七年级数学下册第四章《三角形》第02讲 三角形中的高线、中线与角平分线教学设计（北师大版）

七年级数学下册第四章《三角形》第02讲三角形中的高线、中线与角平分线教学设计（北师大版）

一、教学内容分析

本节课是七年级数学下册第四章《三角形》的起始章节“认识三角形”中的核心内容，在整个三角形知识体系中占据着承上启下的关键地位。此前，学生已经学习了线段、角、垂线以及三角形的内角和、三边关系等基础【重要】知识，为本节课的学习做好了铺垫。本节课将深入三角形的内部，系统研究构成三角形框架的三条特殊线段——高线、中线、角平分线。这不仅是对已有几何概念的深化与应用，更是学生首次从“线段”的角度对三角形进行“解剖”式学习，标志着对平面图形认识从宏观把握走向微观分析，从静态观察走向动态研究。

从知识脉络上看，本节课所涉及的“三线”是后续学习三角形全等、相似以及等腰三角形“三线合一”【高频考点】【非常重要】等核心知识的基础。同时，三角形三条中线交于一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）、三条高线所在直线交于一点（垂心）的性质，为学生未来学习三角形的各种“心”埋下了伏笔，是构建完整三角形知识体系的逻辑起点。因此，本节课的教学，不仅要让学生掌握“三线”的定义和画法，更要引导他们在操作中感悟“交于一点”这一普遍规律，体会几何图形内在的和谐与统一之美。

二、教学目标设计

基于核心素养导向的课程改革理念，本节课的教学目标设定如下：

（一）知识与技能【基础】

1.理解三角形的高线、中线、角平分线的概念，能准确用符号语言进行表示。

2.掌握三角形三条高线、三条中线、三条角平分线（或其所在直线）分别交于一点的性质。

3.能准确地使用工具（三角板、量角器、刻度尺）画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的高线、中线和角平分线。

（二）过程与方法

1.通过观察、操作（折叠、画图）、猜想、验证等数学活动，经历“三线”性质的探究过程，积累探索几何图形性质的基本活动经验。

2.在画不同形状三角形的三线并进行对比分析的过程中，体会分类讨论、数形结合以及从特殊到一般的数学思想方法。

3.通过小组合作与交流，提升有条理地思考、表达以及归纳概括的能力。

（三）情感、态度与价值观

1.在探究活动中，感受几何图形的内在规律美与逻辑严谨性，激发学习数学的兴趣和探索精神。

2.通过小组合作，培养学生的团队协作意识和勇于质疑、乐于分享的科学态度。

3.通过介绍三角形“三心”的实际应用，体会数学来源于生活并服务于生活的价值。

三、教学重难点剖析

（一）教学重点

1.三角形的高线、中线、角平分线的概念及其性质。

2.会画任意三角形的三条高线、中线和角平分线。

（二）教学难点

1.钝角三角形两条短边上高的画法及垂足的确定【难点】。

2.理解三角形的三条高线（或所在直线）交于一点，并能区分不同三角形三条高线交点位置的差异。

四、学情与教法、学法分析

（一）学情分析

七年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们对新鲜事物充满好奇，具备了一定的动手操作能力和观察能力。在小学阶段，学生对三角形的高有过初步的、直观的感知（如画锐角三角形的高），但对“高线”作为一条“线段”的本质属性理解不够深刻，且对中线、角平分线缺乏系统认识。同时，学生对钝角三角形的认知存在思维定势，处理外部图形时经验不足，这成为本节课的学习难点。

（二）教法与学法

本节课采用“引导发现式”教学法与“动手实践、合作探究”的学习方式。教师作为课堂活动的组织者和引导者，通过创设问题情境，激发学生的认知冲突，引导他们在“做数学”的过程中主动建构知识。学生则通过“折一折、画一画、比一比、议一议”等系列活动，在自主探索与合作交流中，将直观感受上升为理性思考，从而突破重难点，发展几何直观与推理能力。

五、教学准备

（一）教师准备：多媒体课件（PPT）、几何画板软件、三角板、量角器、三种不同类型的三角形纸片（锐角、直角、钝角）各若干个。

（二）学生准备：刻度尺、三角板、量角器、剪刀、三种不同类型的三角形纸片（锐角、直角、钝角）各若干个。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，以旧引新

教师利用多媒体课件展示一组生活中的三角形图片：如斜拉索桥的钢索结构、屋顶的框架、金字塔的侧面等。引导学生观察并思考：“在这些三角形结构中，除了我们熟悉的边和角，工程师们还常常会添加一些特殊的线段来增强稳定性或进行测量。比如，从三角形的顶点向对边作垂线，或者连接顶点与对边的中点。你们知道这些线段在数学中叫什么名字吗？它们又有什么独特的性质呢？”通过贴近生活的情境导入，迅速吸引学生的注意力，并自然引出本节课的研究主题——三角形中的特殊线段。

（二）分层探究，建构概念

本环节将“三线”的探究分为三个既有联系又层层递进的层面，每个层面都遵循“定义建构——规范画法——性质发现”的逻辑路径。

1.探究一：三角形的高线

（1）唤醒旧知，初识“高”

教师提问：“在小学，我们已经认识过三角形的高。谁能用自己的话说一说，什么是三角形的高？”

学生回答后，教师引导其更精确地描述，并强调“顶点”、“对边”、“垂线”、“线段”等关键词。在此基础上，教师规范并板书三角形高线的定义：【重要】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

（2）动手操作，规范画法

教师示范锐角三角形一条高的画法：将三角板的一条直角边与BC边重合，另一条直角边过顶点A，画出垂线，标出垂足D，线段AD即为BC边上的高。并用符号语言表示：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC于点D（或∠ADB=∠ADC=90°）。

