2026年高考数学二轮复习：专题05 空间角与距离的常考解答题型（培优题型专练）（全国适用）（原卷版）

专题05空间角与距离的常考解答题型汇总目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式训练题型01异面直线所成角求解方法题型02线面角的求解方法题型03二面角的求解方法题型04点面距离的计算与应用题型05空间角与距离的动态与最值问题题型06空间几何的探索性问题题型07空间几何的折叠与展开问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01异面直线所成角求解方法【例1-1】(2025·海南·模拟)如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．

(1)证明：平面；(2)求异面直线与夹角的余弦值．【例1-2】(2025·广东·模拟)如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点.(1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）；(2)证明：平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值.【例1-3】(2025·江西·模拟)如图，在平行六面体中，，.

(1)求证：四边形为正方形；(2)求体对角线的长度；(3)求异面直线与所成角的余弦值.异面直线所成角求解方法：1.平移法（几何法）：通过平移其中一条直线，使其与另一条直线共面，构造三角形或平行四边形，利用平面几何知识（如余弦定理）求解。平移的常用方法包括中位线、平行线、对称点等。2.方向向量法（向量法）：设两异面直线所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝​。需注意异面直线所成角与向量夹角的区别：向量夹角范围是[0,π]，而异面直线所成角范围是，需取绝对值。【变式1-1】(2025·江苏·模拟)如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【变式1-2】(2025·贵州·模拟)在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且．(1)求证：平面；(2)求四棱台的高；(3)求异面直线与所成的角的余弦值．【变式1-3】(2025·安徽·模拟)如图，矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且，，是的中点．(1)证明：平面．(2)证明：．(3)求异面直线，所成角的余弦值．题型02线面角的求解方法【例2-1】(2025·新疆·模拟)如图，在四棱锥中，平面，在梯形中，，，，点C在平面的投影恰好是的重心G.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【例2-2】(2025·新疆·模拟)如图，在三棱锥中，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点.(1)若，求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.1.直线与平面所成的角的求解公式：设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos|＝.2．向量法求直线与平面所成角的解题思路:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式2-1】(2025·上海·模拟)已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．

(1)证明：平面；(2)若2，求直线与平面所成角的正弦值．【变式2-2】(2025·云南·模拟)如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【变式2-3】(2025·云南·模拟)如图，长方体中，，过点，作平面与直线平行，且与棱交于点，点是线段上一点．(1)直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.题型03二面角的求解方法【例3-1】(2025·四川·模拟)如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，且，，．(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．【例3-2】(2025·江苏·模拟)如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，．(1)证明：；(2)求异面直线EF与BC所成角；(3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．1．两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．2.两个平面的夹角的求法：设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cosθ＝|cos|＝.3.向量法求二面角的解题思路:分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【变式3-1】(2025·河南·模拟)如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【变式3-2】如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且．(1)求证：平面；(2)若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．【变式3-3】(2025·陕西·模拟)如图，四棱锥的底面是正方形，且，，点在底面上的射影在正方形内，且与平面ABCD所成角的正切值为．(1)若分别是的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值；(2)点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长．题型04点面距离的计算与应用【例4-1】(2025·广东·模拟)如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.(1)若，求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的正弦值.【例4-2】如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若，且点到平面的距离为，求的值．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.(3)等体积法.(4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为.【变式4-1】在长方体中，，为的中点，平面，且．

(1)求的值；(2)求点到平面的距离．【变式4-2】(2025·辽宁·模拟)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．(1)若平面与直线交于点，求的值；(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．【变式4-3】(2025·福建·模拟)如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点．(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)若，，求点到平面距离的范围．题型05空间角与距离的动态与最值问题【例5-1】(2025·广东·模拟)如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心．(1)证明：平面．(2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度.【例5-2】(2025·湖北·模拟)如图，在几何体中，底面为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面，平面，，，为垂足，，为垂足.(1)证明：平面；(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的正切值.空间角与距离的动态与最值问题的解题方法：“动中觅静，函数建模”。首先，几何特征分析是基础，需敏锐识别动态过程中的不变量（如定长、定角、垂直关系），利用几何性质（如最小角定理）直观判断极值位置。其次，代数函数建模是核心，通过建立空间直角坐标系或利用向量运算，将角或距离表示为变量的函数。最后，数学工具求解是关键，运用三角函数性质、基本不等式或导数求函数最值。对于轨迹受限问题，需结合轨迹法，先确定动点轨迹（如圆、线段），再转化为平面几何最值求解，从而实现空间问题的平面化降维处理。【变式5-1】(2025·陕西·模拟)如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值．【变式5-2】(2025·天津·模拟)如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF夹角的正切值及点到直线的距离．【变式5-3】(2025·湖南·模拟)如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的外接球的表面积；(3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值．题型06空间几何的探索性问题【例6-1】(2025·广西·模拟)如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.【例6-2】(2025·宁夏·模拟)如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上．(1)证明：平面MPQ；(2)若，证明：平面BDN；(3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由．空间几何探索性问题解题策略解决此类问题，核心策略是“执果索因，假设验证”。首先，假设结论成立。在这一前提下，利用空间几何的判定与性质定理，挖掘使结论成立所需的几何条件（如平行、垂直关系）。其次，构建代数模型。对于规则几何体，优先建立空间直角坐标系，将几何条件转化为向量运算（如数量积为零、向量共线），并引入参数表示未知点或线的位置。最后，求解与检验。通过解方程或方程组确定参数值。若参数有解且符合实际位置，则存在；若无解或矛盾，则不存在。务必注意几何法与向量法的灵活切换与互补。【变式6-1】(2025·贵州·模拟)在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点．(1)若平面平面，求证：；(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【变式6-2】(2025·广东·模拟)如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.(1)证明：平面平面.(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【变式6-3】(2025·黑龙江·模拟如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.题型07空间几何的折叠与展开问题【例7-1】(2025·广东·模拟)如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.

(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.【例7-2】(2025·湖北·模拟)如图，在三棱锥的平面展开图中，，．(1)求的余弦值；(2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．空间几何折叠问题解题策略：

解决此类问题，核心在于“把握变量与不变量，实现平面与空间的转化”。

首先，分析翻折特征。明确折痕是关键，位于折痕同侧的几何元素（点、线）及其数量关系（长度、角度）在翻折前后保持不变，这些是解题的不变量；而折痕两侧元素的位置关系（如垂直、平行）往往发生变化，需在空间中重新判定。

其次，确立空间坐标系。在翻折后的立体图形中，充分利用不变的垂直关系建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量运算。

最后，综合运用方法。对于证明题，回归几何定义与定理；对于计算题（角度、距离），优先选用向量法以降低思维难度。特别注意利用三余弦定理（折叠角公式）快速处理与二面角相关的角度问题。【变式7-1】(2025·湖北·模拟)如图①，正方形的边长为是的中点，点在边上，且．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图②．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．【变式7-2】(2025·四川·模拟)如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．【变式7-3】(2025·黑龙江·模拟)已知椭圆的左，右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．

(1)为椭圆上顶点时求的面积；(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．（ⅰ）若，求异面直线和所成角的余弦值；（ⅱ）是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．1．(2025·河南·模拟)《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体中，平面，，且，，.(1)证明：四面体为鳖臑；(2)若直线平面，求直线与所成角的余弦值.2．三棱锥中，，，，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)若M是PC的中点，求证：；(3)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．3．(2025·天津·模拟)如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值；(3)求平面与平面夹角的正弦值．4．(2025·广东·模拟)已知直三棱柱如图所示，点在