江苏省苏州市吴江区震泽中学2026届高一数学第二学期期末检测试题含解析

江苏省苏州市吴江区震泽中学2026届高一数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件2．展开式中的常数项为（）A．1 B．21 C．31 D．513．在中，角的对边分别为,，且边，则面积的最大值为（）A． B． C． D．4．设，若关于的不等式在区间上有解，则（）A． B． C． D．5．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则（）A．6 B．5 C．4 D．36．若，则的坐标是()A． B． C． D．7．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A． B． C． D．9．若，且为第四象限角，则的值等于A． B． C． D．10．在计算机BASIC语言中，函数表示整数a被整数b除所得的余数，如.用下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的结果是（）A．7 B．21 C．35 D．49二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若的面积，则=12．某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元.13．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎.已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织.为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制只“七中熊”时，需另投入成本，（元），.通过市场分析，学生会订制的“七中熊”能全部售完.若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为______只时，学生会向公益组织所捐献的金额会最大.14．函数的最小正周期为__________.15．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．16．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知平面向量，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；（2）若，且，设向量与的夹角为，求．18．如图，在平面四边形中，，,,,．（1）求的长；（2）求的长．19．如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．（）求证：平面；（）若，，，求三棱锥的体积；（）设平面平面直线，试判断与的位置关系，并证明．20．（2012年苏州17）如图，在中，已知为线段上的一点，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．21．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B.考点：互斥与对立事件.2、D【解析】常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为3、D【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：，可解得：，由余弦定理，可得，即，当且仅当时成立．等号当时成立．故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．4、D【解析】

根据题意得不等式对应的二次函数开口向上，分别讨论三种情况即可．【详解】由题意得：当当当综上所述：,选D.【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：．有时还需要结合韦达定理进行解决．5、D【解析】

由众数就是出现次数最多的数，可确定，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出．【详解】由甲组数据的众数为11，得，乙组数据中间两个数分别为6和，所以中位数是，得到，因此.故选：D.【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．6、C【解析】

，.故选C.7、A【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.8、B【解析】

由三视图还原几何体，可知该几何体是由边长为的正方体切割得到的四棱锥，可知所求外接球即为正方体的外接球，通过求解正方体外接球半径，代入球的表面积公式可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为如下图所示的四棱锥：由上图可知：四棱锥可由边长为的正方体切割得到该正方体的外接球即为四棱锥的外接球四棱锥的外接球半径外接球的表面积故选：【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过三视图还原几何体，并将几何体放入正方体中，通过求解正方体的外接球表面积得到结果；需明确正方体外接球表面积为其体对角线长的一半.9、D【解析】试题分析：∵为第四象限角，，∴，．故选D．考点：同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．10、B【解析】

模拟执行循环体，即可得到输出值.【详解】，，，，继续执行得，，继续执行得，，结束循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查循环体的执行，属程序框图基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：,.考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形.点评：由三角形的面积公式,再根据,直接可求出tanC的值，从而得到C.12、8.2【解析】

设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值.【详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，.费用之和，求中，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值万元，故答案为：.【点睛】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13、200【解析】

由题意求得学生会向公益组织所捐献的金额的函数解析式，再由对勾函数的性质求得取最大值时的值即可.【详解】由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为，，由对勾函数的性质知，在时取得最小值，所以时，取得最大值.故答案为：200【点睛】本题主要考查利用函数解决实际问题和对勾函数的性质，属于基础题.14、【解析】

用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.【详解】,函数的最小正周期为.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.15、1【解析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【详解】由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．16、【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解析】分析：（1）由与共线，可设，又由为单位向量，根据，列出方程即可求得向量的坐标；（2）根据向量的夹角公式，即可求解向量与的夹角．详解：与共线，又，则，为单位向量，，或，则的坐标为或，，．点睛：对于平面向量的运算问题，通常用到：1、平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；2、由向量的数量积的性质有，，，因此利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题；3、本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.18、(1)；(2)【解析】

（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.（2）在中，计算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.【详解】（1）在中，,则,又由正弦定理，得（2）在中，,则，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中,由余弦定理，得所以.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.19、（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析.【解析】

（1）根据题意得到，，面从而得到线线垂直；（2）由图形特点得到面，代入数据可得到体积值；（3）证明平面，利用平面平面，可得．.【详解】（）证明：∵面，面，∴，又∵，面，面，，∴面，（）∵底面为平行四边形，面，∴面，∴．（）．证明：∵底面为平行四边形，∴，∵面，面，∴面，又∵面面，面，∴．20、（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)利用平面向量基本定理可得．(2)利用题意可得，则的最大值为．试题解析：（1），而，∴．（2）∴当时，的最大值为．21、（1）（2）【解析】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