江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2026届高一数学第二学期期末检测试题含解析

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2026届高一数学第二学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（）A． B．1 C． D．2．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A． B．π C．2π D．4π3．圆上的一点到直线的最大距离为（）A． B． C． D．4．已知直线，若，则的值为（）A．8 B．2 C． D．-25．若（）A． B． C． D．6．在中，角所对的边分别为，若.且，则的值为（）A． B．C． D．或7．某学校高一、高二、高三教师人数分别为100、120、80，为了解他们在“学习强国”平台上的学习情况，现用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，则抽取高一教师的人数为（）A．12 B．15 C．18 D．308．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A． B． C． D．9．某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等10．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.12．直线与直线垂直，则实数的值为_______．13．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.14．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．15．已知一组数据、、、、、，那么这组数据的平均数为__________.16．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在数列中，，，数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列．（2）若对恒成立，求的取值范围．18．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在和的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的概率.19．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).(1)若向量与向量垂直，求；(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.20．已知函数，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.21．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行，并求出两平行线间的距离．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】

根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3、D【解析】

先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离．【详解】圆心（2,1）到直线的距离是，所以圆上一点到直线的最大距离为，故选D．【点睛】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式．4、D【解析】

根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线相互垂直，所以，解得：.故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.5、D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.6、D【解析】

首先根据余弦定理，得到或.再分别计算即可.【详解】因为，所以，即：，解得：或.当时，.当时，.所以或.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.7、B【解析】

由分层抽样方法即按比例抽样，运算即可得解.【详解】解：由分层抽样方法可得抽取高一教师的人数为，故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样方法，属基础题.8、C【解析】

如图，取中点，则平面，故，因此与平面所成角即为，设，则，，即，故，故选C.9、D【解析】

根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.10、A【解析】

由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离．则，解得．圆的圆心坐标为，半径为1．如图，，则，．，，圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．故选：．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．12、【解析】

由题得（-1）,解之即得a的值.【详解】由题得（-1）,所以a=2.故答案为；2【点睛】本题主要考查两直线垂直的斜率关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13、3【解析】

由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.【详解】解：因为数列的前项和为，，且（），，.即，.是首项为，公比为的等比数列，故答案为：【点睛】本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.14、【解析】

先求出，再化简得即得的取值范围.【详解】由题得OM=,由题得由题得..所以的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

利用平均数公式可求得结果.【详解】由题意可知，数据、、、、、的平均数为.故答案为：.【点睛】本题考查平均数的计算，考查平均数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.16、乙；【解析】

一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．【详解】乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、故答案为乙．【点睛】本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足，，求的取值范围.【详解】（1）证明：因为，所以，，则．又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，则．因为，所以，所以．易知单调递增，则．所以，且，解得．故的取值范围为．【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.18、（1）见解析（2）【解析】分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在内的概率.详解：(Ⅰ)平均值的估计值:中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于年龄段内，记为，2人位于年龄段内，记为.现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为，则设2名市民年龄都在为事件A，则,所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数.一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.19、（1）10或2；（2）.【解析】

(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.【详解】(1)由题意，平面向量，，由向量与向量垂直，则，解得或，当时，，则，所；当时，，则，所，(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，即且，解得，且，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.20、（1）或（2）【解析】

（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】解：（1）当时，，解得.当时，，解得.所以不等式解集为或.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、(1)m(2)m＝﹣7，距离为【解析】

（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．（2）由题意利用两条