五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(云南专用)05：分式方程（教师版）

专题05分式方程一、考点01分式方程的应用1．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料．【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．2．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．【答案】型车的平均速度为【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意可得，，整理得，，解得，经检验是该方程的解，答：型车的平均速度为．3．（2021·云南·中考真题）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等．今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元．请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．【答案】租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【分析】设租用的B种客房每间客房的租金为x元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等列出方程，解之即可．【详解】解：设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解，160+40=200元，∴租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．二、考点02列分式方程4．（2023·云南·中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得：故选∶D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．三、一年模拟6．（2025·云南昆明·三模）早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希望的义务植树活动．该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵．【答案】40棵【分析】本题考查了分方程的应用，设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据该县计划完成总植树任务720棵，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为：，解得，，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天植树40棵．7．（2025·云南玉溪·二模）某学校组织八年级学生代表乘大巴车赴距离学校11千米的易门野生菌博物馆研学参观活动．大巴车实际行驶速度比原计划提高了，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时．【答案】大巴车原计划车速为30千米/小时．【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程并求解即可解答，注意单位换算．【详解】解：设大巴车原计划车速为x千米/小时，则大巴车实际行驶速度为千米/小时，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：大巴车原计划车速为30千米/小时．8．（2025·云南昆明·三模）习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个，求每个甲、乙书柜的价格各为多少元？【答案】每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元．【分析】本题考查分式方程的实际应用，设每个乙种书柜的价格是x元，则购进每个甲种书柜的价格是元，根据“每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个”，列出分式方程，进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．【详解】解：设每个乙种书柜的价格是x元，则每个甲种书柜的价格是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元．9．（2025·云南昆明·三模）某中学购买了一些篮球和足球供学生锻炼使用．用1000元购买的篮球数量和用900购买的足球数量相同，每个篮球的售价比每个足球的售价贵10元，每个篮球的售价是多少元？【答案】每个篮球的售价是100元【分析】本题考查分式方程应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每个篮球的售价是元，则每个足球的售价是元，根据“用1000元购买的篮球数量和用900购买的足球数量相同”列方程求解即可．【详解】解：设每个篮球的售价是元，则每个足球的售价是元．由题意得：．由得，即．．经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求．答：每个篮球的售价是100元．10．（2025·云南文山·模拟预测）2025年3月19日，习近平总书记来到云南丽江古城考察，称“云南咖啡代表着中国，现在国外也是受欢迎的．”已知云南咖啡厂甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，乙团队每天的工作效率是甲团队的1.25倍．求甲、乙团队每天各能加工多少千克咖啡豆？【答案】甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆【分析】本题考查的是分式方程的应用，设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆，根据甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，再建立分式方程求解即可．【详解】解：设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆，，，经检验是原分式方程的解且符合题意，，答：甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆．11．（2025·云南红河·三模）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业甲、乙两组共35名工人．甲组每天加工3150件农产品，乙组每天加工2800件农产品，已知甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，求甲、乙两组各有多少名工人．【答案】甲组有名工人，乙组有名工人【分析】此题考查了分式方程的应用．设甲组有名工人，则乙组有名工人，甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，据此列方程，解方程并检验即可．【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人根据题意得：，解答：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，答：甲组有名工人，乙组有名工人．12．（2025·云南大理·二模）据网络平台数据显示，截至年4月日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某商场决定各用元购进了，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共个．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？【答案】A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元【分析】设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，∴，答：A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元．13．（2025·云南西双版纳·二模）为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？【答案】甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键；设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据：甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出答案．