人教版九年级数学下册《27.1 图形的相似》同步教案

人教版九年级数学下册《27.1图形的相似》同步教案

一、教材与学情分析

（一）教材内容与地位分析

本节《图形的相似》选自人教版九年级数学下册第二十七章《相似》的第一节，是整个相似知识体系的奠基之石。从教材编排的逻辑结构看，学生在之前已经系统学习了全等三角形，掌握了图形“完全重合”这一特殊关系，并具备了初步的几何变换（平移、旋转、轴对称）观念。本节将学生的认知从“形同量等”的全等，拓展到“形同量成比例”的相似，实现了几何观念的一次重要飞跃。

相似是现实生活中广泛存在的一种数学关系，是连接初等几何与比例、函数、三角函数乃至高等数学中线性变换的重要桥梁。它不仅是后续学习相似三角形的判定与性质、位似图形、锐角三角函数的知识基础，也是学生在物理学科中理解光学成像、力学作图，在美术中掌握透视原理，在地理中解读比例尺地图的跨学科工具。因此，本节内容具有极强的基础性、应用性和生长性。

教材通过观察大小不同的地图、照片等实物图片引入相似图形概念，然后聚焦于相似多边形，严格定义其数学内涵，并引导学生探究相似多边形的本质属性——对应角相等，对应边成比例。其设计思路遵循了从生活实例到数学抽象，从感性认识到理性定义，从整体感知到核心性质探究的认知规律。

（二）学情现状与认知起点

九年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，其认知特点如下：

1.知识储备：学生已经牢固掌握了全等三角形的概念和判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS），对“形状相同”有直观感受。同时，他们精通比例的基本性质、线段的比及成比例线段等相关知识，这为理解“对应边成比例”做好了充分准备。

2.思维能力：学生具备一定的观察、比较、归纳和概括能力，能够从具体实例中寻找共同特征。但将直观的“形状相同”精确地转化为“角相等、边成比例”的数学语言，并理解两者之间的逻辑等价关系，可能存在思维跨度。

3.潜在障碍：

1.4.概念混淆：容易将“相似”与“全等”混淆，认为全等是相似的一种，但忽略全等是相似比为1的特例，反之则不成立。

2.5.对应关系识别困难：在复杂的多边形中，准确、有序地找出所有对应顶点、对应角和对应边，是学生面临的第一个操作难点。

3.6.符号语言理解：相似符号“∽”的引入及其书写规范（对应顶点顺序）需要强化训练。

4.7.性质与判定的逆向思考：从定义（性质）出发去判断图形是否相似，是一个逆向应用的过程，部分学生可能不适应。

（三）教学支持条件分析

为突破难点，实现高效教学，将综合利用以下条件：

1.技术工具：几何画板（动态演示图形放大缩小过程，实时测量角度与边长，验证猜想）、多媒体课件（展示丰富的生活实例与艺术作品）。

2.教具与学具：不同比例尺的中国地图、一组形状相同大小不同的三角形与四边形卡片、坐标纸、刻度尺、量角器。

3.学习环境：采用小组合作学习的方式，便于学生开展观察、讨论与探究。

二、素养导向的教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，结合教材与学情，制定以下三维融合的核心素养目标：

【数学抽象与几何直观】

1.通过观察大量生活、艺术和科学中的实例，抽象出“形状相同”图形的共同特征，经历相似图形概念的生成过程，建立清晰的相似图形表象。

2.能从复杂的图形中准确识别出相似图形，并能举出生活中的相似实例，发展几何直观和空间观念。

【逻辑推理与数学建模】

3.理解相似多边形的数学定义，能准确表述“对应角相等，对应边成比例”这一核心特征，并能够用此定义判断两个多边形是否相似。

4.通过测量、计算、猜想、验证等数学活动，自主探究并归纳出相似多边形的本质性质，初步体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