学生模仿，在自己准备的锐角三角形纸片上画出三条高。教师巡视指导，纠正画法。

（3）深入探究，分类讨论

①直角三角形的高：教师提问：“直角三角形也有三条高吗？它的三条高有什么特别之处？”引导学生画出直角三角形（如Rt△ABC，∠C=90°）的三条高。学生通过画图发现：两条直角边本身就是高线（AC是BC边上的高，BC是AC边上的高），而斜边上的高在三角形内部。三条高交于直角顶点C处。

②钝角三角形的高：【难点】【高频考点】

教师提问：“钝角三角形的三条高还会交于一点吗？请同学们先尝试画出钝角三角形（如△ABC，∠A为钝角）的三条高。”

这是本节课的最大挑战。学生很容易画出钝角所对边BC上的高，但在画AB、AC两边上的高时会遇到困难。

教师引导：“我们定义的‘对边所在直线’是什么意思？如果顶点B的对边是AC，过点B作AC的垂线，垂足应该落在哪里？”借助几何画板动态演示，引导学生发现：过钝角顶点作对边的高，垂足落不到对边上，而落在对边的延长线上。因此，这两条高在三角形的外部。

教师示范画法：延长BA，过点C作BA延长线的垂线，垂足为E，则CE即为AB边上的高。同样，延长CA，过点B作CA延长线的垂线，垂足为F，则BF即为AC边上的高。

学生再次尝试，并画出钝角三角形的三条高。通过观察发现，三条高所在的直线交于三角形外的一点。

（4）归纳总结，提炼性质

教师引导学生总结三种三角形高的特点，并填写表格（教师板书或以PPT呈现）：

三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高交于三角形内部；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部。这一点叫做三角形的垂心。

1.探究二：三角形的中线

（1）类比学习，定义先行

教师提出问题：“类比高的学习，如果我们不向对边作垂线，而是取对边的中点，连接顶点和这个中点，能得到什么线段？”引导学生自主阅读课本，得出三角形中线的定义：【基础】连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。

（2）动手操作，发现性质

学生在锐角三角形纸片上画出三条中线。教师提醒学生先用刻度尺量出边的中点。画完后，学生通过观察直观发现：三角形的三条中线交于一点。

（3）验证猜想，得出结论

教师提问：“这个结论对于直角三角形和钝角三角形是否也成立？”学生分组，分别画直角三角形和钝角三角形的三条中线进行验证。通过小组合作交流，学生得出结论：不论什么形状的三角形，它的三条中线都交于一点。这一点叫做三角形的重心。

【重要】教师补充：“重心是三角形的‘物理中心’，如果三角形的质地是均匀的，用一点就能把它支起来。有兴趣的同学课后可以动手做做这个实验。”

1.探究三：三角形的角平分线

（1）辨析概念，区分异同

教师展示一个角的角平分线（射线），再展示三角形的角平分线，提出问题：“三角形的角平分线和角的平分线有什么区别？”引导学生明确：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段，它是这个角的平分线在三角形内部的部分。教师板书定义：【基础】三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。

（2）动手操作，深化理解

学生分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条角平分线。画法指导：用量角器量出角的度数并取一半，确定方向后与对边相交；或者用折叠法，将角的两边重合，折痕与对边的交点即为角平分线与对边的交点。

学生通过画图发现：三角形的三条角平分线始终交于三角形内部一点。这一点叫做三角形的内心。

（三）典例剖析，深化理解

例题1：【基础】（概念辨析）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H。判断下列说法是否正确。

（1）AD是△ABE的角平分线。（）

（2）BE是△ABD边AD上的中线。（）

（3）CH是△ACD边AD上的高。（）

【设计意图】通过复杂图形中的线段辨析，强化学生对“三线”定义中“对应边、对应顶点”的理解，避免概念混淆。

例题2：【重要】（中线性质应用）如图，已知AD是△ABC的中线。

（1）若△ABD的周长为16cm，AB=6cm，AC=4cm，求△ACD的周长。

（2）若△ABC的面积为12cm²，求△ABD的面积。

【设计意图】引导学生发现：三角形的一条中线将原三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高）。这是中考的重要考点，也为后续学习用字母表示面积关系奠定基础。

例题3：【热点】（高线与角平分线综合）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B=42°，∠C=68°。求∠DAE的度数。

【设计意图】本题综合考查了三角形内角和定理、高线和角平分线的定义。通过计算，让学生体会几何元素之间的内在联系，培养综合解题能力。教师引导学生分析解题思路：由内角和求∠BAC，由角平分线求∠BAE，由高线求∠BAD，最后利用角的和差关系求解。

（四）课堂练习，巩固提升

【基础练习】

1.填空：

（1）三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线（或所在直线）分别交于一点，其交点分别叫做三角形的______、和。

（2）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。根据图形填空：

①BE=______=______；

②∠BAD=______=______；

③∠AFB=______=90°。

2.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC的高？（）

（图形略：主要考察垂足是否在对边或其延长线上）

【变式训练】

3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

4.如图，在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长。

【设计意图】练习设计遵循由浅入深的原则，第1、2题侧重基础概念的辨析，第3、4题则需要在理解概念的基础上进行推理和计算，特别是第4题，再次巩固中线将三角形周长之差转化为边长之差的思想。

（五）课堂小结，构建网络

引导学生从以下三个方面进行总结：

1.知识层面：本节课我们研究了哪三条特殊的线段？它们的定义、画法分别是什么？它们各自有什么独特的性质？（三条线都交于一点）

2.方法层面：在探究钝角三角形的高时，我们运用了什么思想方法？（分类讨论、数形结合）在画图时，我们需要注意什么？（钝角三角形高的垂足位置）

3.素养层面：通过今天的学习，