【详解】解：设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据题意，得，解得：，经检验：是所列方程的解，，答：甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠．14．（2025·云南曲靖·二模）春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏?【答案】实际每天悬挂200盏灯笼【分析】本题考查出分式方程的应用，设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼，根据实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，列出分式方程求解即可．【详解】解：设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼，根据题意得，解得：，经检验是所列方程的解，且符合实际意义，此时，答：实际每天悬挂200盏灯笼．15．（2025·云南楚雄·三模）“孔子周游列国”是广为流传的故事，有一次孔子和他的学生到距离他们住的驿站的书院参观，学生先步行出发，后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行速度的倍，孔子和学生同时到达书院．求学生步行的速度．【答案】学生步行的速度为【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设学生步行的速度为，则孔子乘牛车的速度为，根据学生早出发一小时，但是学生和孔子同时到达书院建立方程求解即可．【详解】解：设学生步行的速度为，则孔子乘牛车的速度为，依题意可得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：学生步行的速度为．16．（2025·云南·模拟预测）为完善全球生态治理提供中国方案，习近平总书记指出：“建设生态文明关乎人类未来，国际社会应该携手同行、共谋全球生态文明建设之路，牢固树立尊重自然、顺应自然、保护自然的意识，坚持走绿色、低碳、循环、可持续发展之路”．进入新时代，中国坚定不移走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设人与自然和谐共生的现代化，保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比用废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量．【答案】1.4吨【分析】本题考查了分式方程的应用，先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨，再结合题干条件进行列方程，解得，再验根，即可作答．【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨．由题意得：，解得，经检验，是原分式方程的解且符合题意．答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨．17．（2025·云南玉溪·三模）某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少5元，且用800元购买甲种工具的数量与用900元购买乙种工具的数量相等．求甲、乙两种工具的单价各是多少元？【答案】甲种工具的单价为40元，则乙种工具的单价为45元【分析】本题考查了分式方程的应用．设甲种工具的单价为x元，则乙种工具的单价为元，根据“用800元购买甲种工具的数量与用900元购买乙种工具的数量相等”，列出方程，即可求解．【详解】解：设甲种工具的单价为x元，则乙种工具的单价为元，根据题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，此时，答：甲种工具的单价为40元，则乙种工具的单价为45元．18．（2025·云南昆明·模拟预测）“歼－10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼－10”战机的总设计师，被誉为中国“歼－10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼－10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知巴基斯坦与印度首都新德里的直线距离300公里，若“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，则它们同时到达各自的目的地，求“歼－10”战机的速度是每小时多少公里？【答案】“歼－10”战机的速度是3600公里/时【分析】设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时，根据题意“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【详解】解：设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时．根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：“歼－10”战机的速度是3600公里/时．19．（2025·云南昆明·二模）列方程解决实际问题：2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知B款吉祥物的单价是A款吉祥物的单价的1.5倍．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？【答案】A款吉祥物的单价为20元，B款吉祥物的单价为30元【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元，顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，即可列出等量关系求解．【详解】解：设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解且符合题意，∴（元），答：A款吉祥物的单价为20元，B款吉祥物的单价为30元．20．（2025·云南楚雄·二模）某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材，已知每个篮球的进价是每个排球进价的2倍，若用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个．请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？【答案】排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元【分析】本题考查的是分式方程的应用，找到等量关系列方程是解题的关键．设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元，利用“用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个”，再建立方程求解即可．【详解】解：设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元，由题意得：解得：．经检验：是原分式方程的解．．排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元．21．（2025·云南昆明·模拟预测）为了培养科技创新拔尖人才，提升学生的科学素养、创新能力和人文素养，昆明市第三中学持续开展了“科学大讲坛”和“人文、德育、心理讲座”活动，从2020年以来聘请院士及专家近40人到校讲座，参加“科学大讲坛”的学生总人数约有8000人次，参加“人文、德育、心理讲座”的学生总人数约有6600人次．其中开展“科学大讲坛”的场次比“人文、德育、心理讲座”场次多9场，而“人文、德育、心理讲座”平均每场参加学生数是“科学大讲坛”平均每场参加学生数的倍．求2020年以来学校举办了“科学大讲坛”多少场次？【答案】2020年以来学校举办了“科学大讲坛”场次【分析】本题考查了分式方程的意义，设2020年以来学校举办了“科学大讲坛”场次，根据题意列出方程，解方程并检验，即可求解．【详解】解：设2020年以来学校举办了“科学大讲坛”场次，根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，且符合实际，答：2020年以来学校举办了“科学大讲坛”场次．22．（2025·云南楚雄·二模）某工厂原计划生产20000辆新能源汽车，因市场销量攀升，需要再多生产18000辆，该工厂在实际生产中通过提高生产效率，每天比原计划多生产60辆新能源汽车，实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍，求原计划每天生产多少辆新能源汽车．