【数学运算与数据分析】

5.能熟练计算相似比，理解相似比与图形大小的关系，并能根据已知相似比和一组对应边长求解其他未知边长。

6.在解决涉及相似图形的简单实际问题（如地图比例尺、模型缩放）中，建立数学模型，进行精确计算。

【情感态度与价值观】

7.感受相似图形在现实世界中的普遍性与和谐美，体会数学的抽象力量和应用价值，激发学习兴趣和探究欲望。

8.在小组合作探究中，养成严谨求实、合作交流的科学态度。

三、教学重难点

1.教学重点：相似多边形的定义及其核心性质（对应角相等，对应边成比例）。

2.教学难点：

1.3.从感性描述的“形状相同”到理性定义的“角相等、边成比例”的数学化过程。

2.4.在复杂图形中准确、有序地确定对应点、对应角、对应边。

3.5.相似多边形定义的双向应用：既是判定依据，也是根本性质。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含丰富图片、几何画板动态文件）、不同比例尺地图、大小不同的相似多边形卡片套组、课堂检测题卡。

2.学生准备：预习教材P24-26，准备直尺、量角器、坐标纸、练习本。

五、教学过程实施（核心环节）

第一课时：感知相似，建构概念

环节一：创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

1.视觉震撼，生活发现：

1.2.教师播放一组精心挑选的图片：同一人在不同距离拍摄的照片（特写与全身）、中国地图与各省地图、不同型号的国旗、一组埃菲尔铁塔的模型与实景图、蜂巢的局部与整体显微图。

2.3.提问：“请同学们观察这组图片，你能发现其中每组的两个图形之间有什么共同关系吗？”（引导学生说出“形状一样，大小不同”）

3.4.追问：“在我们的生活中，你还能找到哪些具有这种关系的物体或图形？”（学生可能回答：放大镜下的文字、电影银幕与胶片画面、不同尺寸的手机模型、相似商标等）

5.数学聚焦，揭示课题：

1.6.教师总结：“像这样，形状相同而大小不一定相等的图形，在数学上我们给它一个专门的名字——相似图形（板书）。今天，我们就一起走进奇妙的相似世界。”

2.7.优化标题呈现：正式亮出本节课题《27.1图形的相似——从全等到相似的思维跃迁》。

环节二：操作对比，明晰内涵（预计时间：15分钟）

1.活动一：辨一辨——哪些是相似图形？

1.2.课件出示：一组几何图形，包括：

(1)两个半径不同的圆。

(2)两个边长不同的正方形。

(3)一个正方形和一个菱形（内角非90度）。

(4)两个三边长度比例不同的三角形。

(5)两片形状不同的枫叶。

2.3.小组讨论：判断哪些是相似图形，并说明理由。重点争论(1)(3)(5)。

3.4.引导归纳：

1.4.5.对于(1)和(2)，学生易判断。教师强调：所有圆都相似，所有正方形都相似。它们是“一类图形”自身的相似。

2.5.6.对于(3)，引发冲突：菱形也有四条等边，为什么和正方形不相似？通过叠合或测量角度，发现对应角不相等。初步感知：形状相同，角是关键。

3.6.7.对于(5)，学生意见不一。教师引导：树叶边缘曲线复杂，我们如何精确判断？引出需要研究更规则、更基础的图形——多边形。

8.活动二：量一量——探究相似多边形的秘密

1.9.分发学具：每组两个形状相同、大小不同的四边形卡片（例如，一个长3cm宽2cm的长方形和一个长6cm宽4cm的长方形）。

2.10.任务驱动：

1.3.11.任务1：用量角器测量两个四边形的各个内角，记录数据。你发现了什么？（对应角相等）

2.4.12.任务2：用刻度尺测量两个四边形的各条边长，记录数据。计算大四边形各边与小四边形对应边的比值。你发现了什么？（对应边的比值相同）

5.13.小组汇报：各组分享测量与计算结果。

6.14.教师几何画板验证：在屏幕上任意拖动一个四边形的顶点，动态生成与之相似的四边形，软件实时显示各组对应角度数始终相等，对应边比值始终保持不变。强化认知：对于多边形，形状相同（相似）的数学本质是——对应角相等，对应边成比例。

