【设计意图】通过规范的板书示范，让学生掌握规范的解题格式。强调“先约分再相乘”的策略，可以有效简化计算，避免大数运算，是提高运算速度和准确率的关键。

2.能力提升：多项式乘除多项式（难点突破）

例题2：计算

（1）(a²-4)/(a²-4a+4)·(a-2)/(a+2)【非常重要】【高频考点】【难点】

（2）(x²-1)/(x²-2x+1)÷(x+1)/(x-1)【非常重要】【高频考点】【难点】

【教师活动】引导学生观察（1）中分子与分母的结构特点：它们不是单项式，而是多项式。此时不能直接进行约分或相乘，必须先对多项式进行因式分解。

详细板书（1）的步骤：

解：原式=[(a+2)(a-2)]/[(a-2)²]·(a-2)/(a+2)(首先，对能分解的多项式进行因式分解)

=[(a+2)(a-2)·(a-2)]/[(a-2)²·(a+2)](分子、分母分别相乘，此时暂不乘开)

=[(a+2)·(a-2)·(a-2)]/[(a-2)²·(a+2)](观察公因式)

=1(分子中的(a+2)和(a-2)²与分母完全相同，约分后结果为1)

特别强调：①因式分解是进行多项式分式运算的前提和工具，必须做到“先分解，后运算”。【重要】②约分是在整个乘法算式中进行，是分子和分母整体约去公因式，而不是局部约分。③结果必须是最简的，此处结果为1（整式），要特别指出，当分子分母完全相同（均不为0）时，其值为1。

对于（2），由学生独立完成，一名学生板演，集体点评。

解：原式=[(x+1)(x-1)]/[(x-1)²]÷(x+1)/(x-1)

=[(x+1)(x-1)]/[(x-1)²]×(x-1)/(x+1)(除法变乘法)

=[(x+1)(x-1)·(x-1)]/[(x-1)²·(x+1)](分子分母分别相乘)

=1

【学生活动】学生尝试对多项式进行因式分解，并按照法则进行计算。在小组内交流自己的解题过程和结果，讨论因式分解的准确性和约分的彻底性。

【设计意图】此环节是突破本节课难点的关键。通过教师的引导和示范，使学生深刻认识到因式分解在分式乘除运算中的核心作用。通过变式训练，强化学生的“先分解，后运算”的意识，提高对多项式结构的敏感度和因式分解的熟练度。

（四）巩固练习，内化提升

【教师活动】教师出示一组分层练习题，供学生自主选择，进行针对性训练。

A组（基础巩固）：

1.计算：(3a)/(2b)·(4b²)/(9a²)

2.计算：(5x²y)/(3z)÷(10xy)/(9z²)

B组（能力拓展）：

3.计算：(m²-4n²)/(m²-4mn+4n²)·(m-2n)/(m+2n)

4.计算：(x²-2x+1)/(x²-1)÷(x-1)/(x²+x)

C组（思维挑战）：

5.先化简，再求值：[(x²-4)/(x²-4x+4)]÷[(x+2)/(x-1)]·[(x-2)/(x+1)]，其中x=3。

6.若分式(x²-1)/(x-1)÷(x²+2x+1)/(x+2)的值为0，求x的值。

【学生活动】学生独立完成练习，教师巡视，个别辅导。对于共性问题，如因式分解不彻底、符号处理错误等，集中进行点拨和强调。

【设计意图】分层练习满足不同层次学生的需求，使每位学生都能在原有基础上得到发展。C组题目将化简求值与方程思想结合，提升了思维含量，为后续学习做铺垫。

（五）课堂小结，构建体系

【教师活动】引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结。

1.知识层面：本节课学习了什么内容？（分式的乘除法法则）

2.方法层面：进行分式乘除运算的一般步骤是什么？（一观（察结构）、二化（除法变乘法）、三分（解因式）、四算（按法则乘）、五约（分））。【非常重要】

3.思想层面：本节课我们用到了哪些数学思想？（类比思想、转化思想、整体思想）

【学生活动】学生积极回顾，踊跃发言，与教师共同完成课堂小结。

【设计意图】帮助学生梳理知识脉络，提炼解题策略，感悟数学思想，将零散的知识点串联成线，构建系统的知识体系。

（六）布置作业，延伸课外

1.必做题：课本课后习题，重点完成涉及多项式乘除的题目。

2.选做题：查阅资料，寻找一个可以用分式乘除运算解决的实际问题（如：工作效率问题、图形面积问题等），并尝试解决。

3.思考题：分式的乘方运算与乘除法运算有何联系？尝试猜想分式乘方的运算法则，并举例验证你的猜想。

【设计意图】作业布置兼顾基础性与拓展性。选做题旨在培养学生应用意识和实践能力。思考题为下一节内容埋下伏笔，引导学生自主预习。

五、板书设计

（左侧）（中间）（右侧）

§5.2分式的乘除法

一、法则

1.乘法：b/a×d/c=bd/ac

2.除法：b/a÷d/c=b/a×c/d=bc/ad

二、核心步骤

1.除变乘（颠倒相乘）

2.多项式分解因式

3.约分（化为最简）

三、注意

结果要最简

保证分母不为0

例题1（1）板书区学生练习板演区

例题1（2）板书区

例题2（1）详细步骤

例题2（2）简要步骤

六、教学反思（预设）

本节课的设计，力求体现以学生为