【答案】原计划每天生产320辆新能源汽车．【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产x辆新能源汽车，则实际每天生产了辆新能源汽车，根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍建立方程求解即可．【详解】解：设原计划每天生产x辆新能源汽车，则实际每天生产了辆新能源汽车，由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，答：原计划每天生产320辆新能源汽车．23．（2025·云南红河·三模）已知甲、乙两地相距18千米．小李和小王从甲地出发去往乙地，小李乘公交车平均每小时行驶的路程比小王自驾车平均每小时行驶的路程少10千米，小李乘公交车到达乙地所用的时间是小王自驾车到达乙地所用时间的，求小王自驾车平均每小时行驶多少千米？【答案】40【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系．假设出未知数，根据时间的数量关系找出等量关系，列出分式方程并求解即可．【详解】解：设小王自驾车平均每小时行驶千米，则小李乘公交车平均每小时行驶千米根据题意得，解方程得，经检验，是原分式方程的解，并符合题意，所以，小王自驾车平均每小时行驶40千米．24．（2025·云南昆明·二模）中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？【答案】甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元．【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是列出分式方程，进行求解，不要忘记对根进行检验，设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元，列出分式方程进行求解即可．【详解】解：设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元，，解得：，经检验：是原分式方程的解且符合题意，，答：甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元．25．（2025·云南昆明·一模）无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升农药利用率与防治效果．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．【答案】80亩【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩，根据使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时建立方程求解即可．【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩，由题意得：，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为80亩．26．（2025·云南昆明·一模）某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？【答案】10名【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据，根据共有3000名应聘者参与线上考核，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入，列出分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据，由题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解且符合题意，答：乙操作员每分钟能输入10名应聘者的数据．27．（2025·云南临沧·二模）为积极响应《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》的号召，全面提升学生身体素质，某中学计划采购一批篮球和足球．已知用3000元购买篮球的数量是用2000元购买足球的数量的，且每个篮球的价格比每个足球的价格贵20元，分别求出篮球和足球的单价．【答案】足球的单价是20元，篮球的单价为元．【分析】本题考查了分式方程的应用，正确建立分式方程是解题关键．设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据购买篮球的数量是足球的，购买足球用了2000元，购买篮球用了3000元建立分式方程，解方程即可得．【详解】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，∴，答：足球的单价是20元，篮球的单价为元．28．（2025·云南昆明·二模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人平均速度约为松延动力机器人平均速度的，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？【答案】松延动力机器人的平均速度是【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：松延动力机器人北京天工机器人所用时间，列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，由题意得，解得，经检验得是原方程的解且符合题意；答：松延动力机器人的平均速度是．29．（2025·云南玉溪·二模）从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件．【答案】1名快递员平均每天可配送包裹300件【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹件，根据要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天列出方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹件，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：1名快递员平均每天可配送包裹300件．30．（2025·云南昆明·模拟预测）随着年春节期间《哪吒之魔童闹海》的热映，《哪吒》中美轮美奂的画面，导演及幕后团队的精益求精让每个人物拥有了饱满而又强大稳定的内核．某文具店抓住时机迅速购进哪吒相关文创产品．该文具店月份花费元购进哪吒徽章，花费元购进哪吒钥匙扣挂件．已知每个钥匙扣挂件的进价是哪吒徽章进价的倍，且购进的徽章数量比钥匙扣挂件多个，求每个哪吒徽章，哪吒钥匙扣挂件的进价．【答案】每个哪吒徽章的进价为元，每个钥匙扣挂件的进价为元【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解此题的关键．设整包出售哪吒卡游包，则单张出售的卡游为包，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．【详解】解：设每个哪吒徽章的进价为元，则钥匙扣挂件的进价为元，由题意可得：，解得：，经检验是分式方程的解且符合题意，∴，∴每个哪吒徽章的进价为元，每个钥匙扣挂件的进价为元．31．（2025·云南·三模）【问题背景】博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，小昆同学所在的学习小组计划周末到云南省博物馆参观学习．【素材呈现】一：学习小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原计划的；二：参观结束后，同学们到文创店购买纪念品，小昆同学计划购买“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”（如图）共15枚送朋友，已知每枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”的单价分别为16元和20元，且小昆购买“聂耳小提琴胸针”的数量不少于“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”数量的．【问题解决】(1)求该学习小组的实际参观人数；(2)求出小昆同学购买总费用最少时的购买方案．【答案】(1)该学习小组的实际参观人数为15人(2)购买6枚“聂耳小提琴胸针”和9枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”【分析】本题考查了分式方程、一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，根据数量关系列出方程式、函数式与不等式是解题的关键；（1