环节三：提炼定义，规范表达（预计时间：12分钟）

1.给出严谨定义：

1.2.教师引导学生用自己的语言总结发现，然后出示教材中的精确定义：

“两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。”

2.3.解读定义关键词：“边数相同”是前提，“对应角相等”、“对应边成比例”是必须同时满足的两个条件。缺一不可。

4.引入相似符号与相似比：

1.5.符号：类比全等符号“≌”，引入相似符号“∽”。强调书写时要注意对应顶点顺序。例如，四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似，记作：四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’。

2.6.相似比（相似系数）：

1.3.7.概念：相似多边形对应边的比称为相似比（或相似系数）。

2.4.8.关键点拨：

(1)相似比有顺序性。若四边形ABCD与A’B’C’D’的相似比为k，则A’B’C’D’与ABCD的相似比为1/k。

(2)当相似比k=1时，相似图形即变为全等图形。因此，全等是相似的特例。用集合图表示二者关系。

5.9.巩固练习（口答）：

(1)已知△ABC∽△DEF，则∠A=∠__，AB/DE=__/EF。

(2)若五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’，且相似比为3:2，则这两个五边形中，较大的一个是哪个？它们的对应角有什么关系？

环节四：初步应用，深化理解（预计时间：5分钟）

1.例题解析（课本例题变式）：

1.2.如图，矩形草坪长20m，宽10m。现需在其内部规划一个形状相同的小矩形花坛。若小矩形花坛的长为8m，求其宽。

2.3.引导学生分析：形状相同→两个矩形相似→对应边成比例。

3.4.板书规范解题过程，强调设未知数、列比例式、检验的步骤。

5.课堂小结（学生主导）：邀请学生分享本节课的收获（知识、方法、感受）。教师用思维导图形式梳理：生活实例→直观感知→操作探究→数学定义（对应角相等、对应边成比例）→符号表示→初步应用。

第二课时：探究性质，综合应用

环节一：温故知新，问题导入（预计时间：5分钟）

1.知识快问快答：

1.2.相似多边形的定义是什么？（两个条件）

2.3.若△ABC∽△DEF，相似比为2，且AB=4，则DE=？

3.4.全等与相似有何关系？

5.提出深层问题：

1.6.“上节课我们知道，根据定义可以判断两个多边形是否相似。但定义要求我们同时验证‘角等’和‘边成比例’，操作上有时比较繁琐。对于某些特殊的多边形，比如三角形，是否存在更简便的判定方法呢？”（此为下节课伏笔）

2.7.“今天，我们首先来更深入地探究相似多边形除了定义之外，还有哪些重要的性质。”

环节二：探究性质，发展思维（预计时间：20分钟）

1.性质探究一：周长比与相似比的关系

1.2.猜想：两个相似多边形的周长之间有什么关系？

2.3.探究活动：各小组任选一对相似多边形（如三角形、四边形），测量或设定边长，分别计算它们的周长，再求周长比。将结果与相似比进行比较。

3.4.发现与证明：学生发现周长比等于相似比。

1.4.5.教师引导代数推导：设多边形A与A’相似，相似比为k。则A’的各边长为A对应边的k倍。因此，A’的周长=k×(A的周长)。即相似多边形周长的比等于相似比。

5.6.几何画板动态验证：改变相似比k，软件实时显示两个相似多边形周长数值及其比值，始终等于k。

7.性质探究二：面积比与相似比的关系

1.8.猜想：两个相似多边形的面积比与相似比有什么关系？

2.9.特殊到一般：

1.3.10.步骤1：研究相似正方形。设小正方形边长为a，相似比为k，则大正方形边长为ka。计算面积比：(k²a²)/(a²)=k²。发现面积比等于相似比的平方。

2.4.11.步骤2：研究相似矩形。设小矩形长a宽b，相似比为k。则大矩形长ka宽kb。面积比：(k²ab)/(ab)=k²。猜想成立。

3.5.12.步骤3：推理一般多边形。教师引导：任何一个多边形可以分割成若干个三角形。如果两个多边形相似，那么我们可以将它们分割成个数相同、且分别对应的相似三角形组。由于每个相似三角形对的面积比是k²，那么整个多边形的面积比也是k²。

6.13.得出结论：相似多边形面积的比等于相似比的平方。

7.14.深度理解：为什么面积比是k²，而不是k？从“一维长度”到“二维面积”的度量，比例关系发生了平方。这为高中学习立体几何中相似体的体积比（k³）埋下伏笔。

环节三：综合应用，提升能力（预计时间：15分钟）

1.应用一：地图中的数学

1.2.问题：在一张1:50000的地图上，一个多边形湖泊的周长为24cm，面积为32cm²。求该湖泊的实际周长和面积。

2.3.学生分析：地图与实地是相似图形。比例尺1:50000即相似比k=1/50000。注意：实际图形是放大后的图形。

3.4.解：

实际周长=地图周长÷k=24cm×50000=1,200,000cm=12km。

实际面积=地图面积÷k²=32cm²×(50000)²=8×10^10cm²=8×10^6m²=8km²。

4.5.强调单位换算，并指出这是相似知识在地理学科中的典型应用。

6.应用二：设计中的缩放

1.7.问题：一个设计师设计了一个多边形Logo，其外轮廓周长为30cm，面积为45cm²。现需将其等比例放大，用于制作大型广告牌，要求放大后的Logo周长为9m。求：

(1)放大所用的相似比。

(2)放大后的Logo面积。

2.8.学生板演，教师点评。巩固周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的应用。注意单位统一。

环节四：链接艺术，跨学科拓展（预计时间：10分钟）

1.艺术中的相似——黄金分割与构图：

1.2.展示达·芬奇《维特鲁威人》、帕特农神庙正面图、蒙娜丽莎面部构图分析图。

2.3.讲解：在这些传世之作中，艺术家们大量运用了相似矩形和黄金分割比例（约0.618）来构建和谐的画面。画面中多个关键矩形之间往往是相似的，这种内在的数学结构赋予了作品永恒的美感。

3.4.活动：给出一个符合黄金分割的矩形（长宽比约为1.618:1），让学生在其内部画出最大的正方形，剩余部分又是一个小黄金矩形，感受相似矩形带来的韵律美。

5.课堂总结与升华：

1.6.教师总结本课知识脉络：定义→性质（周长比=相似比，面积比=相似比平方）→应用（测量、设计、艺术）。

2.7.哲学思考：相似，揭示了世界万物在变化中保持不变性（形状）的一种模式。从微观的晶体结构到宏观的天体运行，从人工的建筑设计到自然的生物形态，相似无处不在。数学，正是我们理解这种宇宙秩序的语言。

六、板书设计（持续建构）

主板书（左侧）

27.1图形的相似

一、相似多边形定义

1.边数相同

2.对应角相等

3.对应边成比例

（两者必须同时满足）

二、表示法

四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'

（注意顶点顺序）

三、相似比(k)

k=对应边之比

*顺序性：k_(A→B)=1/k_(B→A)*

*全等是k=1的特例*

四、重要性质

1.周长比=相似比k

2.面积比=相似比的平方k²

副板书（右侧）

1.例题区：解题步骤示范。

2.探究区：学生猜想、关键数据记录。

3.图示区：全等与相似关系集合图、黄金分割矩形示意图。

七、分层作业设计

1.【基础巩固】（必做，面向全体）

1.2.教材习题27.1：第1、2、3、4题。巩固定义与相似比计算。

2.3.判断：①所有等腰三角形都相似。（）②所有矩形都相似。（）③若两个多边形对应边成比例，则它们相似。（）（辨析概念）

3.4.已知两个相似五边形的相似比为3:5，其中较小五边形的周长为18cm，求较大五边形的周长。

5.【能力提升】（选做，面向中等及以上学生）

1.6.一块四边形空地ABCD，测得AB=20m,BC=30m,∠B=90°。现欲规划一个形状相同的四边形绿化区A‘B’C‘D’，其中A‘B’=12m。求绿化区的周长和面积。

2.7.查阅资